# Matrixdiagonalisierung > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/matrixdiagonalisierung Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/diagonalization-matrix/de.mdx Matrizen mithilfe von Eigenwerten und Eigenvektoren diagonalisieren. Algebraische und geometrische Multiplizität liefern das entscheidende Kriterium. --- ## Idee der Matrixdiagonalisierung In der Matrixtheorie schreibt die Diagonalisierung eine lineare Transformation auf einer Basis um, bei der sich die Koordinaten nicht mehr vermischen. Diese einfachere Darstellung erleichtert sowohl die Analyse als auch wiederholte Berechnungen. Das Hauptziel besteht darin, eine Basis zu finden, in der die lineare Transformation $$y = A \cdot x$$ durch die Diagonalmatrix $$\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$$ dargestellt wird. Lässt sich die Eigenbasis orthonormal wählen, dann gilt $$S^{-1} = S^T$$ im reellen und $$S^{-1} = S^H$$ im komplexen Fall. Visible text: Das Hauptziel besteht darin, eine Basis zu finden, in der die lineare Transformation durch die Diagonalmatrix dargestellt wird. Lässt sich die Eigenbasis orthonormal wählen, dann gilt im reellen und im komplexen Fall. ## Definition der Diagonalisierung Eine Matrix $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ heißt **diagonalisierbar**, wenn sie einer Diagonalmatrix $$\Lambda \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ ähnlich ist, das heißt, wenn es eine invertierbare Matrix $$S \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ gibt, so dass: Visible text: Eine Matrix heißt **diagonalisierbar**, wenn sie einer Diagonalmatrix ähnlich ist, das heißt, wenn es eine invertierbare Matrix gibt, so dass: ```math \Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S ``` Äquivalent dazu gilt $$A = S\Lambda S^{-1}$$. Diese Form vereinfacht wiederholte Anwendungen erheblich: Visible text: Äquivalent dazu gilt . Diese Form vereinfacht wiederholte Anwendungen erheblich: ```math A^m = S\Lambda^m S^{-1} ``` Da $$\Lambda^m$$ entsteht, indem jeder Diagonaleintrag mit $$m$$ potenziert wird, führt die Diagonalisierung ein Matrixpotenzproblem auf Skalarrechnung zurück. Visible text: Da entsteht, indem jeder Diagonaleintrag mit potenziert wird, führt die Diagonalisierung ein Matrixpotenzproblem auf Skalarrechnung zurück. ## Bedingungen für die Diagonalisierung Eine Matrix $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn sich eine Basis von $$\mathbb{K}^n$$ aus Eigenvektoren $$v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{K}^n$$ von $$A$$ mit zugehörigen Eigenwerten $$\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K}$$ finden lässt. Visible text: Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sich eine Basis von aus Eigenvektoren von mit zugehörigen Eigenwerten finden lässt. Die Diagonalmatrix $$\Lambda$$ ist: Visible text: Die Diagonalmatrix ist: ```math \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) ``` und $$S$$ ist die Matrix mit Spalten: Visible text: und ist die Matrix mit Spalten: ```math S = (v_1 \quad \ldots \quad v_n) ``` Wenn $$A$$ diagonalisierbar ist, dann bilden die Spalten $$v_1, \ldots, v_n$$ von $$S$$ eine Basis von Eigenvektoren. Aus $$\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$$ erhalten wir $$A \cdot S = S \cdot \Lambda$$ und somit $$A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$$ für $$i = 1, \ldots, n$$. Visible text: Wenn diagonalisierbar ist, dann bilden die Spalten von eine Basis von Eigenvektoren. Aus erhalten wir und somit für . Wenn umgekehrt $$v_1, \ldots, v_n$$ eine Basis von Eigenvektoren ist, dann ist $$S$$ invertierbar und aus $$A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$$ für $$i = 1, \ldots, n$$ erhalten wir $$A \cdot S = S \cdot \Lambda$$ und damit $$\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$$. Visible text: Wenn umgekehrt eine Basis von Eigenvektoren ist, dann ist invertierbar und aus für erhalten wir und damit . ## Beispiel für einen nicht diagonalisierbaren Fall Betrachten wir die Matrix: ```math A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ``` Diese Matrix hat den Eigenwert $$\lambda = 1$$ mit der algebraischen Multiplizität $$\mu_A(1) = 2$$. Ihr Eigenraum ist der Kern von $$A - I$$: Visible text: Diese Matrix hat den Eigenwert mit der algebraischen Multiplizität . Ihr Eigenraum ist der Kern von : Component: MathContainer Children: ```math E_A(1) = \ker(A - I) ``` ```math = \ker\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ``` ```math = \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\} ``` Die lineare Hülle von $$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ enthält alle skalaren Vielfachen dieses Vektors und hat die Dimension $$1$$. Damit liefert der Eigenraum nur einen unabhängigen Eigenvektor, eine Basis von $$\mathbb{K}^2$$ benötigt aber zwei. Daher ist $$A$$ nicht diagonalisierbar. Visible text: Die lineare Hülle von enthält alle skalaren Vielfachen dieses Vektors und hat die Dimension . Damit liefert der Eigenraum nur einen unabhängigen Eigenvektor, eine Basis von benötigt aber zwei. Daher ist nicht diagonalisierbar. ## Voraussetzungen für die Matrixdiagonalisierung Wenn eine Matrix $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ diagonalisierbar ist, dann faktorisiert das charakteristische Polynom $$\chi_A(t)$$ von $$A$$ über $$\mathbb{K}$$ in lineare Faktoren: Visible text: Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, dann faktorisiert das charakteristische Polynom von über in lineare Faktoren: ```math \chi_A(t) = (\lambda_1 - t) \cdots (\lambda_n - t) ``` wobei $$A$$ insgesamt $$n$$ Eigenwerte mit Multiplizitäten besitzt; die Werte $$\lambda_i \in \mathbb{K}$$ müssen also nicht paarweise verschieden sein. Visible text: wobei insgesamt Eigenwerte mit Multiplizitäten besitzt; die Werte müssen also nicht paarweise verschieden sein. Der gewählte Körper ist entscheidend. Eine reelle Matrix kann über $$\mathbb{R}$$ nicht diagonalisierbar sein, aber über $$\mathbb{C}$$ diagonalisierbar werden, sobald ihr charakteristisches Polynom dort zerfällt. Visible text: Der gewählte Körper ist entscheidend. Eine reelle Matrix kann über nicht diagonalisierbar sein, aber über diagonalisierbar werden, sobald ihr charakteristisches Polynom dort zerfällt. Sind alle Eigenwerte verschieden, vereinfacht sich das Kriterium. Für $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ zerfalle das charakteristische Polynom $$\chi_A(t)$$ von $$A$$ über $$\mathbb{K}$$ in lineare Faktoren: Visible text: Sind alle Eigenwerte verschieden, vereinfacht sich das Kriterium. Für zerfalle das charakteristische Polynom von über in lineare Faktoren: ```math \chi_A(t) = (\lambda_1 - t) \cdots (\lambda_n - t) ``` mit paarweise unterschiedlichen Eigenwerten $$\lambda_i \neq \lambda_j$$ für $$i \neq j$$ mit $$i, j \in \{1, \ldots, n\}$$, dann ist $$A$$ sicher diagonalisierbar. Visible text: mit paarweise unterschiedlichen Eigenwerten für mit , dann ist sicher diagonalisierbar. Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten von $$A$$ sind linear unabhängig. Bei $$n$$ solchen Eigenwerten bilden sie daher eine Basis von $$\mathbb{K}^n$$. Visible text: Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten von sind linear unabhängig. Bei solchen Eigenwerten bilden sie daher eine Basis von . Was aber, wenn $$A$$ wiederholte Eigenwerte hat? Das müssen wir genauer prüfen. Eigenwerte haben eine algebraische Multiplizität $$\mu_A(\lambda_i)$$ und eine geometrische Multiplizität $$\dim E_A(\lambda_i)$$ mit der Beziehung: Visible text: Was aber, wenn wiederholte Eigenwerte hat? Das müssen wir genauer prüfen. Eigenwerte haben eine algebraische Multiplizität und eine geometrische Multiplizität mit der Beziehung: ```math \dim E_A(\lambda_i) \leq \mu_A(\lambda_i) ``` ## Charakterisierungssatz Für eine Matrix $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ sind die folgenden Aussagen äquivalent: Visible text: Für eine Matrix sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1. $$A$$ ist diagonalisierbar. 2. Beide der folgenden Bedingungen sind erfüllt. Zunächst muss das charakteristische Polynom von $$A$$ in lineare Faktoren zerlegt werden: ```math \chi_A(t) = (\lambda_1 - t)^{\mu_A(\lambda_1)} \cdots (\lambda_k - t)^{\mu_A(\lambda_k)} ``` mit paarweise unterschiedlichen Eigenwerten $$\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$$ von $$A$$. Zweitens muss für alle Eigenwerte von $$A$$ die algebraische Multiplizität gleich der geometrischen Multiplizität sein: ```math \mu_A(\lambda_i) = \dim E_A(\lambda_i) \quad (i = 1, \ldots, k) ``` 3. Die direkte Summe aller Eigenräume ist der gesamte Vektorraum: ```math E_A(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus E_A(\lambda_k) = \mathbb{K}^n ``` Dies bedeutet, dass es eine Basis von $$\mathbb{K}^n$$ gibt, die aus Eigenvektoren von $$A$$ besteht. Visible text: 1. ist diagonalisierbar. 2. Beide der folgenden Bedingungen sind erfüllt. Zunächst muss das charakteristische Polynom von in lineare Faktoren zerlegt werden: mit paarweise unterschiedlichen Eigenwerten von . Zweitens muss für alle Eigenwerte von die algebraische Multiplizität gleich der geometrischen Multiplizität sein: 3. Die direkte Summe aller Eigenräume ist der gesamte Vektorraum: Dies bedeutet, dass es eine Basis von gibt, die aus Eigenvektoren von besteht. Für jedes $$i = 1, \ldots, k$$ sei $$v_1^{(i)}, \ldots, v_{d_i}^{(i)}$$ eine Basis des Eigenraums $$E_A(\lambda_i)$$. Dann: Visible text: Für jedes sei eine Basis des Eigenraums . Dann: ```math v_1^{(1)}, \ldots, v_{d_1}^{(1)}, v_1^{(2)}, \ldots, v_{d_2}^{(2)}, \ldots, v_1^{(k)}, \ldots, v_{d_k}^{(k)} ``` ist eine Basis von $$\mathbb{K}^n$$ bestehend aus Eigenvektoren von $$A$$. Daher ist $$A$$ diagonalisierbar. Visible text: ist eine Basis von bestehend aus Eigenvektoren von . Daher ist diagonalisierbar.