# Orthogonale Polynome > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/orthogonale-polynome Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/orthogonal-polynomials/de.mdx Konstruiere Chebyshev- und Legendre-Basen aus gewichteten Skalarprodukten, projiziere Funktionen, transformiere Intervalle und verbinde ihre Nullstellen mit der Gauß-Quadratur. --- ## Orthogonalität für Funktionen Sei $$w(x)>0$$ auf einem Intervall $$[a,b]$$. Das gewichtete Skalarprodukt und die davon erzeugte Norm sind Visible text: Sei auf einem Intervall . Das gewichtete Skalarprodukt und die davon erzeugte Norm sind Component: MathContainer Children: ```math \langle f,g\rangle_w=\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx ``` ```math \|f\|_w=\sqrt{\langle f,f\rangle_w} ``` Zwei Funktionen sind orthogonal, wenn $$\langle f,g\rangle_w=0$$ gilt. Dies ist eine gewichtete $$L^2$$-Geometrie. Sie misst einen integrierten quadratischen Fehler und nicht den maximalen Fehler Visible text: Zwei Funktionen sind orthogonal, wenn gilt. Dies ist eine gewichtete -Geometrie. Sie misst einen integrierten quadratischen Fehler und nicht den maximalen Fehler ```math \|f-g\|_\infty=\max_{x\in[a,b]}|f(x)-g(x)| ``` Der Unterschied ist wichtig. Die orthogonale Projektion minimiert den gewichteten $$L^2$$-Fehler. Chebyshev-Polynome besitzen zusätzlich eine eigene Minimax-Eigenschaft, aber das gewichtete Skalarprodukt und die Maximumsnorm sind nicht austauschbar. Visible text: Der Unterschied ist wichtig. Die orthogonale Projektion minimiert den gewichteten -Fehler. Chebyshev-Polynome besitzen zusätzlich eine eigene Minimax-Eigenschaft, aber das gewichtete Skalarprodukt und die Maximumsnorm sind nicht austauschbar. ## Projektion auf eine orthogonale Basis Seien $$p_0,ldots,p_n$$ paarweise orthogonal. Die Projektion vom Grad $$n$$ einer Funktion $$f$$ lautet Visible text: Seien paarweise orthogonal. Die Projektion vom Grad einer Funktion lautet Component: MathContainer Children: ```math \Pi_n f(x)=\sum_{k=0}^n c_kp_k(x) ``` ```math c_k=\frac{\langle f,p_k\rangle_w}{\langle p_k,p_k\rangle_w} ``` Da alle Kreuzterme verschwinden, kann jeder Koeffizient unabhängig berechnet werden. Dies ist das funktionale Gegenstück zur Zerlegung eines Vektors entlang senkrechter Koordinatenachsen. ## Dreitermrekursion aus Gram-Schmidt Die Anwendung von Gram-Schmidt auf $$1,x,x^2,ldots$$ erzeugt eine Folge monischer orthogonaler Polynome $$\pi_k$$. Für ein positives Skalarprodukt gilt Visible text: Die Anwendung von Gram-Schmidt auf erzeugt eine Folge monischer orthogonaler Polynome . Für ein positives Skalarprodukt gilt Component: MathContainer Children: ```math \pi_0(x)=1 ``` ```math \pi_1(x)=x-\alpha_0 ``` ```math \pi_{k+1}(x)=(x-\alpha_k)\pi_k(x)-\beta_k\pi_{k-1}(x) ``` mit Component: MathContainer Children: ```math \alpha_k=\frac{\langle x\pi_k,\pi_k\rangle_w}{\|\pi_k\|_w^2} ``` ```math \beta_k=\frac{\|\pi_k\|_w^2}{\|\pi_{k-1}\|_w^2}>0 ``` Die Dreitermform ist keine willkürliche Abkürzung. Die Multiplikation mit $$x$$ erhöht den Grad um eins. Durch die Orthogonalität verschwinden alle Komponenten unterhalb von $$\pi_{k-1}$$. Visible text: Die Dreitermform ist keine willkürliche Abkürzung. Die Multiplikation mit erhöht den Grad um eins. Durch die Orthogonalität verschwinden alle Komponenten unterhalb von . ## Chebyshev-Polynome erster Art Wähle auf $$[-1,1]$$ Visible text: Wähle auf ```math w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ``` Die Chebyshev-Polynome erster Art sind Component: MathContainer Children: ```math T_0(x)=1,\qquad T_1(x)=x ``` ```math T_{k+1}(x)=2xT_k(x)-T_{k-1}(x) ``` ```math T_k(x)=\cos\bigl(k\arccos x\bigr) ``` Ihre gewichtete Orthogonalität lautet ```math \int_{-1}^{1}\frac{T_j(x)T_k(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\begin{cases}\pi,&j=k=0,\\\frac{\pi}{2},&j=k>0,\\0,&j\ne k.\end{cases} ``` Da $$|T_k(x)|\le1$$ auf $$[-1,1]$$ gilt und der Leitkoeffizient für $$k\ge1$$ gleich $$2^{k-1}$$ ist, hat das monische Polynom $$2^{1-k}T_k$$ unter allen monischen Polynomen vom Grad $$k$$ die kleinste Maximumsnorm. Dies ist die genaue Verbindung zur Minimax-Approximation. Visible text: Da auf gilt und der Leitkoeffizient für gleich ist, hat das monische Polynom unter allen monischen Polynomen vom Grad die kleinste Maximumsnorm. Dies ist die genaue Verbindung zur Minimax-Approximation. Component: LineEquation Props: - title: Die ersten Chebyshev-Polynome $$T_0,T_1,T_2,T_3$$ Visible text: Die ersten Chebyshev-Polynome - description: Alle vier bleiben im Intervall $$[-1,1]$$ zwischen $$-1$$ und $$1$$. Visible text: Alle vier bleiben im Intervall zwischen und . - cameraPosition: [3, 3, 5] - data: (() => { const samples = Array.from({ length: 81 }, (_, index) => -1 + index / 40); const polynomials = [ { color: "#0891b2", evaluate: (x) => 1 }, { color: "#ea580c", evaluate: (x) => x }, { color: "#7c3aed", evaluate: (x) => 2 * x * x - 1 }, { color: "#16a34a", evaluate: (x) => 4 * x * x * x - 3 * x } ]; return polynomials.map(({ color, evaluate }) => ({ points: samples.map((x) => ({ x, y: evaluate(x), z: 0 })), color, smooth: true, showPoints: false })); })() ## Legendre-Polynome Für das ungewichtete Skalarprodukt auf $$[-1,1]$$, Visible text: Für das ungewichtete Skalarprodukt auf , ```math \langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx ``` erfüllen die üblichen Legendre-Polynome Component: MathContainer Children: ```math P_0(x)=1,\qquad P_1(x)=x ``` ```math (k+1)P_{k+1}(x)=(2k+1)xP_k(x)-kP_{k-1}(x) ``` Ihre Orthogonalität und Normierung sind Component: MathContainer Children: ```math \int_{-1}^{1}P_j(x)P_k(x)\,dx=\frac{2}{2k+1}\delta_{jk} ``` ```math \varphi_k(x)=\sqrt{\frac{2k+1}{2}}P_k(x) ``` ```math \langle\varphi_j,\varphi_k\rangle=\delta_{jk} ``` Zum Beispiel gilt Component: MathContainer Children: ```math P_2(x)=\frac12(3x^2-1) ``` ```math x^2=\frac13P_0(x)+\frac23P_2(x) ``` Die zweite Identität ist eine exakte orthogonale Entwicklung und keine Näherung. ## Von $$[-1,1]$$ nach $$[a,b]$$ Visible text: ## Von nach Verwende die affine Variablentransformation Component: MathContainer Children: ```math x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t ``` ```math t=\frac{2x-a-b}{b-a} ``` ```math dx=\frac{b-a}{2}\,dt ``` Ist $$\varphi_k$$ auf $$[-1,1]$$ orthonormal, dann ist Visible text: Ist auf orthonormal, dann ist ```math \widetilde{\varphi}_k(x)=\sqrt{\frac{2}{b-a}}\,\varphi_k\left(\frac{2x-a-b}{b-a}\right) ``` auf $$[a,b]$$ orthonormal, denn Visible text: auf orthonormal, denn ```math \int_a^b\widetilde{\varphi}_j(x)\widetilde{\varphi}_k(x)\,dx=\int_{-1}^{1}\varphi_j(t)\varphi_k(t)\,dt=\delta_{jk} ``` ## Verbindung zur Gauß-Quadratur Sei $$p_n$$ das orthogonale Polynom vom Grad $$n$$ für dasselbe positive Gewicht und Intervall wie ein Integral. Seine $$n$$ Nullstellen sind die Gauß-Quadraturknoten. Mit passenden positiven Gewichten $$w_i$$ erhält man Visible text: Sei das orthogonale Polynom vom Grad für dasselbe positive Gewicht und Intervall wie ein Integral. Seine Nullstellen sind die Gauß-Quadraturknoten. Mit passenden positiven Gewichten erhält man ```math \int_a^b f(x)w(x)\,dx\approx\sum_{i=1}^n w_i f(x_i) ``` Die Regel ist für jedes Polynom bis zum Grad $$2n-1$$ exakt. Legendre-Nullstellen liefern die Gauß-Legendre-Quadratur für das Gewicht $$w(x)=1$$. Chebyshev-Nullstellen liefern die Gauß-Chebyshev-Quadratur für $$w(x)=1/\sqrt{1-x^2}$$. Visible text: Die Regel ist für jedes Polynom bis zum Grad exakt. Legendre-Nullstellen liefern die Gauß-Legendre-Quadratur für das Gewicht . Chebyshev-Nullstellen liefern die Gauß-Chebyshev-Quadratur für . | Basis | Gewicht auf $$[-1,1]$$ | Besonders geeignet für | | --- | --- | --- | | Chebyshev $$T_k$$ | $$1/\sqrt{1-x^2}$$ | stabile Interpolationsgitter, nahezu optimale Minimax-Approximation, Spektralmethoden | | Legendre $$P_k$$ | $$1$$ | ungewichtete $$L^2$$-Projektion und Gauß-Legendre-Quadratur | Visible text: | Basis | Gewicht auf | Besonders geeignet für | | --- | --- | --- | | Chebyshev | | stabile Interpolationsgitter, nahezu optimale Minimax-Approximation, Spektralmethoden | | Legendre | | ungewichtete -Projektion und Gauß-Legendre-Quadratur | Polynomfamilie, Skalarprodukt, Approximationsziel und Quadraturgewicht müssen zusammenpassen. Wird eines davon geändert, ändert sich das gelöste Problem.