# Triangularisierung und Jordan-Normalform > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/jordansche-normalform Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/jordan-normal-form/de.mdx Verstehe Triangularisierung, Jordan-Blöcke, verallgemeinerte Eigenvektorketten und die Aussagen der Jordan-Form über eine nicht diagonalisierbare Matrix. --- ## Wenn eine Diagonalisierung nicht möglich ist Für eine Diagonalisierung braucht man eine Basis, die vollständig aus Eigenvektoren besteht. Eine solche Basis existiert nicht immer. Ein schwächeres Ergebnis bleibt jedoch erhalten: Zerfällt das charakteristische Polynom von $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ über $$\mathbb{K}$$ in Linearfaktoren, so transformiert eine invertierbare Matrix $$S$$ die Matrix $$A$$ in eine obere Dreiecksmatrix. Visible text: Für eine Diagonalisierung braucht man eine Basis, die vollständig aus Eigenvektoren besteht. Eine solche Basis existiert nicht immer. Ein schwächeres Ergebnis bleibt jedoch erhalten: Zerfällt das charakteristische Polynom von über in Linearfaktoren, so transformiert eine invertierbare Matrix die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix. Component: MathContainer Children: ```math R=S^{-1}AS ``` ```math R=\begin{pmatrix}\lambda_1&*&\cdots&*\\0&\lambda_2&\cdots&*\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&\lambda_n\end{pmatrix} ``` Die Diagonaleinträge sind die Eigenwerte, jeweils entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit wiederholt. Über $$\mathbb{C}$$ zerfällt jedes charakteristische Polynom. Über $$\mathbb{R}$$ kann diese Voraussetzung bei nicht reellen Eigenwerten scheitern. Visible text: Die Diagonaleinträge sind die Eigenwerte, jeweils entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit wiederholt. Über zerfällt jedes charakteristische Polynom. Über kann diese Voraussetzung bei nicht reellen Eigenwerten scheitern. Die Jordan-Normalform präzisiert diese Dreiecksform. Sie erfasst nicht nur die Eigenwerte, sondern zeigt auch genau, warum die vorhandenen Eigenvektoren keine Basis bilden. ## Ein Jordan-Block Ein Jordan-Block der Größe $$s$$ zum Eigenwert $$\lambda$$ lautet Visible text: Ein Jordan-Block der Größe zum Eigenwert lautet Component: MathContainer Children: ```math J_s(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0\\0&\lambda&1&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&\lambda&1\\0&\cdots&\cdots&0&\lambda\end{pmatrix} ``` ```math J_s(\lambda)=\lambda I_s+N_s,\qquad N_s^s=0 ``` Die nilpotente Matrix $$N_s$$ besitzt Einsen auf der Superdiagonalen und sonst nur Nullen. Ein Block der Größe $$1$$ ist einfach $$(\lambda)$$. Ein größerer Block zeigt, dass ein Eigenvektor durch verallgemeinerte Eigenvektoren ergänzt werden muss. Visible text: Die nilpotente Matrix besitzt Einsen auf der Superdiagonalen und sonst nur Nullen. Ein Block der Größe ist einfach . Ein größerer Block zeigt, dass ein Eigenvektor durch verallgemeinerte Eigenvektoren ergänzt werden muss. ## Verallgemeinerte Eigenvektorketten Die Vektoren $$v_1,\ldots,v_s$$ bilden eine Jordan-Kette zu $$\lambda$$, wenn Visible text: Die Vektoren bilden eine Jordan-Kette zu , wenn Component: MathContainer Children: ```math (A-\lambda I)v_1=0 ``` ```math (A-\lambda I)v_{j+1}=v_j,\qquad j=1,\ldots,s-1 ``` Der erste Vektor ist ein gewöhnlicher Eigenvektor. Jeder folgende Vektor wird durch $$A-\lambda I$$ auf seinen Vorgänger abgebildet. In der geordneten Basis $$(v_1,\ldots,v_s)$$ wird die Einschränkung von $$A$$ auf diese Kette durch $$J_s(\lambda)$$ dargestellt. Visible text: Der erste Vektor ist ein gewöhnlicher Eigenvektor. Jeder folgende Vektor wird durch auf seinen Vorgänger abgebildet. In der geordneten Basis wird die Einschränkung von auf diese Kette durch dargestellt. ## Die vollständige Jordan-Form Es gelte ```math \chi_A(t)=\prod_{i=1}^{k}(t-\lambda_i)^{a_i} ``` und dieses Polynom zerfalle über $$\mathbb{K}$$, wobei $$\lambda_1,\ldots,\lambda_k$$ verschiedene Eigenwerte sind. Dann existiert eine invertierbare Matrix $$S$$ mit Visible text: und dieses Polynom zerfalle über , wobei verschiedene Eigenwerte sind. Dann existiert eine invertierbare Matrix mit ```math S^{-1}AS=J=\operatorname{diag}\bigl(J_{s_{11}}(\lambda_1),\ldots,J_{s_{1q_1}}(\lambda_1),\ldots,J_{s_{k1}}(\lambda_k),\ldots,J_{s_{kq_k}}(\lambda_k)\bigr) ``` Für jeden Eigenwert erfüllen die Blockgrößen ```math s_{i1}+\cdots+s_{iq_i}=a_i ``` Die Anzahl der Blöcke zu $$\lambda_i$$ entspricht der geometrischen Vielfachheit $$\dim\ker(A-\lambda_iI)$$. Die Blockgrößen werden durch $$A$$ eindeutig bestimmt, ihre Reihenfolge auf der Diagonalen jedoch nicht. Visible text: Die Anzahl der Blöcke zu entspricht der geometrischen Vielfachheit . Die Blockgrößen werden durch eindeutig bestimmt, ihre Reihenfolge auf der Diagonalen jedoch nicht. | Frage | Aussage der Jordan-Blöcke | | --- | --- | | Ist $$A$$ diagonalisierbar? | Genau dann, wenn jeder Jordan-Block die Größe $$1$$ hat. | | Wie viele linear unabhängige Eigenvektoren gehören zu $$\lambda_i$$? | Einer für jeden Jordan-Block zu $$\lambda_i$$. | | Warum entscheidet ein mehrfacher Eigenwert noch nicht über die Diagonalisierbarkeit? | Dieselbe algebraische Vielfachheit kann auf Blöcke unterschiedlicher Größe verteilt sein. | Visible text: | Frage | Aussage der Jordan-Blöcke | | --- | --- | | Ist diagonalisierbar? | Genau dann, wenn jeder Jordan-Block die Größe hat. | | Wie viele linear unabhängige Eigenvektoren gehören zu ? | Einer für jeden Jordan-Block zu . | | Warum entscheidet ein mehrfacher Eigenwert noch nicht über die Diagonalisierbarkeit? | Dieselbe algebraische Vielfachheit kann auf Blöcke unterschiedlicher Größe verteilt sein. | ## Durchgerechnetes Beispiel Betrachten wir ```math A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}=J_2(1)\oplus J_1(2) ``` Das charakteristische Polynom ist ```math \chi_A(t)=(t-1)^2(t-2) ``` Für $$\lambda=1$$ gilt Visible text: Für gilt Component: MathContainer Children: ```math A-I=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix} ``` ```math \ker(A-I)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right\} ``` Der Eigenwert $$1$$ hat die algebraische Vielfachheit $$2$$, aber nur einen linear unabhängigen Eigenvektor. Deshalb ist $$A$$ nicht diagonalisierbar. Die Vektoren Visible text: Der Eigenwert hat die algebraische Vielfachheit , aber nur einen linear unabhängigen Eigenvektor. Deshalb ist nicht diagonalisierbar. Die Vektoren ```math v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} ``` bilden eine Kette, denn $$(A-I)v_1=0$$ und $$(A-I)v_2=v_1$$. Der Eigenwert $$2$$ liefert den separaten Block $$J_1(2)$$. Visible text: bilden eine Kette, denn und . Der Eigenwert liefert den separaten Block . ## Wozu die Jordan-Form dient Die Darstellung $$J_s(\lambda)=\lambda I+N$$ mit $$N^s=0$$ macht Potenzen explizit berechenbar: Visible text: Die Darstellung mit macht Potenzen explizit berechenbar: ```math J_s(\lambda)^m=\sum_{j=0}^{s-1}\binom{m}{j}\lambda^{m-j}N^j ``` Die Formel erklärt, warum Potenzen einer nicht diagonalisierbaren Matrix neben Eigenwertpotenzen auch Polynomfaktoren in $$m$$ enthalten. Das ist bei der exakten Analyse von Rekursionen und Differentialgleichungen nützlich. Visible text: Die Formel erklärt, warum Potenzen einer nicht diagonalisierbaren Matrix neben Eigenwertpotenzen auch Polynomfaktoren in enthalten. Das ist bei der exakten Analyse von Rekursionen und Differentialgleichungen nützlich. Die Jordan-Form dient vor allem der exakten algebraischen Klassifikation. Sie reagiert sehr empfindlich auf kleine numerische Störungen. Numerische Software berechnet deshalb gewöhnlich eine Schur-Zerlegung statt einer Jordan-Form.