# Orthogonale und unitäre Matrizen

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Verstehe orthogonale und unitäre Matrizen anhand der Erhaltung von Skalarprodukten, ihrer Determinanten- und Eigenwertstruktur, Rotationen, Spiegelungen und numerischen Anwendungen.

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## Definitionen

Eine reelle quadratische Matrix $$Q\in\mathbb{R}^{n\times n}$$ heißt orthogonal, wenn

Visible text: Eine reelle quadratische Matrix heißt orthogonal, wenn

Component: MathContainer
Children:

```math
Q^TQ=QQ^T=I
```

```math
Q^{-1}=Q^T
```

Eine komplexe quadratische Matrix $$U\in\mathbb{C}^{n\times n}$$ heißt unitär, wenn

Visible text: Eine komplexe quadratische Matrix heißt unitär, wenn

Component: MathContainer
Children:

```math
U^HU=UU^H=I
```

```math
U^{-1}=U^H
```

Dabei ist $$U^H=\overline{U}^{,T}$$ die adjungierte Matrix. Eine reelle orthogonale Matrix ist eine unitäre Matrix mit ausschließlich reellen Einträgen.

Visible text: Dabei ist die adjungierte Matrix. Eine reelle orthogonale Matrix ist eine unitäre Matrix mit ausschließlich reellen Einträgen.

Die definierenden Gleichungen sind gleichbedeutend damit, dass die Spalten eine Orthonormalbasis bilden. Auch die Zeilen sind orthonormal.

## Was diese Transformationen erhalten

Für reelle Vektoren $$x,y$$ und eine orthogonale Matrix $$Q$$ gilt

Visible text: Für reelle Vektoren und eine orthogonale Matrix gilt

Component: MathContainer
Children:

```math
\langle Qx,Qy\rangle=(Qx)^T(Qy)=x^TQ^TQy=x^Ty
```

```math
\|Qx\|_2=\|x\|_2
```

```math
\|Qx-Qy\|_2=\|x-y\|_2
```

Dieselben Aussagen gelten über $$\mathbb{C}$$ mit komplexen Skalarprodukten und $$U^H$$. Orthogonale und unitäre Transformationen erhalten daher Längen, Abstände, Winkel und Orthogonalität.

Visible text: Dieselben Aussagen gelten über mit komplexen Skalarprodukten und . Orthogonale und unitäre Transformationen erhalten daher Längen, Abstände, Winkel und Orthogonalität.

Alle ihre Singulärwerte sind gleich $$1$$. Somit gilt

Visible text: Alle ihre Singulärwerte sind gleich . Somit gilt

```math
\|Q\|_2=1,\qquad\kappa_2(Q)=1
```

Die Multiplikation mit einer solchen Matrix verstärkt relative Fehler in der euklidischen Norm nicht. Deshalb beruhen QR-Faktorisierungen auf Householder-Spiegelungen und Givens-Rotationen.

## Determinanten und Orientierung

Für eine unitäre Matrix gilt

Component: MathContainer
Children:

```math
1=\det(U^HU)=\overline{\det U}\det U=|\det U|^2
```

```math
|\det U|=1
```

Bei einer reellen orthogonalen Matrix ist die Determinante reell. Daher

```math
\det Q\in\{-1,1\}
```

Der Fall $$\det Q=1$$ erhält die Orientierung. Der Fall $$\det Q=-1$$ kehrt die Orientierung um und enthält eine Spiegelungskomponente.

Visible text: Der Fall erhält die Orientierung. Der Fall kehrt die Orientierung um und enthält eine Spiegelungskomponente.

## Eigenwerte und Spektralstruktur

Gilt $$Uv=\lambda v$$ mit $$v\ne0$$, dann

Visible text: Gilt mit , dann

Component: MathContainer
Children:

```math
\|v\|_2=\|Uv\|_2=\|\lambda v\|_2=|\lambda|\|v\|_2
```

```math
|\lambda|=1
```

Jeder Eigenwert liegt daher auf dem komplexen Einheitskreis. Nichtreelle Eigenwerte einer reellen orthogonalen Matrix treten in konjugierten Paaren auf. Eine unitäre Matrix ist normal. Der komplexe Spektralsatz liefert deshalb

```math
U=V\operatorname{diag}(e^{i\theta_1},ldots,e^{i\theta_n})V^H
```

mit unitärem $$V$$. Über den reellen Zahlen lässt sich eine orthogonale Matrix stattdessen auf Blöcke aus $$1$$, $$-1$$ und ebenen Rotationen reduzieren.

Visible text: mit unitärem . Über den reellen Zahlen lässt sich eine orthogonale Matrix stattdessen auf Blöcke aus , und ebenen Rotationen reduzieren.

## Rotationsbeispiel

Eine Drehung der Ebene gegen den Uhrzeigersinn um $$\alpha$$ ist

Visible text: Eine Drehung der Ebene gegen den Uhrzeigersinn um ist

```math
R(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}
```

Ihre Spalten sind orthonormal, und direktes Ausmultiplizieren ergibt

```math
R(\alpha)^TR(\alpha)=I
```

Das charakteristische Polynom lautet

Component: MathContainer
Children:

```math
\chi_R(t)=t^2-2t\cos\alpha+1
```

```math
\lambda_{1,2}=\cos\alpha\pm i\sin\alpha=e^{\pm i\alpha}
```

Falls $$\alpha$$ kein Vielfaches von $$\pi$$ ist, besitzt die Drehung keinen reellen Eigenvektor. Das ist zu erwarten: Bei einer echten ebenen Drehung bleibt keine reelle Richtung ungleich null fest oder ändert nur ihr Vorzeichen.

Visible text: Falls kein Vielfaches von ist, besitzt die Drehung keinen reellen Eigenvektor. Das ist zu erwarten: Bei einer echten ebenen Drehung bleibt keine reelle Richtung ungleich null fest oder ändert nur ihr Vorzeichen.

## Spiegelungsbeispiel

Für einen Einheitsvektor $$u\in\mathbb{R}^n$$ spiegelt die Householder-Matrix

Visible text: Für einen Einheitsvektor spiegelt die Householder-Matrix

```math
H=I-2uu^T
```

einen Vektor an der zu $$u$$ senkrechten Hyperebene. Wegen

Visible text: einen Vektor an der zu senkrechten Hyperebene. Wegen

Component: MathContainer
Children:

```math
H^T=H
```

```math
H^2=(I-2uu^T)^2=I
```

gilt $$H^TH=I$$. In Richtung $$u$$ hat sie den Eigenwert $$-1$$. Jeder zu $$u$$ senkrechte Vektor hat den Eigenwert $$1$$. Deshalb ist $$\det H=-1$$.

Visible text: gilt . In Richtung hat sie den Eigenwert . Jeder zu senkrechte Vektor hat den Eigenwert . Deshalb ist .

## Gleichwertige Prüfungen und Folgen

| Aussage | Orthogonaler Fall | Unitärer Fall |
| --- | --- | --- |
| Inverse | $$Q^{-1}=Q^T$$ | $$U^{-1}=U^H$$ |
| Spalten | reelle Orthonormalbasis | komplexe Orthonormalbasis |
| Determinante | $$\pm1$$ | Betrag $$1$$ |
| Eigenwerte | Einheitskreis, bei nichtreellen Werten konjugierte Paare | Einheitskreis |
| Singulärwerte | alle $$1$$ | alle $$1$$ |
| Konditionszahl in der Zweinorm | $$1$$ | $$1$$ |

Visible text: | Aussage | Orthogonaler Fall | Unitärer Fall |
| --- | --- | --- |
| Inverse | | |
| Spalten | reelle Orthonormalbasis | komplexe Orthonormalbasis |
| Determinante | | Betrag |
| Eigenwerte | Einheitskreis, bei nichtreellen Werten konjugierte Paare | Einheitskreis |
| Singulärwerte | alle | alle |
| Konditionszahl in der Zweinorm | | |

Produkte und Inversen bleiben in derselben Klasse:

Component: MathContainer
Children:

```math
(Q_1Q_2)^T(Q_1Q_2)=I
```

```math
Q^{-1}=Q^T
```

Diese Abschluss- und Stabilitätseigenschaften machen orthogonale und unitäre Matrizen zu zentralen Werkzeugen für QR-Algorithmen, Ausgleichsprobleme, Fourier-Transformationen, Quantenmechanik und Geometrieverarbeitung.