# Matrixnormen und Konditionszahlen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/kondition-einer-matrix Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/matrix-condition/de.mdx Verstehe induzierte Matrixnormen, Spektralradius, Konditionszahlen aus Singulärwerten, Störungsabschätzungen und den Unterschied zwischen Kondition und Stabilität. --- ## Induzierte Matrixnormen Eine Vektornorm misst die Größe eines Vektors. Die zugehörige induzierte Matrixnorm misst den größten Faktor, um den eine Matrix einen Vektor strecken kann: ```math \|A\|=\sup_{x\ne0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}=\max_{\|x\|=1}\|Ax\| ``` Aus dieser Definition folgen unmittelbar zwei wichtige Abschätzungen für Matrizen und Vektoren mit passenden Dimensionen: Component: MathContainer Children: ```math \|Ax\|\le\|A\|\|x\| ``` ```math \|AB\|\le\|A\|\|B\| ``` Die gewählte Vektornorm bestimmt die induzierte Matrixnorm. | Vektornorm | Induzierte Matrixnorm | | --- | --- | | $$\displaystyle\|x\|_1=\sum_{i=1}^{n}\lvert x_i\rvert$$ | $$\displaystyle\|A\|_1=\max_j\sum_i\lvert a_{ij}\rvert$$, die größte absolute Spaltensumme | | $$\displaystyle\|x\|_\infty=\max_i\lvert x_i\rvert$$ | $$\displaystyle\|A\|_\infty=\max_i\sum_j\lvert a_{ij}\rvert$$, die größte absolute Zeilensumme | | $$\displaystyle\|x\|_2=\sqrt{x^{\mathsf T}x}$$ | $$\displaystyle\|A\|_2=\sigma_{\max}(A)$$, der größte Singulärwert | Visible text: | Vektornorm | Induzierte Matrixnorm | | --- | --- | | | , die größte absolute Spaltensumme | | | , die größte absolute Zeilensumme | | | , der größte Singulärwert | ## Spektralradius und Spektralnorm Für eine quadratische Matrix ist der Spektralradius ```math \rho(A)=\max_{\lambda\in\operatorname{spec}(A)}|\lambda| ``` Jede induzierte Matrixnorm beschränkt den Spektralradius: ```math \rho(A)\le\|A\| ``` Für die Spektralnorm gilt ```math \|A\|_2=\sigma_{\max}(A)=\sqrt{\lambda_{\max}(A^{\mathsf T}A)} ``` Ist $$A$$ reell symmetrisch, so sind ihre Singulärwerte die Beträge ihrer Eigenwerte. Daher gilt Visible text: Ist reell symmetrisch, so sind ihre Singulärwerte die Beträge ihrer Eigenwerte. Daher gilt ```math \|A\|_2=\max_i|\lambda_i(A)|=\rho(A) ``` Bei einer allgemeinen nichtnormalen Matrix müssen Spektralradius und Spektralnorm nicht übereinstimmen. ## Konditionszahl eines linearen Gleichungssystems Für eine invertierbare quadratische Matrix und eine induzierte Norm definieren wir ```math \kappa(A)=\|A\|\|A^{-1}\| ``` Die Konditionszahl ist mindestens eins. Eine singuläre Matrix hat eine unendliche Konditionszahl. In der euklidischen Norm gilt ```math \kappa_2(A)=\frac{\sigma_{\max}(A)}{\sigma_{\min}(A)} ``` Für eine invertierbare symmetrische Matrix wird daraus ```math \kappa_2(A)=\frac{\max_i|\lambda_i(A)|}{\min_i|\lambda_i(A)|} ``` Im Nenner steht der kleinste Betrag, nicht der algebraisch kleinste Eigenwert. | Größe von $$\kappa(A)$$ | Bedeutung | | --- | --- | | Nahe bei $$1$$ | Relative Störungen werden im ungünstigsten Fall nicht stark verstärkt. | | Groß | Bestimmte Eingaberichtungen können viel größere relative Änderungen der Lösung erzeugen. | | Unendlich | Die Matrix ist singulär, daher ist das inverse Problem nicht eindeutig lösbar. | Visible text: | Größe von | Bedeutung | | --- | --- | | Nahe bei | Relative Störungen werden im ungünstigsten Fall nicht stark verstärkt. | | Groß | Bestimmte Eingaberichtungen können viel größere relative Änderungen der Lösung erzeugen. | | Unendlich | Die Matrix ist singulär, daher ist das inverse Problem nicht eindeutig lösbar. | ## Ein zweidimensionales Beispiel Betrachten wir ```math A=\begin{pmatrix}1&0\\0&\varepsilon\end{pmatrix},\qquad 0<\varepsilon\ll1 ``` Die Singulärwerte sind $$1$$ und $$\varepsilon$$. Somit gilt Visible text: Die Singulärwerte sind und . Somit gilt ```math \kappa_2(A)=\frac{1}{\varepsilon} ``` Für $$b=(b_1,b_2)^{\mathsf T}$$ ist die Lösung Visible text: Für ist die Lösung ```math x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2/\varepsilon\end{pmatrix} ``` Eine kleine Änderung von $$b_2$$ wird in der zweiten Lösungskomponente mit $$1/\varepsilon$$ verstärkt. Die Matrix ist beinahe singulär, weil sie eine Richtung nahezu zusammenfallen lässt. Visible text: Eine kleine Änderung von wird in der zweiten Lösungskomponente mit verstärkt. Die Matrix ist beinahe singulär, weil sie eine Richtung nahezu zusammenfallen lässt. ## Störungsabschätzung Es seien $$Ax=b$$ und Visible text: Es seien und ```math (A+\delta A)(x+\delta x)=b+\delta b ``` mit derselben induzierten Norm gegeben. Falls ```math \kappa(A)\frac{\|\delta A\|}{\|A\|}<1 ``` gilt, wird die relative Lösungsänderung beschränkt durch ```math \frac{\|\delta x\|}{\|x\|}\le\frac{\kappa(A)}{1-\kappa(A)\|\delta A\|/\|A\|}\left(\frac{\|\delta b\|}{\|b\|}+\frac{\|\delta A\|}{\|A\|}\right) ``` Dies ist eine Abschätzung für den ungünstigsten Fall. Sie sagt nicht voraus, dass jede Störung die maximale Verstärkung erreicht. ## Kondition ist nicht algorithmische Stabilität Die beiden Begriffe beantworten verschiedene Fragen: - **Kondition** beschreibt die Empfindlichkeit des mathematischen Problems gegenüber Eingabeänderungen - **Stabilität** beschreibt den zusätzlichen Fehler, den ein numerisches Verfahren einführt Ein stabiles Verfahren kann die bereits vorhandene Empfindlichkeit eines schlecht konditionierten Problems nicht beseitigen. Umgekehrt kann eine instabile Implementierung auch ein gut konditioniertes Problem schlecht lösen. Ein kleines Residuum $$\|b-A\hat{x}\|$$ allein garantiert bei großer Konditionszahl $$\kappa(A)$$ ebenfalls keinen kleinen Vorwärtsfehler $$\|x-\hat{x}\|$$. Visible text: Ein stabiles Verfahren kann die bereits vorhandene Empfindlichkeit eines schlecht konditionierten Problems nicht beseitigen. Umgekehrt kann eine instabile Implementierung auch ein gut konditioniertes Problem schlecht lösen. Ein kleines Residuum allein garantiert bei großer Konditionszahl ebenfalls keinen kleinen Vorwärtsfehler . In numerischen Berechnungen sollte man die reziproke Konditionszahl aus einer zuverlässigen Faktorisierung schätzen. Man bildet $$A^{-1}$$ nicht eigens explizit, nur um $$\kappa(A)$$ auszuwerten. Visible text: In numerischen Berechnungen sollte man die reziproke Konditionszahl aus einer zuverlässigen Faktorisierung schätzen. Man bildet nicht eigens explizit, nur um auszuwerten.