# Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/eigenwerte-eigenvektoren-eigenraeume Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/eigenvalue-eigenvector-eigenspace/de.mdx Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume verstehen, berechnen und mit der Invertierbarkeit einer Matrix verknüpfen. --- ## Definition grundlegender Konzepte Die meisten Vektoren ändern unter einer Matrixtransformation sowohl ihre Länge als auch ihre Richtung. Ein Eigenvektor ist besonders: Die Transformation hält ihn auf derselben Geraden. Ein positiver Eigenwert erhält die Orientierung, ein negativer kehrt sie um und ein Eigenwert von null bildet den Vektor auf den Nullvektor ab. Sei $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ eine quadratische Matrix. Ein **Eigenvektor** $$v \in \mathbb{K}^n$$ für einen **Eigenwert** $$\lambda \in \mathbb{K}$$ ist ein Nicht-Null-Vektor $$v \neq 0$$, der Folgendes erfüllt: Visible text: Sei eine quadratische Matrix. Ein **Eigenvektor** für einen **Eigenwert** ist ein Nicht-Null-Vektor , der Folgendes erfüllt: ```math A \cdot v = \lambda \cdot v ``` Diese Gleichung zeigt, dass das Ergebnis ein skalares Vielfaches desselben Vektors ist, wenn die Matrix $$A$$ auf den Vektor $$v$$ operiert. Visible text: Diese Gleichung zeigt, dass das Ergebnis ein skalares Vielfaches desselben Vektors ist, wenn die Matrix auf den Vektor operiert. > Per Definition können Eigenwerte gleich $$0$$ sein, aber Eigenvektoren sind immer ungleich Null. Visible text: > Per Definition können Eigenwerte gleich sein, aber Eigenvektoren sind immer ungleich Null. ## Grundlegende Eigenschaften von Eigenvektoren Eigenvektoren haben grundlegende Eigenschaften, die in verschiedenen mathematischen Anwendungen sehr nützlich sind. **Skalare Multiplikation**: Seien $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ und $$v \in \mathbb{K}^n$$ mit $$v \neq 0$$ ein Eigenvektor von $$A$$ für den Eigenwert $$\lambda \in \mathbb{K}$$. Dann sind alle Vielfachen $$t \cdot v$$ mit $$t \neq 0$$ auch Eigenvektoren von $$A$$ für denselben Eigenwert $$\lambda$$. Visible text: **Skalare Multiplikation**: Seien und mit ein Eigenvektor von für den Eigenwert . Dann sind alle Vielfachen mit auch Eigenvektoren von für denselben Eigenwert . Das folgt direkt aus der Linearität: ```math A \cdot (t \cdot v) = t \cdot (A \cdot v) = t \cdot (\lambda \cdot v) = \lambda \cdot (t \cdot v) ``` Diese Eigenschaft zeigt, dass, wenn wir einen Eigenvektor finden, alle seine Vielfachen ungleich Null auch Eigenvektoren für denselben Eigenwert sind. ## Beispiele für Eigenvektorberechnungen Betrachten wir einige konkrete Beispiele, um dieses Konzept besser zu verstehen: ### Diagonale Matrix Für Matrix $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$: Visible text: Für Matrix : $$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ ist ein Eigenvektor für den Eigenwert $$\lambda_1 = 1$$, weil $$A \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot v_1$$ Visible text: ist ein Eigenvektor für den Eigenwert , weil $$v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ist ein Eigenvektor für den Eigenwert $$\lambda_2 = 2$$, weil $$A \cdot v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot v_2$$ Visible text: ist ein Eigenvektor für den Eigenwert , weil ### Symmetrische Matrix Für Matrix $$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$: Visible text: Für Matrix : $$v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ist ein Eigenvektor für den Eigenwert $$\lambda_1 = 2$$, weil $$A \cdot v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot v_1$$ Visible text: ist ein Eigenvektor für den Eigenwert , weil $$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ist ein Eigenvektor für den Eigenwert $$\lambda_2 = 4$$, weil $$A \cdot v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = 4 \cdot v_2$$ Visible text: ist ein Eigenvektor für den Eigenwert , weil ## Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren Seien $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ und $$\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$$ paarweise verschiedene Eigenwerte von $$A$$, sodass $$\lambda_i \neq \lambda_j$$ gilt, sobald $$i \neq j$$ ist. Dann sind die zugehörigen Eigenvektoren $$v_1, \ldots, v_k \in \mathbb{K}^n$$ linear unabhängig. Visible text: Seien und paarweise verschiedene Eigenwerte von , sodass gilt, sobald ist. Dann sind die zugehörigen Eigenvektoren linear unabhängig. Dieser Satz kann durch mathematische Induktion bewiesen werden und hat die wichtige Konsequenz, dass eine $$n \times n$$-Matrix höchstens $$n$$ verschiedene Eigenwerte hat. Visible text: Dieser Satz kann durch mathematische Induktion bewiesen werden und hat die wichtige Konsequenz, dass eine -Matrix höchstens verschiedene Eigenwerte hat. ## Eigenräume und geometrische Multiplizität Für jeden Eigenwert können wir einen Vektorraum definieren, der aus allen Eigenvektoren besteht, die diesem Eigenwert entsprechen. Seien $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ und $$\lambda \in \mathbb{K}$$. Die Menge Visible text: Seien und . Die Menge ```math E_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{K}^n : A \cdot v = \lambda \cdot v\} ``` heißt der **Eigenraum** von $$A$$ für $$\lambda$$. Seine Dimension: Visible text: heißt der **Eigenraum** von für . Seine Dimension: ```math \dim E_A(\lambda) ``` wird die **geometrische Multiplizität** des Eigenwerts $$\lambda$$ von $$A$$ genannt. Visible text: wird die **geometrische Multiplizität** des Eigenwerts von genannt. ### Eigenschaften von Eigenräumen Eigenräume haben mehrere wichtige Eigenschaften: 1. **Nullvektor ist kein Eigenvektor**: Der Nullvektor ist kein Eigenvektor, gehört aber zu $$E_A(\lambda)$$. 2. **Menge der Eigenvektoren**: $$E_A(\lambda) \setminus \{0\}$$ ist die Menge aller Eigenvektoren von $$A$$ zu $$\lambda$$. 3. **Eigenwertbedingung**: $$\lambda$$ ist genau dann ein Eigenwert von $$A$$, wenn $$E_A(\lambda) \neq \{0\}$$. 4. **Dimensionsgrenze**: $$0 \leq \dim E_A(\lambda) \leq n$$. Ist $$\lambda$$ ein Eigenwert, verbessert sich die untere Grenze auf $$1$$. 5. **Beziehung zum Kern**: $$E_A(0) = \{v \in \mathbb{K}^n : A \cdot v = 0\} = \ker A$$. 6. **Allgemeiner Eigenraum**: $$E_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{K}^n : (A - \lambda \cdot I) \cdot v = 0\} = \ker(A - \lambda \cdot I)$$. 7. **Schnitt der Eigenräume**: Wenn $$\lambda_1 \neq \lambda_2$$, dann gilt $$E_A(\lambda_1) \cap E_A(\lambda_2) = \{0\}$$. Visible text: 1. **Nullvektor ist kein Eigenvektor**: Der Nullvektor ist kein Eigenvektor, gehört aber zu . 2. **Menge der Eigenvektoren**: ist die Menge aller Eigenvektoren von zu . 3. **Eigenwertbedingung**: ist genau dann ein Eigenwert von , wenn . 4. **Dimensionsgrenze**: . Ist ein Eigenwert, verbessert sich die untere Grenze auf . 5. **Beziehung zum Kern**: . 6. **Allgemeiner Eigenraum**: . 7. **Schnitt der Eigenräume**: Wenn , dann gilt . ## Zusammenhang mit Invertibilität Eigenwerte stehen in engem Zusammenhang mit der Invertibilitätseigenschaft von Matrizen. Eine Matrix $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ ist genau dann invertierbar, wenn null keiner ihrer Eigenwerte ist. Visible text: Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn null keiner ihrer Eigenwerte ist. Tatsächlich ist $$A$$ genau dann invertierbar, wenn $$\operatorname{rank} A = n$$ gilt, äquivalent zu $$E_A(0) = \ker A = \{0\}$$. Visible text: Tatsächlich ist genau dann invertierbar, wenn gilt, äquivalent zu . ### Eigenwerte der inversen Matrix Wenn die Matrix $$A$$ invertierbar ist und $$v \neq 0$$ ein Eigenvektor von $$A$$ für den Eigenwert $$\lambda \in \mathbb{K}$$ ist, dann ist $$v$$ auch ein Eigenvektor von $$A^{-1}$$ für den Eigenwert $$\frac{1}{\lambda}$$. Visible text: Wenn die Matrix invertierbar ist und ein Eigenvektor von für den Eigenwert ist, dann ist auch ein Eigenvektor von für den Eigenwert . Wenden wir $$A^{-1}$$ auf $$A \cdot v = \lambda \cdot v$$ an, erhalten wir: Visible text: Wenden wir auf an, erhalten wir: ```math v = \lambda A^{-1}v \quad \Longrightarrow \quad A^{-1}v = \frac{1}{\lambda}v ``` ## Invertibilitätskriterien Betrachten wir verschiedene Möglichkeiten, um zu bestimmen, ob eine Matrix invertierbar ist. Für eine quadratische Matrix $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ sind die folgenden Aussagen äquivalent: Visible text: Betrachten wir verschiedene Möglichkeiten, um zu bestimmen, ob eine Matrix invertierbar ist. Für eine quadratische Matrix sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1. $$A$$ ist invertierbar 2. Es existiert eine Matrix $$A^{-1} \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ mit $$A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A$$ 3. $$A$$ hat vollen Rang, $$\operatorname{rank} A = n$$, äquivalent zu $$\ker A = \{0\}$$ 4. Die Spalten von $$A$$ sind linear unabhängig 5. Die Zeilen von $$A$$ sind linear unabhängig 6. $$\det A \neq 0$$ 7. $$0$$ ist kein Eigenwert von $$A$$ Visible text: 1. ist invertierbar 2. Es existiert eine Matrix mit 3. hat vollen Rang, , äquivalent zu 4. Die Spalten von sind linear unabhängig 5. Die Zeilen von sind linear unabhängig 6. 7. ist kein Eigenwert von Dieser Satz bietet verschiedene äquivalente Möglichkeiten, um zu überprüfen, ob eine Matrix invertierbar ist, wobei Eigenwerte eines der sehr nützlichen Kriterien sind.