# Cramersche Regel > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/cramersche-regel Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/cramer-rule/de.mdx Lineare Systeme mit der Cramerschen Regel lösen. Determinante, adjugierte Matrix, Inversenformel und ein vollständiges Beispiel werden miteinander verknüpft. --- ## Lösen linearer Systeme Die Cramersche Regel löst ein lineares Gleichungssystem direkt mithilfe von Determinanten, sofern seine Koeffizientenmatrix invertierbar ist. Dabei wird der Zusammenhang zwischen Determinante und Lösung unmittelbar sichtbar. Für große Systeme ist die Gauß-Elimination allerdings deutlich effizienter. ## Adjugierte Matrix Die **adjugierte Matrix** verbindet die Determinante mit der Inversenformel und der Cramerschen Regel. Für die Matrix $$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$$ ist die adjugierte Matrix definiert als: Visible text: Für die Matrix ist die adjugierte Matrix definiert als: Component: MathContainer Children: ```math \tilde{A} = (\tilde{a}_{ij})_{i=1,\ldots,n \atop j=1,\ldots,n} \in \mathbb{R}^{n \times n} ``` mit Elementen: ```math \tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det A_{ji} ``` Dabei sind die Indizes in $$A_{ji}$$ vertauscht, nicht in der Reihenfolge $$A_{ij}$$. Visible text: Dabei sind die Indizes in vertauscht, nicht in der Reihenfolge . Die adjugierte Matrix $$\tilde{A}$$ enthält die **Kofaktoren** von $$A$$ an transponierten Positionen. Visible text: Die adjugierte Matrix enthält die **Kofaktoren** von an transponierten Positionen. ### Struktur der adjugierten Matrix Die adjugierte Matrix hat die folgende Struktur: Component: MathContainer Children: ```math \tilde{A} = \begin{pmatrix} \det A_{11} & -\det A_{21} & \det A_{31} & \cdots \\ -\det A_{12} & \det A_{22} & -\det A_{32} & \cdots \\ \det A_{13} & -\det A_{23} & \det A_{33} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} ``` Für jedes Element wird die Determinante der passenden Untermatrix mit dem Vorzeichen aus dem Schachbrettmuster $$(-1)^{i+j}$$ versehen. Visible text: Für jedes Element wird die Determinante der passenden Untermatrix mit dem Vorzeichen aus dem Schachbrettmuster versehen. ## Grundlegende Eigenschaft der adjugierten Matrix Die adjugierte Matrix erfüllt mit der Ausgangsmatrix die folgende Identität: Component: MathContainer Children: ```math A \cdot \tilde{A} = \tilde{A} \cdot A = \begin{pmatrix} \det A & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \det A & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \det A \end{pmatrix} ``` Mit anderen Worten: ```math A \cdot \tilde{A} = (\det A) \cdot I ``` Diese Identität verknüpft die Matrix, ihre Adjugierte und ihre Determinante unmittelbar. ## Matrix-Umkehrformel Aus dieser Identität folgt mithilfe der adjugierten Matrix die **Inversenformel**. Wenn die Matrix $$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$$ invertierbar ist, dann: Visible text: Wenn die Matrix invertierbar ist, dann: Component: MathContainer Children: ```math A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \tilde{A} ``` Allerdings ist die Berechnung der Matrixinversen mit dieser Formel im Vergleich zur Gaußschen Eliminierung für große Matrizen viel weniger effizient. ### Beispiel für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix Für eine $$2\times2$$-Matrix gilt: Visible text: Für eine -Matrix gilt: ```math A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ``` Die Determinante lautet: ```math \det A = a \cdot d - b \cdot c ``` Die adjugierte Matrix lautet: ```math \tilde{A} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} ``` Damit ergibt sich die inverse Matrix: Component: MathContainer Children: ```math A^{-1} = \frac{1}{a \cdot d - b \cdot c} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} ``` Wir können Folgendes überprüfen: Component: MathContainer Children: ```math A \cdot A^{-1} = \frac{1}{a \cdot d - b \cdot c} \begin{pmatrix} a \cdot d - b \cdot c & -a \cdot b + a \cdot b \\ c \cdot d - c \cdot d & -c \cdot b + a \cdot d \end{pmatrix} ``` ```math = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I ``` ## Satz Damit lässt sich die Cramersche Regel formulieren. Sei $$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$$ eine invertierbare Matrix und $$a^1, a^2, \ldots, a^n \in \mathbb{R}^n$$ die Spalten von $$A$$. Für den Vektor $$b \in \mathbb{R}^n$$ ist die Lösung $$x \in \mathbb{R}^n$$ des linearen Gleichungssystems $$A \cdot x = b$$ gegeben durch: Visible text: Sei eine invertierbare Matrix und die Spalten von . Für den Vektor ist die Lösung des linearen Gleichungssystems gegeben durch: Component: MathContainer Children: ```math x_j = \frac{\det(a^1 \; \ldots \; a^{j-1} \; b \; a^{j+1} \; \ldots \; a^n)}{\det A} ``` für $$j = 1, 2, \ldots, n$$. Visible text: für . Um die $$j$$-te Komponente der Lösung $$x$$ zu berechnen, ersetzen wir die $$j$$-te Spalte der Matrix $$A$$ durch den Vektor $$b$$, berechnen dann die Determinante dieser modifizierten Matrix und dividieren sie durch die Determinante der ursprünglichen Matrix $$A$$. Visible text: Um die -te Komponente der Lösung zu berechnen, ersetzen wir die -te Spalte der Matrix durch den Vektor , berechnen dann die Determinante dieser modifizierten Matrix und dividieren sie durch die Determinante der ursprünglichen Matrix . ## Beweis mit der Laplace-Entwicklung Der Beweis verwendet die Laplace-Entwicklung und die Identität der adjugierten Matrix. Für $$j = 1, \ldots, n$$: Visible text: Für : Component: MathContainer Children: ```math x_j = (A^{-1} \cdot b)_j = \sum_{i=1}^{n} (A^{-1})_{ji} \cdot b_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\det A} \cdot \tilde{a}_{ji} \cdot b_i ``` Component: MathContainer Children: ```math = \frac{1}{\det A} \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot \det A_{ij} \cdot b_i ``` ```math = \frac{1}{\det A} \cdot \det(a^1 \; \ldots \; a^{j-1} \; b \; a^{j+1} \; \ldots \; a^n) ``` mithilfe der Laplace-Entwicklung nach der $$j$$-ten Spalte. Visible text: mithilfe der Laplace-Entwicklung nach der -ten Spalte. ## Anwendungsbeispiel Nun wenden wir die Regel auf ein konkretes System an: Component: MathContainer Children: ```math A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 20 \\ 40 \\ 30 \end{pmatrix} ``` Da Component: MathContainer Children: ```math \det A = 1 \cdot ((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) ``` ```math + (-1) \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) = -4 \neq 0 ``` gilt, ist die Matrix $$A$$ invertierbar und das System besitzt genau eine Lösung. Visible text: gilt, ist die Matrix invertierbar und das System besitzt genau eine Lösung. Die Cramersche Regel liefert: Component: MathContainer Children: ```math x_1 = \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 20 & 1 & -1 \\ 40 & -1 & 1 \\ 30 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{-120}{-4} = 30 ``` Component: MathContainer Children: ```math x_2 = \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 20 & -1 \\ 1 & 40 & 1 \\ -1 & 30 & 1 \end{pmatrix} = \frac{-100}{-4} = 25 ``` Component: MathContainer Children: ```math x_3 = \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 20 \\ 1 & -1 & 40 \\ -1 & 1 & 30 \end{pmatrix} = \frac{-140}{-4} = 35 ``` Die Überprüfung zeigt, dass $$A \cdot x - b = 0$$. Visible text: Die Überprüfung zeigt, dass . ## Lösungseigenschaften für ganzzahlige Matrizen Sind $$A \in \mathbb{Z}^{n \times n}$$ invertierbar und $$b \in \mathbb{Z}^n$$, dann sind die Einträge von $$A^{-1}$$ und die Lösung $$x$$ von $$A \cdot x = b$$ rational. Vor dem Kürzen lassen sie sich alle über dem gemeinsamen Nenner $$|\det A|$$ schreiben. Jeder gekürzte Nenner teilt daher $$|\det A|$$. Visible text: Sind invertierbar und , dann sind die Einträge von und die Lösung von rational. Vor dem Kürzen lassen sie sich alle über dem gemeinsamen Nenner schreiben. Jeder gekürzte Nenner teilt daher . Der Grund ist einfach: Eine Determinante verwendet bei ganzzahligen Einträgen nur Addition, Subtraktion und Multiplikation und bleibt daher ganzzahlig. Erst die Inversenformel beziehungsweise die Cramersche Regel teilt durch $$\det A$$. Visible text: Der Grund ist einfach: Eine Determinante verwendet bei ganzzahligen Einträgen nur Addition, Subtraktion und Multiplikation und bleibt daher ganzzahlig. Erst die Inversenformel beziehungsweise die Cramersche Regel teilt durch .