# Skalarprodukte > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/skalarprodukt Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/scalar-product/de.mdx Reelle und komplexe Skalarprodukte aus positiv definiten Matrizen aufbauen und damit Länge, Winkel, Orthogonalität und Projektion definieren. --- ## Welche Geometrie ein Skalarprodukt hinzufügt Ein Vektorraum beschreibt Addition und Skalarmultiplikation. Ein Skalarprodukt fügt Geometrie hinzu: Damit lassen sich Länge, Winkel und Orthogonalität messen. Diese Lesson verwendet die Konvention, dass ein komplexes Skalarprodukt im ersten Argument konjugiert linear und im zweiten Argument linear ist. Für $$x,y,z\in\mathbb{C}^n$$ und $$\lambda,\mu\in\mathbb{C}$$ erfüllt ein Skalarprodukt Visible text: Für und erfüllt ein Skalarprodukt Component: MathContainer Children: ```math \langle \lambda x+\mu y,z\rangle=\overline\lambda\langle x,z\rangle+\overline\mu\langle y,z\rangle ``` ```math \langle x,\lambda y+\mu z\rangle=\lambda\langle x,y\rangle+\mu\langle x,z\rangle ``` ```math \langle y,x\rangle=\overline{\langle x,y\rangle} ``` ```math \langle x,x\rangle\ge0,\qquad \langle x,x\rangle=0\Longleftrightarrow x=0 ``` Die konjugierte Symmetrie stellt sicher, dass $$\langle x,x\rangle$$ reell ist. Über $$\mathbb{R}^n$$ verschwindet die komplexe Konjugation, sodass das Skalarprodukt symmetrisch und bilinear ist. Visible text: Die konjugierte Symmetrie stellt sicher, dass reell ist. Über verschwindet die komplexe Konjugation, sodass das Skalarprodukt symmetrisch und bilinear ist. ## Matrixgewichtete Skalarprodukte Für reelle Vektoren definiert die Formel ```math \langle x,y\rangle_A=x^TAy ``` genau dann ein Skalarprodukt, wenn $$A$$ symmetrisch positiv definit ist. Die Symmetrie von $$A$$ liefert die Symmetrie der Paarung, und $$x^TAx>0$$ für jedes $$x$$ ungleich null liefert die strikte Positivität. Visible text: genau dann ein Skalarprodukt, wenn symmetrisch positiv definit ist. Die Symmetrie von liefert die Symmetrie der Paarung, und für jedes ungleich null liefert die strikte Positivität. Für komplexe Vektoren lautet die entsprechende Formel ```math \langle x,y\rangle_A=x^HAy ``` wobei $$A$$ hermitesch positiv definit sein muss. Nur zu sagen, dass $$A$$ positive Einträge oder positive Diagonaleinträge besitzt, genügt nicht. Visible text: wobei hermitesch positiv definit sein muss. Nur zu sagen, dass positive Einträge oder positive Diagonaleinträge besitzt, genügt nicht. Mit $$A=I$$ erhält man die euklidischen Standardskalarprodukte: Visible text: Mit erhält man die euklidischen Standardskalarprodukte: Component: MathContainer Children: ```math \langle x,y\rangle=x^Ty\qquad\text{über }\mathbb{R}^n ``` ```math \langle x,y\rangle=x^Hy\qquad\text{über }\mathbb{C}^n ``` ## Länge, Winkel und Orthogonalität Jedes Skalarprodukt induziert die Norm ```math \|x\|_A=\sqrt{\langle x,x\rangle_A} ``` Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ```math |\langle x,y\rangle_A|\le\|x\|_A\|y\|_A ``` stellt sicher, dass der Winkel für reelle Vektoren ungleich null durch ```math \cos\theta_A=\frac{\langle x,y\rangle_A}{\|x\|_A\|y\|_A} ``` wohldefiniert ist. Vektoren sind $$A$$-orthogonal, wenn $$\langle x,y\rangle_A=0$$ gilt. Eine Änderung von $$A$$ ändert die Geometrie. Daher müssen euklidisch senkrechte Vektoren in einer gewichteten Metrik nicht senkrecht sein. Visible text: wohldefiniert ist. Vektoren sind -orthogonal, wenn gilt. Eine Änderung von ändert die Geometrie. Daher müssen euklidisch senkrechte Vektoren in einer gewichteten Metrik nicht senkrecht sein. ## Gerechnetes gewichtetes Beispiel Sei Component: MathContainer Children: ```math A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} ``` ```math \lambda(A)=\{1,3\} ``` Die positiven Eigenwerte bestätigen, dass $$A$$ symmetrisch positiv definit ist. Obwohl $$x^Ty=0$$ gilt, ergibt die gewichtete Geometrie Visible text: Die positiven Eigenwerte bestätigen, dass symmetrisch positiv definit ist. Obwohl gilt, ergibt die gewichtete Geometrie Component: MathContainer Children: ```math \langle x,y\rangle_A=x^TAy=1 ``` ```math \|x\|_A=\|y\|_A=\sqrt2 ``` ```math \cos\theta_A=\frac{1}{\sqrt2\sqrt2}=\frac12,\qquad \theta_A=60^\circ ``` Dieselben Koordinatenvektoren stehen somit in der euklidischen Geometrie senkrecht, bilden in der $$A$$-Geometrie aber einen Winkel von $$60^\circ$$. Visible text: Dieselben Koordinatenvektoren stehen somit in der euklidischen Geometrie senkrecht, bilden in der -Geometrie aber einen Winkel von . ## Komplexes Beispiel Für das Standardskalarprodukt sei ```math x=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix} ``` Dann gilt ```math \langle x,y\rangle=x^Hy=\begin{pmatrix}1&-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}=i-i=0 ``` Die Konjugation in $$x^H$$ ist wesentlich. Mit $$x^Ty$$ erhielte man nicht das komplexe Standardskalarprodukt, denn $$x^Tx$$ muss keine nichtnegative reelle Zahl sein. Visible text: Die Konjugation in ist wesentlich. Mit erhielte man nicht das komplexe Standardskalarprodukt, denn muss keine nichtnegative reelle Zahl sein. ## Projektion in gewichteter Geometrie Die Projektion von $$x$$ auf den von $$u$$ ungleich null aufgespannten eindimensionalen Unterraum lautet Visible text: Die Projektion von auf den von ungleich null aufgespannten eindimensionalen Unterraum lautet ```math \operatorname{proj}^{A}_{u}(x)=u\frac{\langle u,x\rangle_A}{\langle u,u\rangle_A} ``` Das Residuum ist $$A$$-orthogonal zu $$u$$: Visible text: Das Residuum ist -orthogonal zu : ```math \left\langle u,x-\operatorname{proj}^{A}_{u}(x)\right\rangle_A=0 ``` Dasselbe geometrische Prinzip liegt der gewichteten Methode der kleinsten Quadrate zugrunde: Das angepasste Residuum steht bezüglich des gewählten Skalarprodukts senkrecht auf dem Modellraum. ## Matrixdarstellung und Gram-Matrizen In der Standardbasis $$e_1,\ldots,e_n$$ besitzt jedes endlichdimensionale Skalarprodukt genau eine Darstellungsmatrix mit den Einträgen Visible text: In der Standardbasis besitzt jedes endlichdimensionale Skalarprodukt genau eine Darstellungsmatrix mit den Einträgen ```math a_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle ``` Diese Matrix ist über den reellen Zahlen symmetrisch positiv definit und über den komplexen Zahlen hermitesch positiv definit. Für Vektoren $$v_1,\ldots,v_k$$ ist ihre Gram-Matrix durch Visible text: Für Vektoren ist ihre Gram-Matrix durch ```math G_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle_A ``` gegeben. Sie ist hermitesch positiv semidefinit und genau dann positiv definit, wenn die Vektoren linear unabhängig sind. Gram-Matrizen verwandeln geometrische Fragen nach Winkeln und Unabhängigkeit in Matrixfragen.