# Matrixähnlichkeit > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/aehnlichkeit-von-matrizen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/matrix-similarity/de.mdx Matrixähnlichkeit als Basiswechsel verstehen. Determinante, charakteristisches Polynom, Eigenwerte und Spur bleiben dabei erhalten. --- ## Definition der Matrixähnlichkeit In der linearen Algebra erklärt die Matrixähnlichkeit, wie zwei verschiedene Matrizen dieselbe lineare Transformation in unterschiedlichen Basen darstellen können. Die Einträge ändern sich mit den Koordinaten, die zugrunde liegende Transformation jedoch nicht. Zwei Matrizen $$A, B \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ heißen **ähnlich**, wenn es eine invertierbare Matrix $$S \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ gibt, so dass: Visible text: Zwei Matrizen heißen **ähnlich**, wenn es eine invertierbare Matrix gibt, so dass: ```math B = S^{-1} \cdot A \cdot S ``` Die Matrix $$S$$ wird in diesem Fall Ähnlichkeitstransformationsmatrix genannt. Visible text: Die Matrix wird in diesem Fall Ähnlichkeitstransformationsmatrix genannt. ## Basistransformation und Koordinatendarstellung Der Zusammenhang wird durch einen Basiswechsel sichtbar. Sei $$e_1, \ldots, e_n \in \mathbb{K}^n$$ die kanonische Basis und $$v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{K}^n$$ eine weitere Basis von $$\mathbb{K}^n$$. Visible text: Der Zusammenhang wird durch einen Basiswechsel sichtbar. Sei die kanonische Basis und eine weitere Basis von . Wenn $$S$$ eine invertierbare Matrix mit den Spalten $$v_k$$ ist: Visible text: Wenn eine invertierbare Matrix mit den Spalten ist: ```math S = (v_1 \quad \ldots \quad v_n) \in \mathbb{K}^{n \times n} ``` Dann haben wir $$v_k = S \cdot e_k$$ oder $$e_k = S^{-1} \cdot v_k$$ für $$k = 1, \ldots, n$$. Die Matrix $$S$$ stellt die **Basistransformation** dar. Visible text: Dann haben wir oder für . Die Matrix stellt die **Basistransformation** dar. Ein Vektor $$x \in \mathbb{K}^n$$ kann in der kanonischen Basis durch die Koordinaten $$x_k$$ und in der Basis $$v_1, \ldots, v_n$$ durch die Koordinaten $$\xi_k$$ ausgedrückt werden: Visible text: Ein Vektor kann in der kanonischen Basis durch die Koordinaten und in der Basis durch die Koordinaten ausgedrückt werden: Component: MathContainer Children: ```math x = \sum_{k=1}^n x_k \cdot e_k ``` ```math = \sum_{k=1}^n \xi_k \cdot v_k = S \cdot \xi ``` ```math \xi = \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{pmatrix} = S^{-1} \cdot x ``` Die Matrix $$S^{-1}$$ repräsentiert die **Koordinatentransformation**. Visible text: Die Matrix repräsentiert die **Koordinatentransformation**. ## Lineare Transformation in verschiedenen Basen Betrachten Sie nun die lineare Transformation $$y = A \cdot x$$. In der kanonischen Basis wird $$y$$ durch die Koordinaten $$y_k$$ ausgedrückt, während in der Basis $$v_1, \ldots, v_n$$ durch die Koordinaten $$\eta_k$$ ausgedrückt wird: Visible text: Betrachten Sie nun die lineare Transformation . In der kanonischen Basis wird durch die Koordinaten ausgedrückt, während in der Basis durch die Koordinaten ausgedrückt wird: Component: MathContainer Children: ```math y = \sum_{k=1}^n y_k \cdot e_k ``` ```math = \sum_{k=1}^n \eta_k \cdot v_k = S \cdot \eta ``` ```math \eta = \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \vdots \\ \eta_n \end{pmatrix} = S^{-1} \cdot y ``` Deshalb: Component: MathContainer Children: ```math S \cdot \eta = y = A \cdot x ``` ```math = A \cdot S \cdot \xi ``` oder mit anderen Worten: ```math \eta = S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot \xi ``` In der Basis $$v_1, \ldots, v_n$$ wird die lineare Transformation $$y = A \cdot x$$ durch $$\eta = B \cdot \xi$$ mit der Matrix dargestellt: Visible text: In der Basis wird die lineare Transformation durch mit der Matrix dargestellt: ```math B = S^{-1} \cdot A \cdot S ``` Somit beschreiben ähnliche Matrizen ein und dieselbe lineare Transformation bezüglich verschiedener Basen von $$\mathbb{K}^n$$. Visible text: Somit beschreiben ähnliche Matrizen ein und dieselbe lineare Transformation bezüglich verschiedener Basen von . ## Durchgerechnetes Basiswechselbeispiel Es seien Component: MathContainer Children: ```math A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix} ``` ```math S=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad S^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix} ``` Dieselbe Transformation besitzt in der von den Spalten von $$S$$ gebildeten Basis die Matrix Visible text: Dieselbe Transformation besitzt in der von den Spalten von gebildeten Basis die Matrix ```math B=S^{-1}AS=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix} ``` Obwohl die Einträge verschieden sind, haben beide Matrizen das charakteristische Polynom $$(t-2)(t-3)$$, die Spur $$5$$ und die Determinante $$6$$. Visible text: Obwohl die Einträge verschieden sind, haben beide Matrizen das charakteristische Polynom , die Spur und die Determinante . ## Invariante Eigenschaften ähnlicher Matrizen Da ähnliche Matrizen dieselbe Transformation in verschiedenen Koordinaten beschreiben, bleiben ihre basisunabhängigen Eigenschaften erhalten. Sie besitzen dasselbe charakteristische Polynom, dieselbe Determinante, Spur und denselben Rang sowie dieselben Eigenwerte mit algebraischer Vielfachheit, dasselbe Minimalpolynom und dieselben Jordan-Blockgrößen. Sie besitzen jedoch nicht zwingend dieselben Einträge, Eigenvektorkoordinaten, dieselbe euklidische Norm, Symmetrie oder Orthogonalität. Diese Eigenschaften können von der gewählten Basis abhängen. Ein unitärer oder orthogonaler Basiswechsel erhält mehr geometrische Struktur als eine allgemeine Ähnlichkeitstransformation. | Unter Ähnlichkeit erhalten | Nicht allgemein erhalten | | --- | --- | | Charakteristisches Polynom und Minimalpolynom | Matrixeinträge | | Eigenwerte und Jordan-Blockgrößen | Koordinatenvektoren der Eigenvektoren | | Determinante, Spur und Rang | Euklidische Norm und Symmetrie | ### Beweis der Determinantengleichheit Für die Determinante können wir zeigen: Component: MathContainer Children: ```math \det(B) = \det(S^{-1} \cdot A \cdot S) ``` ```math = \det(S^{-1}) \cdot \det(A) \cdot \det(S) ``` Aus $$\det(S^{-1}) = \frac{1}{\det(S)}$$ folgt: Visible text: Aus folgt: Component: MathContainer Children: ```math \det(B) = \frac{1}{\det(S)} \cdot \det(A) \cdot \det(S) ``` ```math = \det(A) ``` ### Korrespondenz der Eigenwerte Wenn $$v \in \mathbb{K}^n$$ ein Eigenvektor von $$A$$ mit dem Eigenwert $$\lambda \in \mathbb{K}$$ ist, so dass $$A \cdot v = \lambda \cdot v$$, dann ist $$w = S^{-1} \cdot v$$ ein Eigenvektor von $$B$$ mit demselben Eigenwert: Visible text: Wenn ein Eigenvektor von mit dem Eigenwert ist, so dass , dann ist ein Eigenvektor von mit demselben Eigenwert: Component: MathContainer Children: ```math B \cdot w = S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot w ``` ```math = S^{-1} \cdot A \cdot v ``` ```math = S^{-1} \cdot \lambda \cdot v ``` ```math = \lambda \cdot w ``` Damit bleibt das Spektrum unter einem Basiswechsel unverändert. Der Koordinatenvektor eines Eigenvektors ändert sich von $$v$$ zu $$S^{-1}v$$, während die dargestellte geometrische Richtung zur selben zugrunde liegenden Transformation gehört. Visible text: Damit bleibt das Spektrum unter einem Basiswechsel unverändert. Der Koordinatenvektor eines Eigenvektors ändert sich von zu , während die dargestellte geometrische Richtung zur selben zugrunde liegenden Transformation gehört.