# Komplexe Matrix > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/komplexe-matrizen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/complex-matrix/de.mdx Arbeite mit komplexen Matrizen, berechne konjugiert transponierte Matrizen und miss komplexe Vektoren korrekt mit dem hermiteschen Skalarprodukt. --- ## Definition einer Matrix mit komplexen Einträgen Komplexe Matrizen folgen denselben Regeln für Zeilen, Spalten, Addition und Multiplikation wie reelle Matrizen. Der Unterschied besteht darin, dass jeder Eintrag einen Realteil und einen Imaginärteil besitzen kann. Ein rechteckiges Schema komplexer Zahlen mit $$m \in \mathbb{N}$$ Zeilen und $$n \in \mathbb{N}$$ Spalten wird als komplexe $$m \times n$$-Matrix bezeichnet: Visible text: Ein rechteckiges Schema komplexer Zahlen mit Zeilen und Spalten wird als komplexe -Matrix bezeichnet: ```math A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} = (a_{ij})_{\substack{i=1,\ldots,m \\ j=1,\ldots,n}} ``` mit **Koeffizienten** $$a_{ij} \in \mathbb{C}$$ für $$i = 1, \ldots, m$$ und $$j = 1, \ldots, n$$. Die Menge aller komplexen $$m \times n$$-Matrizen wird als $$\mathbb{C}^{m \times n}$$ geschrieben. Visible text: mit **Koeffizienten** für und . Die Menge aller komplexen -Matrizen wird als geschrieben. Einträge wie $$2+3i$$ und $$-1-4i$$ gehören beispielsweise zu $$\mathbb C$$. Da die Konjugation für Längen und Winkel entscheidend ist, eignet sich die gewöhnliche Transposition nicht mehr für jede geometrische Rechnung. Visible text: Einträge wie und gehören beispielsweise zu . Da die Konjugation für Längen und Winkel entscheidend ist, eignet sich die gewöhnliche Transposition nicht mehr für jede geometrische Rechnung. ## Adjungierte Matrix Bei komplexen Matrizen ist die **Adjungierte**, auch konjugiert transponierte Matrix genannt, das geometrische Gegenstück zur Transposition. Dabei wird die Matrix transponiert und jeder Eintrag komplex konjugiert. Sei $$A \in \mathbb{C}^{m \times n}$$ eine komplexe $$m \times n$$-Matrix. Die **adjungierte Matrix** (komplexe konjugierte Transponierungsmatrix) $$A^H$$ von $$A$$ ist die komplexe $$n \times m$$-Matrix, die man erhält, indem man die Zeilen und Spalten von $$A$$ vertauscht und die komplexe Konjugierte jedes Eintrags nimmt: Visible text: Sei eine komplexe -Matrix. Die **adjungierte Matrix** (komplexe konjugierte Transponierungsmatrix) von ist die komplexe -Matrix, die man erhält, indem man die Zeilen und Spalten von vertauscht und die komplexe Konjugierte jedes Eintrags nimmt: ```math A^H = \overline{A^T} = \overline{A}^T = \begin{pmatrix} \overline{a_{11}} & \cdots & \overline{a_{m1}} \\ \vdots & & \vdots \\ \overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{mn}} \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{n \times m} ``` Zum Beispiel gilt Component: MathContainer Children: ```math A=\begin{pmatrix}1+i&2\\-i&3-2i\end{pmatrix} ``` ```math A^H=\begin{pmatrix}1-i&i\\2&3+2i\end{pmatrix} ``` Der Eintrag in Zeile $$j$$ und Spalte $$i$$ von $$A^H$$ ist somit $$\overline{a_{ij}}$$. Visible text: Der Eintrag in Zeile und Spalte von ist somit . ## Eigenschaften der adjungierten Matrix Die adjungierte Matrix verfügt über mehrere wichtige Eigenschaften, die bei Berechnungen nützlich sind. Hier sind die grundlegenden Eigenschaften, die immer gelten: ### Grundlegende Eigenschaften 1. **Beziehung zur echten Transponierung**: Für $$A \in \mathbb{R}^{m \times n} \subset \mathbb{C}^{m \times n}$$ gilt $$A^H = A^T$$ Visible text: 1. **Beziehung zur echten Transponierung**: Für gilt Dies ist sinnvoll, denn wenn die Matrix nur reelle Einträge enthält, ändert das komplexe Konjugierte seinen Wert nicht. 2. **Involution**: $$(A^H)^H = A$$ Visible text: 2. **Involution**: Wenn wir den Adjungierten eines Adjungierten nehmen, kehren wir zur ursprünglichen Matrix zurück. ### Eigenschaften der linearen Operation 3. **Linearität der Addition**: $$(A + B)^H = A^H + B^H$$ 4. **Konjugierte Linearität bezüglich eines Skalars**: $$(\lambda \cdot A)^H = \overline{\lambda} \cdot A^H$$ Visible text: 3. **Linearität der Addition**: 4. **Konjugierte Linearität bezüglich eines Skalars**: Beachten Sie, dass wir für die Skalarmultiplikation das Konjugierte des Skalars $$\lambda$$ nehmen müssen. Visible text: Beachten Sie, dass wir für die Skalarmultiplikation das Konjugierte des Skalars nehmen müssen. ### Multiplikationseigenschaften 5. **Umkehrung der Produktreihenfolge**: $$(A \cdot B)^H = B^H \cdot A^H$$ Visible text: 5. **Umkehrung der Produktreihenfolge**: Diese Regel ist keine Antikommutativität. Sie besagt, dass das Adjungieren eines Produkts die Reihenfolge seiner Faktoren umkehrt, genau wie die Transposition bei reellen Matrizen. ## Euklidische Norm für komplexe Räume Für $$v,w\in\mathbb C^n$$ lautet das hermitesche Standardskalarprodukt Visible text: Für lautet das hermitesche Standardskalarprodukt ```math \langle v,w\rangle=v^Hw=\sum_{i=1}^n\overline{v_i}w_i ``` Die Konjugation im ersten Argument stellt sicher, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nicht negativ ist. Für $$v \in \mathbb{C}^n$$ definieren wir: Visible text: Für definieren wir: ```math v^H v = \sum_{i=1}^n \overline{v_i} v_i = \sum_{i=1}^n |v_i|^2 \in \mathbb{R}_{\geq0} ``` Die **Euklidische Norm** wird wie folgt berechnet: ```math \|v\|_2 = \sqrt{v^H v} ``` Für $$v=(1+i,2-i)^T$$ ist die Rechnung unmittelbar: Visible text: Für ist die Rechnung unmittelbar: Component: MathContainer Children: ```math v^Hv=|1+i|^2+|2-i|^2=2+5=7 ``` ```math \|v\|_2=\sqrt7 ``` Deshalb wäre $$v^Tv$$ in einem komplexen Raum falsch: Ohne Konjugation muss das Ergebnis weder reell noch positiv sein. Visible text: Deshalb wäre in einem komplexen Raum falsch: Ohne Konjugation muss das Ergebnis weder reell noch positiv sein. ### Eigenschaften der euklidischen Norm Die euklidische Norm erfüllt die folgenden Eigenschaften: **Homogenität**: $$\|\alpha v\|_2 = |\alpha| \|v\|_2$$ Visible text: **Homogenität**: **Positiv definit**: $$\|v\|_2 \geq 0$$ und $$\|v\|_2 = 0 \Leftrightarrow v = 0$$ Visible text: **Positiv definit**: und **Dreiecksungleichung**: $$\|v + w\|_2 \leq \|v\|_2 + \|w\|_2$$ Visible text: **Dreiecksungleichung**: Diese Eigenschaften machen $$\|\cdot\|_2$$ zu einer echten Norm. Die Adjungierte ist also keine bloße Schreibweise: Sie sorgt dafür, dass komplexe Längen, Orthogonalität und Projektionen mit ihren reellen Gegenstücken übereinstimmen. Visible text: Diese Eigenschaften machen zu einer echten Norm. Die Adjungierte ist also keine bloße Schreibweise: Sie sorgt dafür, dass komplexe Längen, Orthogonalität und Projektionen mit ihren reellen Gegenstücken übereinstimmen.