# Komplexer Vektorraum > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/komplexer-vektorraum Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/complex-vector-space/de.mdx Baue komplexe Vektorräume aus dem Körper der komplexen Zahlen auf und erkenne, wie der Skalarkörper Dimension und Linearität verändert. --- ## Einführung in komplexe Zahlen Die imaginäre Einheit $$i$$ erfüllt $$i^2=-1$$. Eine komplexe Zahl verbindet eine reelle und eine imaginäre Koordinate. Dadurch kann ein einziger Skalar sowohl eine Streckung als auch eine Drehung ausdrücken. Visible text: Die imaginäre Einheit erfüllt . Eine komplexe Zahl verbindet eine reelle und eine imaginäre Koordinate. Dadurch kann ein einziger Skalar sowohl eine Streckung als auch eine Drehung ausdrücken. Die Menge der komplexen Zahlen ist als $$\mathbb{C} := \{z = x + iy : x, y \in \mathbb{R}\}$$ definiert. In jeder komplexen Zahl $$z = x + iy$$ wird der Teil $$x = \text{Re}(z)$$ **Realteil** und der Teil $$y = \text{Im}(z)$$ **Imaginärteil** genannt. Visible text: Die Menge der komplexen Zahlen ist als definiert. In jeder komplexen Zahl wird der Teil **Realteil** und der Teil **Imaginärteil** genannt. Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch eine Zahl ungleich null bleiben in $$\mathbb C$$. Mit diesen Operationen bildet $$(\mathbb{C}, +, \cdot)$$ einen **Körper**, dessen Elemente als Skalare eines Vektorraums dienen können. Visible text: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch eine Zahl ungleich null bleiben in . Mit diesen Operationen bildet einen **Körper**, dessen Elemente als Skalare eines Vektorraums dienen können. ### Konjugation und Betrag Für $$z=x+iy$$ ist die **komplex konjugierte Zahl** $$\overline z=x-iy$$. Da $$z\overline z=x^2+y^2$$ gilt, können wir mit der Konjugation sowohl Beträge als auch Kehrwerte berechnen, zum Beispiel $$z^{-1}=\overline z/|z|^2$$ für $$z\neq0$$. Visible text: Für ist die **komplex konjugierte Zahl** . Da gilt, können wir mit der Konjugation sowohl Beträge als auch Kehrwerte berechnen, zum Beispiel für . Der **Betrag** einer komplexen Zahl wird mit der Formel berechnet: ```math |z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}} = \sqrt{x^2 + y^2} ``` Dieser Betrag ist der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung in der komplexen Ebene. ## Fundamentalsatz der Algebra Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten eine komplexe Nullstelle besitzt. Betrachten wir nun ein sehr wichtiges Ergebnis. Jedes nicht konstante Polynom ```math p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0, \quad z \in \mathbb{C} ``` mit Grad $$n \geq 1$$ und komplexen Koeffizienten $$a_k \in \mathbb{C}$$ für $$k = 0, 1, \ldots, n$$ mit $$a_n \neq 0$$, hat mindestens eine komplexe Wurzel. Das bedeutet, dass es eine Zahl $$z_* \in \mathbb{C}$$ mit $$p(z_*) = 0$$ gibt. Visible text: mit Grad und komplexen Koeffizienten für mit , hat mindestens eine komplexe Wurzel. Das bedeutet, dass es eine Zahl mit gibt. Wiederholtes Anwenden des Satzes zeigt, dass ein Polynom vom Grad $$n$$ über $$\mathbb C$$ vollständig zerfällt: Visible text: Wiederholtes Anwenden des Satzes zeigt, dass ein Polynom vom Grad über vollständig zerfällt: ```math p(z)=a_n\prod_{j=1}^n(z-z_j) ``` Es besitzt also genau $$n$$ komplexe Nullstellen, wenn Vielfachheiten mitgezählt werden. Die Voraussetzung "nichtkonstant" ist wichtig: Ein von null verschiedenes konstantes Polynom hat keine Nullstelle. Visible text: Es besitzt also genau komplexe Nullstellen, wenn Vielfachheiten mitgezählt werden. Die Voraussetzung "nichtkonstant" ist wichtig: Ein von null verschiedenes konstantes Polynom hat keine Nullstelle. ## Definition und Axiome des komplexen Vektorraums Ein komplexer Vektorraum verwendet Zahlen aus $$\mathbb C$$ als Skalare. Seine beiden Operationen müssen in den angegebenen Mengen abgeschlossen sein und dieselben algebraischen Verträglichkeitsregeln wie bei einem reellen Vektorraum erfüllen. Visible text: Ein komplexer Vektorraum verwendet Zahlen aus als Skalare. Seine beiden Operationen müssen in den angegebenen Mengen abgeschlossen sein und dieselben algebraischen Verträglichkeitsregeln wie bei einem reellen Vektorraum erfüllen. Eine Menge $$V$$ mit einer Additionsoperation Visible text: Eine Menge mit einer Additionsoperation ```math + : V \times V \to V : (x, y) \mapsto x + y ``` und eine Skalarmultiplikationsoperation ```math \cdot : \mathbb{C} \times V \to V : (\lambda, x) \mapsto \lambda \cdot x ``` wird ein **komplexer Vektorraum** genannt, wenn er die folgenden Axiome erfüllt: ### Vektoradditionsaxiome 1. **Assoziativ**: $$(x + y) + z = x + (y + z)$$ für alle $$x, y, z \in V$$ 2. **Kommutativ**: $$x + y = y + x$$ für alle $$x, y \in V$$ 3. **Identitätselement**: Es gibt ein Element $$0 \in V$$, so dass $$x + 0 = x = 0 + x$$ für alle $$x \in V$$ 4. **Inverses Element**: Zu jedem $$x \in V$$ gibt es ein Element $$-x \in V$$ mit $$x + (-x) = 0 = (-x) + x$$ Visible text: 1. **Assoziativ**: für alle 2. **Kommutativ**: für alle 3. **Identitätselement**: Es gibt ein Element , so dass für alle 4. **Inverses Element**: Zu jedem gibt es ein Element mit ### Skalare Multiplikationsaxiome 5. **Assoziative Multiplikation**: $$(\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu \cdot x)$$ für alle $$\lambda, \mu \in \mathbb{C}, x \in V$$ 6. **Einheitselement**: $$1 \cdot x = x$$ für alle $$x \in V$$ Visible text: 5. **Assoziative Multiplikation**: für alle 6. **Einheitselement**: für alle ### Distributive Axiome 7. **Verteilend über Vektoraddition**: $$\lambda \cdot (x + y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$$ für alle $$\lambda \in \mathbb{C}, x, y \in V$$ 8. **Verteilung über skalare Addition**: $$(\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$$ für alle $$\lambda, \mu \in \mathbb{C}, x \in V$$ Visible text: 7. **Verteilend über Vektoraddition**: für alle 8. **Verteilung über skalare Addition**: für alle Die Elemente $$x \in V$$ werden **Vektoren** genannt, und die Elemente $$\lambda \in \mathbb{C}$$ werden **Skalare** genannt. Visible text: Die Elemente werden **Vektoren** genannt, und die Elemente werden **Skalare** genannt. ## Ein konkretes Beispiel Die Menge $$V=\mathbb C^2$$ ist mit komponentenweisen Operationen ein komplexer Vektorraum. Zum Beispiel gilt Visible text: Die Menge ist mit komponentenweisen Operationen ein komplexer Vektorraum. Zum Beispiel gilt ```math (1+i)\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+i\\1-i\end{pmatrix} ``` Der Skalarkörper verändert die Dimension. Die Menge $$\mathbb C$$ besitzt als komplexer Vektorraum die Basis $$\{1\}$$, als reeller Vektorraum dagegen die Basis $$\{1,i\}$$: Visible text: Der Skalarkörper verändert die Dimension. Die Menge besitzt als komplexer Vektorraum die Basis , als reeller Vektorraum dagegen die Basis : | Gleiche Vektormenge | Zulässige Skalare | Dimension | |---|---|---| | $$\mathbb C$$ | $$\mathbb C$$ | $$1$$ | | $$\mathbb C$$ | $$\mathbb R$$ | $$2$$ | Visible text: | Gleiche Vektormenge | Zulässige Skalare | Dimension | |---|---|---| | | | | | | | | ## Unterschiede zu realen Vektorräumen Rein algebraische Ergebnisse aus den Vektorraumaxiomen gelten sowohl über $$\mathbb R$$ als auch über $$\mathbb C$$. Ergebnisse, die eine Ordnung oder ein rein reelles Skalarprodukt verwenden, benötigen angepasste Voraussetzungen. Komplexe Skalarprodukte verwenden beispielsweise die Konjugation, und die komplexen Zahlen besitzen keine mit ihrer Arithmetik verträgliche Körperordnung. Visible text: Rein algebraische Ergebnisse aus den Vektorraumaxiomen gelten sowohl über als auch über . Ergebnisse, die eine Ordnung oder ein rein reelles Skalarprodukt verwenden, benötigen angepasste Voraussetzungen. Komplexe Skalarprodukte verwenden beispielsweise die Konjugation, und die komplexen Zahlen besitzen keine mit ihrer Arithmetik verträgliche Körperordnung. Der Skalarkörper entscheidet außerdem, welche Abbildungen linear sind. Die komplexe Konjugation ist über $$\mathbb R$$ linear, über $$\mathbb C$$ jedoch nicht, denn $$\overline{iz}=-i\overline z$$ statt $$i\overline z$$. Vor Aussagen über Basis, Dimension oder lineare Abbildungen muss der Skalarkörper deshalb immer feststehen. Visible text: Der Skalarkörper entscheidet außerdem, welche Abbildungen linear sind. Die komplexe Konjugation ist über linear, über jedoch nicht, denn statt . Vor Aussagen über Basis, Dimension oder lineare Abbildungen muss der Skalarkörper deshalb immer feststehen.