# Spektralsatz für komplexe Matrizen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/spektralsatz-fuer-komplexe-matrizen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/spectral-complex-matrix/de.mdx Lernen Sie die unitäre Diagonalisierung normaler Matrizen kennen und beweisen Sie die Äquivalenz zwischen Normalität und Eigenvektorbasen mithilfe mathematischer Induktion. --- ## Charakterisierung der unitären Diagonalisierung Der komplexe Spektralsatz charakterisiert genau, wann Eigenvektoren orthonormal gewählt werden können. Er verbindet die Geometrie einer unitären Basis mit der algebraischen Bedingung der Normalität. Für $$A\in\mathbb{C}^{n\times n}$$ sind die folgenden Aussagen äquivalent: Visible text: Für sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1. Es gibt eine Orthonormalbasis von $$\mathbb{C}^n$$, die aus Eigenvektoren von $$A$$ besteht. 2. Die Matrix ist normal: $$A^HA=AA^H$$. 3. Es gibt eine unitäre Matrix $$U$$ und eine Diagonalmatrix $$\Lambda$$ mit $$A=U\Lambda U^H$$. Visible text: 1. Es gibt eine Orthonormalbasis von , die aus Eigenvektoren von besteht. 2. Die Matrix ist normal: . 3. Es gibt eine unitäre Matrix und eine Diagonalmatrix mit . Der Satz ist stärker als gewöhnliche Diagonalisierbarkeit. Eine diagonalisierbare Matrix kann eine schlecht konditionierte Eigenvektorbasis besitzen, während eine unitäre Basis Normen und Winkel erhält. ## Beweis der ersten Richtung Nehmen wir zunächst an, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. Daraus zeigen wir direkt, dass die Matrix normal ist. Sei $$v_1, \ldots, v_n$$ eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren der Matrix $$A$$. Für jedes $$j = 1, \ldots, n$$ haben wir $$Av_j = \lambda_j v_j$$. Visible text: Sei eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren der Matrix . Für jedes haben wir . Da es sich um eine Orthonormalbasis handelt, haben wir die folgende Berechnungsfolge: Component: MathContainer Children: ```math (A^H v_i)^H v_j = v_i^H (Av_j) = v_i^H (\lambda_j v_j) ``` ```math = \lambda_j v_i^H v_j = \lambda_j \delta_{ij} ``` Das bedeutet $$A^H v_i = \overline{\lambda_i} v_i$$, sodass: Visible text: Das bedeutet , sodass: Component: MathContainer Children: ```math AA^H v_i = A(\overline{\lambda_i} v_i) = \overline{\lambda_i} \lambda_i v_i ``` ```math = \lambda_i \overline{\lambda_i} v_i = \lambda_i (A^H v_i) = A^H (\lambda_i v_i) = A^H A v_i ``` Da dies für alle Basisvektoren gilt, ist $$AA^H = A^H A$$, was bedeutet, dass $$A$$ normal ist. Visible text: Da dies für alle Basisvektoren gilt, ist , was bedeutet, dass normal ist. ## Beweis von der Normalität zur Diagonalisierung Nun beweisen wir die Gegenrichtung durch mathematische Induktion. Der Basisschritt beginnt das Argument; im Induktionsschritt wird eine $$n \times n$$-Matrix auf einen normalen $$(n-1) \times (n-1)$$-Block zurückgeführt. Visible text: Nun beweisen wir die Gegenrichtung durch mathematische Induktion. Der Basisschritt beginnt das Argument; im Induktionsschritt wird eine -Matrix auf einen normalen -Block zurückgeführt. ### Mathematische Induktionsstruktur 1. **Basisschritt** Für $$n = 0$$ (leere Matrix) ist die Aussage eindeutig wahr. 2. **Induktionshypothese** Nehmen Sie an, dass die Aussage für alle Normalmatrizen der Größe $$(n-1) \times (n-1)$$ wahr ist. 3. **Induktionsschritt** Sei $$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$$ normal. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt $$A$$ einen Eigenwert $$\lambda_1 \in \mathbb{C}$$. Sei $$v_1 \in \mathbb{C}^n$$ ein zugehöriger Eigenvektor mit $$v_1^H v_1 = 1$$. Es gilt $$Av_1 = \lambda_1 v_1$$. Das folgende Lemma zeigt, dass außerdem $$A^H v_1 = \overline{\lambda_1} v_1$$ gilt. Visible text: 1. **Basisschritt** Für (leere Matrix) ist die Aussage eindeutig wahr. 2. **Induktionshypothese** Nehmen Sie an, dass die Aussage für alle Normalmatrizen der Größe wahr ist. 3. **Induktionsschritt** Sei normal. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt einen Eigenwert . Sei ein zugehöriger Eigenvektor mit . Es gilt . Das folgende Lemma zeigt, dass außerdem gilt. ### Warum die Adjungierte denselben Eigenvektor besitzt Sei $$B=A-\lambda_1I$$. Da $$A$$ normal ist, ist auch $$B$$ normal. Deshalb gilt Visible text: Sei . Da normal ist, ist auch normal. Deshalb gilt Component: MathContainer Children: ```math \|B^Hv_1\|_2^2=v_1^HBB^Hv_1 ``` ```math =v_1^HB^HBv_1=\|Bv_1\|_2^2=0 ``` Also ist $$B^Hv_1=0$$ und damit genau $$A^Hv_1=\overline{\lambda_1}v_1$$. Dieser Zwischenschritt sorgt dafür, dass das orthogonale Komplement von $$v_1$$ invariant ist. Visible text: Also ist und damit genau . Dieser Zwischenschritt sorgt dafür, dass das orthogonale Komplement von invariant ist. ### Bildung des invarianten Unterraums Vervollständigen Sie $$v_1$$ zu einer Orthonormalbasis von $$\mathbb{C}^n$$ mit den Vektoren $$v_2, \ldots, v_n$$. Definieren: Visible text: Vervollständigen Sie zu einer Orthonormalbasis von mit den Vektoren . Definieren: ```math W = \operatorname{span}(v_2, \ldots, v_n) ``` Die lineare Hülle der Vektoren $$v_2, \ldots, v_n$$ ist die Menge aller ihrer Linearkombinationen. Mit anderen Worten: $$W$$ enthält genau die Vektoren, die sich als $$a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots + a_n v_n$$ mit $$a_2, a_3, \ldots, a_n \in \mathbb{C}$$ schreiben lassen. Visible text: Die lineare Hülle der Vektoren ist die Menge aller ihrer Linearkombinationen. Mit anderen Worten: enthält genau die Vektoren, die sich als mit schreiben lassen. Für jeweils $$w \in W$$ haben wir: Visible text: Für jeweils haben wir: Component: MathContainer Children: ```math (Aw)^H v_1 = w^H (A^H v_1) = w^H (\overline{\lambda_1} v_1) ``` ```math = \overline{\lambda_1} w^H v_1 = 0 ``` Also $$Aw \in W$$, was bedeutet: Visible text: Also , was bedeutet: ```math A(W) = \{Aw \mid w \in W\} \subset W ``` Mit anderen Worten ist $$W$$ unter $$A$$ invariant: Wendet man $$A$$ auf einen Vektor aus $$W$$ an, liegt das Ergebnis wieder in $$W$$. Visible text: Mit anderen Worten ist unter invariant: Wendet man auf einen Vektor aus an, liegt das Ergebnis wieder in . ### Unitäre Transformation und Bewahrung der Normalität Sei $$T \in \mathbb{C}^{n \times n}$$ eine unitäre Matrix mit den Spalten $$v_1, \ldots, v_n$$. Dann $$T \cdot T^H = T \cdot T^{-1} = I$$. Visible text: Sei eine unitäre Matrix mit den Spalten . Dann . Diese Transformation ergibt eine elegante Blockform: Component: MathContainer Children: ```math T^H \cdot A \cdot T = T^{-1} \cdot A \cdot T ``` ```math = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0^T \\ 0 & A' \end{pmatrix} ``` mit: ```math A' \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)} ``` Da unitäre Ähnlichkeitstransformationen die Normalität bewahren, gilt: Component: MathContainer Children: ```math (T^H \cdot A \cdot T) \cdot (T^H \cdot A \cdot T)^H ``` ```math = T^H \cdot A \cdot T \cdot T^H \cdot A^H \cdot T ``` ```math = T^H \cdot A \cdot A^H \cdot T ``` ```math = T^H \cdot A^H \cdot A \cdot T ``` ```math = (T^H \cdot A \cdot T)^H \cdot (T^H \cdot A \cdot T) ``` Daher ist auch die Blockdiagonalmatrix normal, was bedeutet, dass auch normal ist. Visible text: Daher ist auch die Blockdiagonalmatrix normal, was bedeutet, dass auch normal ist. ## Konstruktion einer vollständigen orthonormalen Basis Nach der Induktionshypothese besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Sei die unitäre Matrix mit diesen Spalten, wobei: Visible text: Nach der Induktionshypothese besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Sei die unitäre Matrix mit diesen Spalten, wobei: ```math S' \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)} ``` damit: ```math S'^H \cdot A' \cdot S' = \begin{pmatrix} \lambda_2 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} ``` mit Eigenwerten $$\lambda_2, \ldots, \lambda_n$$ von . Visible text: mit Eigenwerten von . Jetzt definieren wir: ```math S = T \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0^T \\ 0 & S' \end{pmatrix} ``` Dann ist $$S$$ eine unitäre Matrix mit: Visible text: Dann ist eine unitäre Matrix mit: ```math S \in \mathbb{C}^{n \times n} ``` und: Component: MathContainer Children: ```math S^H \cdot A \cdot S = \begin{pmatrix} 1 & 0^T \\ 0 & S'^H \end{pmatrix} \cdot T^H \cdot A \cdot T ``` ```math \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0^T \\ 0 & S' \end{pmatrix} ``` ```math = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0^T \\ 0 & S'^H A' S' \end{pmatrix} ``` ```math = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} ``` Die Spalten von $$S$$ bilden eine Orthonormalbasis der Eigenvektoren der Matrix $$A$$. Visible text: Die Spalten von bilden eine Orthonormalbasis der Eigenvektoren der Matrix . ## Reeller Matrixfall Bei reellen Matrizen ist entscheidend, ob die benötigten Eigenwerte und Eigenvektoren reell bleiben. Eine reelle Matrix: ```math A \in \mathbb{R}^{n \times n} ``` heißt normal, wenn: ```math A \cdot A^T = A^T \cdot A ``` Reelle normale Matrizen sind über $$\mathbb{C}$$ weiterhin unitär diagonalisierbar, ihre Eigenwerte und Eigenvektoren müssen jedoch nicht reell sein. Über $$\mathbb{R}$$ führt ein orthogonaler Basiswechsel zu einer Blockdiagonalmatrix mit reellen Eigenwertblöcken $$(\lambda)$$ und Blöcken Visible text: Reelle normale Matrizen sind über weiterhin unitär diagonalisierbar, ihre Eigenwerte und Eigenvektoren müssen jedoch nicht reell sein. Über führt ein orthogonaler Basiswechsel zu einer Blockdiagonalmatrix mit reellen Eigenwertblöcken und Blöcken ```math \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} ``` für konjugierte Eigenwertpaare $$a\pm bi$$. Eine reelle normale Matrix ist über $$\mathbb{R}$$ genau dann orthogonal diagonalisierbar, wenn alle Eigenwerte reell sind. Visible text: für konjugierte Eigenwertpaare . Eine reelle normale Matrix ist über genau dann orthogonal diagonalisierbar, wenn alle Eigenwerte reell sind. Symmetrische Matrizen und orthogonale Matrizen sind immer normal. Für eine symmetrische Matrix $$A^T = A$$ ist klar: Visible text: Symmetrische Matrizen und orthogonale Matrizen sind immer normal. Für eine symmetrische Matrix ist klar: ```math A \cdot A^T = A \cdot A = A^T \cdot A ``` Für eine orthogonale Matrix $$A^T = A^{-1}$$ gilt: Visible text: Für eine orthogonale Matrix gilt: Component: MathContainer Children: ```math A \cdot A^T = A \cdot A^{-1} = I ``` ```math = A^{-1} \cdot A = A^T \cdot A ``` ### Rotationsbeispiel Die Matrix einer Vierteldrehung ```math R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} ``` ist reell und orthogonal, also normal. Ihre Eigenwerte sind $$i$$ und $$-i$$ mit den normierten Eigenvektoren Visible text: ist reell und orthogonal, also normal. Ihre Eigenwerte sind und mit den normierten Eigenvektoren Component: MathContainer Children: ```math u_+=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix},\qquad u_-=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix} ``` ```math U=(u_+\quad u_-),\qquad U^HRU=\operatorname{diag}(i,-i) ``` Damit ist $$R$$ über $$\mathbb{C}$$ unitär diagonalisierbar, kann aber nicht durch eine reelle orthogonale Matrix diagonalisiert werden. Über $$\mathbb{R}$$ ist die Rotationsmatrix selbst der benötigte $$2\times2$$-Block. Visible text: Damit ist über unitär diagonalisierbar, kann aber nicht durch eine reelle orthogonale Matrix diagonalisiert werden. Über ist die Rotationsmatrix selbst der benötigte -Block.