# Ausgewählte Eigenwerte berechnen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/einzelne-eigenwerte-berechnen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/individual-eigenvalue-calculation/de.mdx Ausgewählte Eigenpaare mit Potenziteration, verschobener inverser Iteration, Rayleigh-Quotienten und Residuen zuverlässig berechnen. --- ## Verschobene inverse Iteration Die verschobene inverse Iteration zielt auf den Eigenwert, der einer gewählten Verschiebung $$\mu$$ am nächsten liegt. Wir beginnen mit einer reellen symmetrischen Matrix $$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$$. Ihre Eigenwerte sind reell, und das Konvergenzverhalten lässt sich besonders klar beschreiben. Visible text: Die verschobene inverse Iteration zielt auf den Eigenwert, der einer gewählten Verschiebung am nächsten liegt. Wir beginnen mit einer reellen symmetrischen Matrix . Ihre Eigenwerte sind reell, und das Konvergenzverhalten lässt sich besonders klar beschreiben. Wähle ein $$\mu$$, das selbst kein Eigenwert ist, und einen normierten Startvektor $$q_0$$ mit einer von null verschiedenen Komponente in der gesuchten Eigenvektorrichtung. Faktorisiere $$A-\mu I$$ einmal und verwende diese Faktorisierung wiederholt. Visible text: Wähle ein , das selbst kein Eigenwert ist, und einen normierten Startvektor mit einer von null verschiedenen Komponente in der gesuchten Eigenvektorrichtung. Faktorisiere einmal und verwende diese Faktorisierung wiederholt. ### Ein Iterationsschritt Führe für $$k=0,1,2,\ldots$$ die folgenden Schritte aus: Visible text: Führe für die folgenden Schritte aus: Component: MathContainer Children: ```math (A-\mu I)y_{k+1}=q_k ``` ```math q_{k+1}=\frac{y_{k+1}}{\|y_{k+1}\|_2} ``` ```math \rho_{k+1}=q_{k+1}^T A q_{k+1} ``` ```math r_{k+1}=Aq_{k+1}-\rho_{k+1}q_{k+1} ``` Der Rayleigh-Quotient $$\rho_{k+1}$$ schätzt den Eigenwert. Eine skalenabhängige Abbruchregel prüft das Residuum, statt lediglich aufeinanderfolgende Schätzungen zu vergleichen: Visible text: Der Rayleigh-Quotient schätzt den Eigenwert. Eine skalenabhängige Abbruchregel prüft das Residuum, statt lediglich aufeinanderfolgende Schätzungen zu vergleichen: ```math \|r_{k+1}\|_2 \leq \tau\bigl(\|A\|_2+|\rho_{k+1}|\bigr) ``` Aus $$Av_i=\lambda_i v_i$$ folgt Visible text: Aus folgt ```math (A-\mu I)^{-1}v_i=\frac{1}{\lambda_i-\mu}v_i ``` und der Eigenwert nahe $$\mu$$ erzeugt damit den größten transformierten Betrag. In der Implementierung lösen wir das lineare Gleichungssystem. Wir bilden $$(A-\mu I)^{-1}$$ nicht explizit. Visible text: und der Eigenwert nahe erzeugt damit den größten transformierten Betrag. In der Implementierung lösen wir das lineare Gleichungssystem. Wir bilden nicht explizit. ## Potenziteration Die Potenziteration zielt auf den Eigenwert mit dem größten Betrag. Ausgehend von einem normierten Vektor $$q_0$$ wiederholen wir: Visible text: Die Potenziteration zielt auf den Eigenwert mit dem größten Betrag. Ausgehend von einem normierten Vektor wiederholen wir: Component: MathContainer Children: ```math y_{k+1}=Aq_k ``` ```math q_{k+1}=\frac{y_{k+1}}{\|y_{k+1}\|_2} ``` ```math \rho_{k+1}=q_{k+1}^T A q_{k+1} ``` ```math r_{k+1}=Aq_{k+1}-\rho_{k+1}q_{k+1} ``` Bei einer symmetrischen Matrix ist die Konvergenz zum dominanten Eigenvektor zu erwarten, wenn ```math |\lambda_1|>|\lambda_2| ``` gilt und der Startvektor eine von null verschiedene Komponente in Richtung des Eigenvektors zu $$\lambda_1$$ besitzt. Der asymptotische Konvergenzfaktor beträgt ungefähr $$|\lambda_2/\lambda_1|$$. Gleiche oder eng beieinanderliegende dominante Beträge können die Einvektorkonvergenz verlangsamen oder verhindern. Visible text: gilt und der Startvektor eine von null verschiedene Komponente in Richtung des Eigenvektors zu besitzt. Der asymptotische Konvergenzfaktor beträgt ungefähr . Gleiche oder eng beieinanderliegende dominante Beträge können die Einvektorkonvergenz verlangsamen oder verhindern. ## Welchen Eigenwert findet welches Verfahren? Das Wort „kleinster“ ist mehrdeutig. Deshalb muss das Ziel immer genau benannt werden. | Methode | Ziel | | --- | --- | | Potenziteration auf $$A$$ | Eigenwert mit dem größten Betrag | | Inverse Iteration mit $$\mu=0$$ | Von null verschiedener Eigenwert mit dem kleinsten Betrag | | Verschobene inverse Iteration | Eigenwert mit dem geringsten Abstand zu $$\mu$$ | | Inverse Iteration auf einer positiv definiten Matrix | Kleinster algebraischer Eigenwert, der zugleich den kleinsten Betrag hat | Visible text: | Methode | Ziel | | --- | --- | | Potenziteration auf | Eigenwert mit dem größten Betrag | | Inverse Iteration mit | Von null verschiedener Eigenwert mit dem kleinsten Betrag | | Verschobene inverse Iteration | Eigenwert mit dem geringsten Abstand zu | | Inverse Iteration auf einer positiv definiten Matrix | Kleinster algebraischer Eigenwert, der zugleich den kleinsten Betrag hat | Bei einer indefiniten Matrix muss der Eigenwert mit dem kleinsten Betrag nicht der negativste Eigenwert sein. Diese Unterscheidung verhindert einen häufigen Interpretationsfehler. ## Beispiel zur verschobenen inversen Iteration Betrachten wir Component: MathContainer Children: ```math A=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix} ``` ```math \mu=1,\qquad q_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} ``` Das verschobene System liefert im ersten Schritt Component: MathContainer Children: ```math y_1=(A-I)^{-1}q_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1/4\end{pmatrix} ``` ```math q_1=\frac{1}{\sqrt{17}}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix} ``` ```math \rho_1=q_1^TAq_1=\frac{37}{17}\approx2{,}176 ``` Da $$2$$ näher an der Verschiebung $$1$$ liegt als $$5$$, treiben weitere Iterationen die zweite Komponente gegen null und $$\rho_k$$ gegen $$2$$. Visible text: Da näher an der Verschiebung liegt als , treiben weitere Iterationen die zweite Komponente gegen null und gegen . ## Praktische Prüfungen 1. Faktorisiere die verschobene Matrix mit einem stabilen Verfahren und, falls nötig, mit Pivotisierung. Trifft die Verschiebung genau einen Eigenwert, ist die verschobene Matrix singulär. Dann muss der Lösevorgang gesondert behandelt oder die Verschiebung angepasst werden. 2. Verwende die Residuumsnorm als Abbruchkriterium. Eine kleine Änderung zwischen zwei Eigenwertschätzungen beweist noch kein genaues Eigenpaar. 3. Das Vorzeichen eines Eigenvektors ist frei: $$q$$ und $$-q$$ beschreiben dieselbe Eigenrichtung. 4. Für Eigenwertcluster oder allgemeine nichtnormale Matrizen eignen sich Mehrvektorverfahren oder die Schur-Form, etwa Lanczos-, Arnoldi- oder QR-basierte Eigenwertlöser. Visible text: 1. Faktorisiere die verschobene Matrix mit einem stabilen Verfahren und, falls nötig, mit Pivotisierung. Trifft die Verschiebung genau einen Eigenwert, ist die verschobene Matrix singulär. Dann muss der Lösevorgang gesondert behandelt oder die Verschiebung angepasst werden. 2. Verwende die Residuumsnorm als Abbruchkriterium. Eine kleine Änderung zwischen zwei Eigenwertschätzungen beweist noch kein genaues Eigenpaar. 3. Das Vorzeichen eines Eigenvektors ist frei: und beschreiben dieselbe Eigenrichtung. 4. Für Eigenwertcluster oder allgemeine nichtnormale Matrizen eignen sich Mehrvektorverfahren oder die Schur-Form, etwa Lanczos-, Arnoldi- oder QR-basierte Eigenwertlöser.