# Charakteristisches Polynom > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/charakteristisches-polynom Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/characteristic-polynomial/de.mdx Erkunden Sie charakteristische Polynome, um Eigenwerte zu finden, algebraische Multiplizität zu verstehen und Matrixspurbeziehungen in der linearen Algebra zu analysieren. --- ## Definition und Grundkonzepte Ein Eigenwert $$\lambda$$ einer quadratischen Matrix $$A$$ besitzt einen von null verschiedenen Eigenvektor $$v$$ mit Visible text: Ein Eigenwert einer quadratischen Matrix besitzt einen von null verschiedenen Eigenvektor mit ```math Av=\lambda v ``` Durch Umstellen erhalten wir $$(A-\lambda I)v=0$$. Eine von null verschiedene Lösung existiert genau dann, wenn $$A-\lambda I$$ singulär ist. Daher muss die Determinante verschwinden. Das charakteristische Polynom erfasst diese Bedingung gleichzeitig für alle möglichen Skalare. Visible text: Durch Umstellen erhalten wir . Eine von null verschiedene Lösung existiert genau dann, wenn singulär ist. Daher muss die Determinante verschwinden. Das charakteristische Polynom erfasst diese Bedingung gleichzeitig für alle möglichen Skalare. Sei $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$. Wir können eine spezielle Funktion bilden: Visible text: Sei . Wir können eine spezielle Funktion bilden: Component: MathContainer Children: ```math \chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) ``` ```math \chi_A(t) = a_n \cdot t^n + a_{n-1} \cdot t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0 ``` Dieses Polynom vom Grad $$n$$ in $$t$$ mit Koeffizienten $$a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{K}$$ heißt **charakteristisches Polynom** von $$A$$. Wir verwenden hier die Konvention $$\det(A-tI)$$. Die ebenfalls verbreitete Konvention $$\det(tI-A)$$ unterscheidet sich nur um den Faktor $$(-1)^n$$ und hat daher dieselben Nullstellen. Visible text: Dieses Polynom vom Grad in mit Koeffizienten heißt **charakteristisches Polynom** von . Wir verwenden hier die Konvention . Die ebenfalls verbreitete Konvention unterscheidet sich nur um den Faktor und hat daher dieselben Nullstellen. ## Matrixspur und Polynomkoeffizienten Sei $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ eine quadratische Matrix. Die **Spur** von $$A$$ ist die Summe der Diagonalelemente: Visible text: Sei eine quadratische Matrix. Die **Spur** von ist die Summe der Diagonalelemente: ```math \operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} ``` Die Matrixspur steht in engem Zusammenhang mit den Koeffizienten des charakteristischen Polynoms. ### Beziehung der Koeffizienten mit Spur und Determinante Im charakteristischen Polynom $$\chi_A(t)$$ von $$A$$ haben seine Koeffizienten eine besondere Bedeutung: Visible text: Im charakteristischen Polynom von haben seine Koeffizienten eine besondere Bedeutung: ```math a_n = (-1)^n, \quad a_{n-1} = (-1)^{n-1}\operatorname{tr}(A), \quad a_0 = \det A ``` Das bedeutet: - Der höchste Koeffizient ist immer $$(-1)^n$$ - Der zweithöchste Koeffizient bezieht sich auf die Matrixspur - Der konstante Term ist die Determinante der Matrix Visible text: - Der höchste Koeffizient ist immer - Der zweithöchste Koeffizient bezieht sich auf die Matrixspur - Der konstante Term ist die Determinante der Matrix ## Eigenwerte als Polynomwurzeln Das wichtigste Konzept des charakteristischen Polynoms ist seine Beziehung zu Eigenwerten. Betrachten wir nun eine sehr wichtige Beziehung: $$\lambda \in \mathbb{K}$$ ist genau dann ein Eigenwert von $$A$$, wenn $$\det(A - \lambda \cdot I) = 0$$. Visible text: Betrachten wir nun eine sehr wichtige Beziehung: ist genau dann ein Eigenwert von , wenn . Mit anderen Worten: **Eigenwerte sind die Wurzeln des charakteristischen Polynoms**. Die Gleichung für $$t \in \mathbb{K}$$: Visible text: Die Gleichung für : ```math \det(A - t \cdot I) = 0 ``` nennen wir die **charakteristische Gleichung** von $$A$$. Visible text: nennen wir die **charakteristische Gleichung** von . ## Algebraische Multiplizität Was passiert nun, wenn ein Eigenwert mehrmals als Wurzel des charakteristischen Polynoms auftritt? Seien $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ und $$\lambda \in \mathbb{K}$$. Die Multiplizität der Wurzel $$t = \lambda$$ des charakteristischen Polynoms $$\chi_A(t)$$ wird als **algebraische Multiplizität** $$\mu_A(\lambda)$$ des Eigenwerts $$\lambda$$ von $$A$$ bezeichnet. Wir sagen, dass $$\lambda$$ ein Eigenwert mit der Multiplizität $$\mu_A(\lambda)$$ von $$A$$ ist. Visible text: Was passiert nun, wenn ein Eigenwert mehrmals als Wurzel des charakteristischen Polynoms auftritt? Seien und . Die Multiplizität der Wurzel des charakteristischen Polynoms wird als **algebraische Multiplizität** des Eigenwerts von bezeichnet. Wir sagen, dass ein Eigenwert mit der Multiplizität von ist. ### Multiplizitätsgrenzen Für jeden Eigenwert $$\lambda$$ gilt für seine algebraische Vielfachheit Visible text: Für jeden Eigenwert gilt für seine algebraische Vielfachheit ```math 1 \leq \mu_A(\lambda) \leq n ``` ## Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit Ein wichtiges Ergebnis der Eigenwerttheorie ist der Zusammenhang zwischen geometrischer und algebraischer Multiplizität. Für einen Eigenwert $$\lambda$$ von $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ gilt zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit Visible text: Für einen Eigenwert von gilt zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit ```math 1 \leq \dim \operatorname{Eig}_A(\lambda) \leq \mu_A(\lambda) \leq n ``` > Die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwerts ist immer kleiner oder gleich seiner algebraischen Vielfachheit. Die geometrische Vielfachheit zählt die unabhängigen Eigenvektoren im Eigenraum. Die algebraische Vielfachheit zählt dagegen, wie oft die Nullstelle im charakteristischen Polynom vorkommt. Die Jordanform zeigt, dass jeder unabhängige Eigenvektor mindestens einen Jordanblock benötigt. Deshalb kann die geometrische Anzahl die algebraische nicht übersteigen. ## Beispiele für die Berechnung charakteristischer Polynome Nun wenden wir die Definition an und nutzen die Koeffizientenbeziehungen zur Kontrolle der Rechnung. ### Beispiel für eine Matrix dritter Ordnung Sei $$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -4 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{3 \times 3}$$. Das charakteristische Polynom von $$A$$ ist: Visible text: Sei . Das charakteristische Polynom von ist: Component: MathContainer Children: ```math \chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 3-t & 2 & -1 \\ 1 & -t & -4 \\ 3 & 0 & 1-t \end{pmatrix} ``` ```math = (3-t)(-t)(1-t) - 2(13-t) - 3t ``` ```math = -3t + 3t^2 + t^2 - t^3 - 2 + 2t - 24 - 3t ``` ```math = -t^3 + 4t^2 - 4t - 26 ``` Für $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ hat $$\chi_A(t)$$ nur die Wurzel $$\lambda_1 \approx -1{,}8003$$ mit algebraischer Multiplizität $$\mu_A(\lambda_1) = 1$$. Visible text: Für hat nur die Wurzel mit algebraischer Multiplizität . Für $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ hat $$\chi_A(t)$$ Wurzeln $$\lambda_1 \approx -1{,}8003$$, $$\lambda_2 \approx 2{,}9001 + 2{,}4559i$$ und $$\lambda_3 \approx 2{,}9001 - 2{,}4559i$$ mit algebraischen Multiplizitäten $$\mu_A(\lambda_1) = \mu_A(\lambda_2) = \mu_A(\lambda_3) = 1$$. Visible text: Für hat Wurzeln , und mit algebraischen Multiplizitäten . Die Nullstellen bestehen zwei nützliche Kontrollen: Ihre Summe ist die Spur, ihr Produkt die Determinante. Component: MathContainer Children: ```math \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=4=\operatorname{tr}(A) ``` ```math \lambda_1\lambda_2\lambda_3=-26=\det(A) ``` ### Einfaches Beispiel Das charakteristische Polynom der Matrix $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ist: Visible text: Das charakteristische Polynom der Matrix ist: Component: MathContainer Children: ```math \chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) = \det \begin{pmatrix} 1-t & 2 \\ 0 & 1-t \end{pmatrix} ``` ```math = (1-t) \cdot (1-t) - 0 \cdot 2 = (1-t)^2 ``` ```math = t^2 - 2 \cdot t + 1 ``` Diese Matrix hat die Wurzel $$\lambda = 1$$ mit der algebraischen Multiplizität $$\mu_A(1) = 2$$. $$\lambda = 1$$ ist der einzige Eigenwert von $$A$$. Wir haben berechnet, dass $$\dim \text{Eig}_A(1) = 1$$. Visible text: Diese Matrix hat die Wurzel mit der algebraischen Multiplizität . ist der einzige Eigenwert von . Wir haben berechnet, dass . ## Beispiele für geometrische Transformationen Die folgenden vertrauten Abbildungen auf $$\mathbb{R}^2$$ verbinden die algebraische Rechnung mit ihrer geometrischen Bedeutung. Visible text: Die folgenden vertrauten Abbildungen auf verbinden die algebraische Rechnung mit ihrer geometrischen Bedeutung. ### Rotation Die Rotation mit $$A = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$$ hat das charakteristische Polynom: Visible text: Die Rotation mit hat das charakteristische Polynom: ```math \chi_A(t) = (\cos(\alpha) - t)^2 + \sin(\alpha)^2 = t^2 - 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot t + 1 ``` Die Diskriminante ist $$-4\sin^2(\alpha)$$. Die Nullstellen sind genau dann reell, wenn $$\sin(\alpha)=0$$. Innerhalb einer vollen Umdrehung gilt also $$\alpha\equiv0$$ oder $$\alpha\equiv\pi\pmod{2\pi}$$. Visible text: Die Diskriminante ist . Die Nullstellen sind genau dann reell, wenn . Innerhalb einer vollen Umdrehung gilt also oder . ### Reflexion Die Spiegelung an der $$x$$-Achse mit $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ hat das charakteristische Polynom: Visible text: Die Spiegelung an der -Achse mit hat das charakteristische Polynom: ```math \chi_A(t) = (1-t) \cdot (-1-t) = t^2 - 1 ``` Die Eigenwerte sind $$\lambda_1 = 1$$ und $$\lambda_2 = -1$$ mit $$\mu_A(1) = \mu_A(-1) = 1$$. Visible text: Die Eigenwerte sind und mit . ### Skalierung Die Skalierung mit $$A = \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix}$$ hat das charakteristische Polynom: Visible text: Die Skalierung mit hat das charakteristische Polynom: ```math \chi_A(t) = (s-t)^2 = t^2 - 2 \cdot s \cdot t + s^2 ``` Der Eigenwert ist $$\lambda = s$$ mit $$\mu_A(s) = 2$$. Visible text: Der Eigenwert ist mit . ### Scheren Das Scheren mit $$A = \begin{pmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ mit $$s \neq 0$$ hat das charakteristische Polynom: Visible text: Das Scheren mit mit hat das charakteristische Polynom: ```math \chi_A(t) = (1-t)^2 = t^2 - 2 \cdot t + 1 ``` Der Eigenwert ist $$\lambda = 1$$ mit $$\mu_A(1) = 2$$. Visible text: Der Eigenwert ist mit . ## Eigenschaften ähnlicher Matrizen Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe lineare Abbildung in verschiedenen Basen. Sie besitzen deshalb dasselbe charakteristische Polynom, dieselben Eigenwerte, dieselbe Spur und dieselbe Determinante. Sei $$S \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ invertierbar und $$B = S^{-1} \cdot A \cdot S$$. Dann: Visible text: Sei invertierbar und . Dann: Component: MathContainer Children: ```math \chi_B(t) = \det(B - t \cdot I) = \det(S^{-1} \cdot A \cdot S - t \cdot S^{-1} \cdot I \cdot S) ``` ```math = \det(S^{-1} \cdot (A - t \cdot I) \cdot S) ``` ```math = \det S^{-1} \cdot \det(A - t \cdot I) \cdot \det S = \chi_A(t) ``` ### Eigenvektoreigenschaften ähnlicher Matrizen Die Eigenvektoren ändern sich mit der Basis. Ist $$v \in \mathbb{K}^n$$ ein Eigenvektor von $$A$$ zu $$\lambda$$, dann ist $$w = S^{-1}v$$ ein Eigenvektor von $$B$$ zum selben Eigenwert. Visible text: Die Eigenvektoren ändern sich mit der Basis. Ist ein Eigenvektor von zu , dann ist ein Eigenvektor von zum selben Eigenwert. Mit $$Av=\lambda v$$ und $$w=S^{-1}v$$ folgt Visible text: Mit und folgt Component: MathContainer Children: ```math B \cdot w = S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot S^{-1} \cdot v = S^{-1} \cdot A \cdot v ``` ```math = S^{-1} \cdot \lambda \cdot v = \lambda \cdot S^{-1} \cdot v = \lambda \cdot w ``` Damit bewahrt die Ähnlichkeit die Eigenwerte, während der inverse Basiswechsel die zugehörigen Eigenvektoren umrechnet.