# Beste Approximation in Funktionen- und Polynomräumen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/funktionen-durch-polynome-annaehern Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/approximation-function-polynomial/de.mdx Bestimme mit Skalarprodukten und orthogonaler Projektion die beste polynomiale oder trigonometrische Approximation einer Funktion in der L2-Norm. --- ## Warum approximieren wir eine Funktion? Eine Funktion kann aufwendig auszuwerten oder für eine spätere Rechnung zu kompliziert sein. Dann wählen wir eine einfachere Funktionenfamilie und stellen eine genaue Frage: Welches Mitglied dieser Familie liegt der ursprünglichen Funktion am nächsten? Mit $$C([a,b])$$ bezeichnen wir den reellen Vektorraum der stetigen Funktionen auf $$[a,b]$$. Den Fehler messen wir über das gesamte Intervall und nicht nur an einem einzelnen Punkt. Visible text: Mit bezeichnen wir den reellen Vektorraum der stetigen Funktionen auf . Den Fehler messen wir über das gesamte Intervall und nicht nur an einem einzelnen Punkt. ## Skalarprodukt und L2-Fehler Für $$f,g\in C([a,b])$$ definieren wir Visible text: Für definieren wir Component: MathContainer Children: ```math \langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)\,dx ``` ```math \|f\|_2=\sqrt{\langle f,f\rangle}=\left(\int_a^b|f(x)|^2\,dx\right)^{1/2} ``` Dieses Skalarprodukt macht $$C([a,b])$$ zu einem Skalarproduktraum. Die angezeigte Norm ist die $$L^2$$-Norm. Sie ist erst dann der quadratische Mittelwert, wenn wir durch die Wurzel der Intervalllänge teilen: Visible text: Dieses Skalarprodukt macht zu einem Skalarproduktraum. Die angezeigte Norm ist die -Norm. Sie ist erst dann der quadratische Mittelwert, wenn wir durch die Wurzel der Intervalllänge teilen: ```math \operatorname{RMS}(f)=\frac{1}{\sqrt{b-a}}\|f\|_2 ``` Die Größe $$\|f-g\|_2$$ fasst den Fehler über das gesamte Intervall zusammen. Positive und negative Fehler können sich nicht gegenseitig aufheben, weil die Differenz im Integral quadriert wird. Visible text: Die Größe fasst den Fehler über das gesamte Intervall zusammen. Positive und negative Fehler können sich nicht gegenseitig aufheben, weil die Differenz im Integral quadriert wird. ## Beste Approximation als orthogonale Projektion Sei $$S\subset C([a,b])$$ ein endlichdimensionaler Unterraum. Die beste Approximation von $$f$$ in $$S$$ ist die eindeutige Funktion $$g\in S$$ mit Visible text: Sei ein endlichdimensionaler Unterraum. Die beste Approximation von in ist die eindeutige Funktion mit ```math \|f-g\|_2=\min_{\varphi\in S}\|f-\varphi\|_2 ``` Geometrisch ist $$g$$ die orthogonale Projektion von $$f$$ auf $$S$$. Das Residuum $$r=f-g$$ muss zu jeder Funktion im Approximationsraum orthogonal sein: Visible text: Geometrisch ist die orthogonale Projektion von auf . Das Residuum muss zu jeder Funktion im Approximationsraum orthogonal sein: ```math \langle f-g,s\rangle=0\qquad\text{für jedes }s\in S ``` Ist $$\{\phi_0,\ldots,\phi_n\}$$ eine Basis von $$S$$ und $$g=\sum_{j=0}^n c_j\phi_j$$, werden diese Orthogonalitätsbedingungen zu den Normalgleichungen Visible text: Ist eine Basis von und , werden diese Orthogonalitätsbedingungen zu den Normalgleichungen ```math \sum_{j=0}^n\langle\phi_j,\phi_i\rangle c_j=\langle f,\phi_i\rangle,\qquad i=0,\ldots,n ``` ## Durchgerechnetes Beispiel: Eine quadratische Funktion durch eine Gerade approximieren Wir approximieren $$f(x)=x^2$$ auf $$[-1,1]$$ durch eine Funktion aus $$S=\operatorname{span}\{1,x\}$$. Setze $$g(x)=c_0+c_1x$$. Die Orthogonalität zu den beiden Basisfunktionen liefert Visible text: Wir approximieren auf durch eine Funktion aus . Setze . Die Orthogonalität zu den beiden Basisfunktionen liefert Component: MathContainer Children: ```math \int_{-1}^{1}\left(x^2-c_0-c_1x\right)\,dx=0 ``` ```math \int_{-1}^{1}x\left(x^2-c_0-c_1x\right)\,dx=0 ``` Die ungeraden Terme integrieren sich auf dem symmetrischen Intervall zu null. Aus der zweiten Gleichung folgt $$c_1=0$$, aus der ersten $$c_0=1/3$$. Damit gilt Visible text: Die ungeraden Terme integrieren sich auf dem symmetrischen Intervall zu null. Aus der zweiten Gleichung folgt , aus der ersten . Damit gilt Component: MathContainer Children: ```math g(x)=\frac13 ``` ```math \|f-g\|_2^2=\int_{-1}^{1}\left(x^2-\frac13\right)^2\,dx=\frac8{45} ``` Die beste Gerade ist waagerecht. Das ist keine Vermutung: Die Symmetrie von $$x^2$$ zwingt den Koeffizienten der ungeraden Basisfunktion $$x$$ auf null. Visible text: Die beste Gerade ist waagerecht. Das ist keine Vermutung: Die Symmetrie von zwingt den Koeffizienten der ungeraden Basisfunktion auf null. ## Polynomiale Approximationsräume Für algebraische Polynome vom Grad höchstens $$n$$ verwenden wir Visible text: Für algebraische Polynome vom Grad höchstens verwenden wir ```math P_n([a,b])=\operatorname{span}\{1,x,x^2,\ldots,x^n\} ``` Ein größeres $$n$$ erweitert den Approximationsraum. Der kleinstmögliche $$L^2$$-Fehler kann deshalb nicht wachsen. In numerischen Rechnungen sind orthogonale Polynombasen häufig günstiger als einfache Potenzen, weil sie besser konditionierte Systeme ergeben. Visible text: Ein größeres erweitert den Approximationsraum. Der kleinstmögliche -Fehler kann deshalb nicht wachsen. In numerischen Rechnungen sind orthogonale Polynombasen häufig günstiger als einfache Potenzen, weil sie besser konditionierte Systeme ergeben. ## Trigonometrische Approximationsräume Für eine periodische Funktion mit der Periode $$\omega>0$$ eignet sich der Raum Visible text: Für eine periodische Funktion mit der Periode eignet sich der Raum ```math T_n(\omega)=\left\{\frac{a_0}{2}+\sum_{i=1}^n\left[a_i\cos\left(\frac{2\pi ix}{\omega}\right)+b_i\sin\left(\frac{2\pi ix}{\omega}\right)\right]:a_i,b_i\in\mathbb{R}\right\} ``` Über eine volle Periode sind diese Sinus- und Kosinusbasisfunktionen paarweise orthogonal. Ihre Koeffizienten lassen sich daher berechnen, indem wir die Zielfunktion auf jede Basisfunktion projizieren. Das ist die endlichdimensionale Grundidee der Fourier-Approximation. | Wahl von $$S$$ | Geeignet für | Bestimmung der Koeffizienten | |---|---|---| | $$P_n([a,b])$$ | Glattes Verhalten auf einem endlichen Intervall | Das Residuum ist zu den Polynomfunktionen der Basis orthogonal | | $$T_n(\omega)$$ | Periodisches Verhalten | Das Residuum ist zu den Sinus- und Kosinusfunktionen der Basis orthogonal | Visible text: | Wahl von | Geeignet für | Bestimmung der Koeffizienten | |---|---|---| | | Glattes Verhalten auf einem endlichen Intervall | Das Residuum ist zu den Polynomfunktionen der Basis orthogonal | | | Periodisches Verhalten | Das Residuum ist zu den Sinus- und Kosinusfunktionen der Basis orthogonal | > Eine beste Approximation ist nicht bloß eine optisch ähnliche Kurve. Sie ist die orthogonale Projektion, die durch den gewählten Funktionenraum, das Intervall und die Norm festgelegt wird.