# Spektralsatz für reelle normale Matrizen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/spektralsatz-fuer-reelle-matrizen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/spectral-real-matrix/de.mdx Erfahren Sie genau, wann eine reelle normale Matrix eine reelle orthonormale Eigenbasis besitzt, und unterscheiden Sie gewöhnliche von orthogonaler Diagonalisierung. --- ## Wann eine reelle normale Matrix eine reelle Eigenbasis besitzt Für $$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$$ sind die folgenden Aussagen äquivalent: Visible text: Für sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1. Es gibt eine Orthonormalbasis von $$\mathbb{R}^n$$, die aus Eigenvektoren von $$A$$ besteht. 2. Die Matrix ist normal und ihr charakteristisches Polynom $$\chi_A(t)$$ zerfällt über $$\mathbb{R}$$ vollständig in Linearfaktoren. 3. Es gibt eine reelle orthogonale Matrix $$Q$$ und eine reelle Diagonalmatrix $$\Lambda$$ mit $$A=Q\Lambda Q^T$$. 4. Die Matrix ist symmetrisch: $$A^T=A$$. Visible text: 1. Es gibt eine Orthonormalbasis von , die aus Eigenvektoren von besteht. 2. Die Matrix ist normal und ihr charakteristisches Polynom zerfällt über vollständig in Linearfaktoren. 3. Es gibt eine reelle orthogonale Matrix und eine reelle Diagonalmatrix mit . 4. Die Matrix ist symmetrisch: . Die Äquivalenz erklärt die zusätzliche Bedingung gegenüber [komplexen normalen Matrizen](/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/spektralsatz-fuer-komplexe-matrizen). Eine komplexe normale Matrix besitzt stets eine unitäre Eigenbasis, doch diese Basis und ihre Eigenwerte müssen nicht reell sein. Der Beweis verbindet die vier Aussagen direkt. Eine orthonormale Eigenbasis liefert die Spalten von $$Q$$. Aus $$A=Q\Lambda Q^T$$ mit reeller Diagonalmatrix $$\Lambda$$ folgt $$A^T=A$$. Umgekehrt diagonalisiert der reelle Spektralsatz jede reelle symmetrische Matrix orthogonal. Hat schließlich eine reelle normale Matrix nur reelle Eigenwerte, so erfüllt ihre komplexe unitäre Diagonalisierung $$A^H=A$$. Da $$A$$ reell ist, bedeutet dies genau $$A^T=A$$. Visible text: Der Beweis verbindet die vier Aussagen direkt. Eine orthonormale Eigenbasis liefert die Spalten von . Aus mit reeller Diagonalmatrix folgt . Umgekehrt diagonalisiert der reelle Spektralsatz jede reelle symmetrische Matrix orthogonal. Hat schließlich eine reelle normale Matrix nur reelle Eigenwerte, so erfüllt ihre komplexe unitäre Diagonalisierung . Da reell ist, bedeutet dies genau . | Matrixklasse | Körper | Garantierte Spektralform | | --- | --- | --- | | Komplex und normal | $$\mathbb{C}$$ | Unitäre Diagonalisierung; die Eigenwerte dürfen komplex sein | | Komplex und hermitesch | $$\mathbb{C}$$ | Unitäre Diagonalisierung mit reellen Eigenwerten | | Reell und symmetrisch | $$\mathbb{R}$$ | Orthogonale Diagonalisierung mit reellen Eigenwerten | | Reell und orthogonal | $$\mathbb{R}$$ | Im Allgemeinen reelle Rotationsblöcke; eine reelle Diagonalform nur bei ausschließlich reellen Eigenwerten | Visible text: | Matrixklasse | Körper | Garantierte Spektralform | | --- | --- | --- | | Komplex und normal | | Unitäre Diagonalisierung; die Eigenwerte dürfen komplex sein | | Komplex und hermitesch | | Unitäre Diagonalisierung mit reellen Eigenwerten | | Reell und symmetrisch | | Orthogonale Diagonalisierung mit reellen Eigenwerten | | Reell und orthogonal | | Im Allgemeinen reelle Rotationsblöcke; eine reelle Diagonalform nur bei ausschließlich reellen Eigenwerten | ## Normale Matrix ohne reelle Eigenbasis Betrachten Sie die Drehung um einen Winkel $$\alpha$$, der kein ganzzahliges Vielfaches von $$\pi$$ ist: Visible text: Betrachten Sie die Drehung um einen Winkel , der kein ganzzahliges Vielfaches von ist: ```math R_\alpha=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix} ``` Die Matrix ist orthogonal. Daher gilt $$R_\alpha^TR_\alpha=I=R_\alpha R_\alpha^T$$ und sie ist normal. Ihr charakteristisches Polynom lautet Visible text: Die Matrix ist orthogonal. Daher gilt und sie ist normal. Ihr charakteristisches Polynom lautet Component: MathContainer Children: ```math \chi_{R_\alpha}(t)=(t-\cos\alpha)^2+\sin^2\alpha ``` ```math =t^2-2(\cos\alpha)t+1 ``` Seine Diskriminante ist ```math \Delta=4\cos^2\alpha-4=-4\sin^2\alpha<0 ``` denn unter der genannten Voraussetzung gilt $$\sin\alpha\neq0$$. Das Polynom hat daher keine reelle Nullstelle und $$R_\alpha$$ besitzt keine reelle Eigenvektorbasis. Über $$\mathbb{C}$$ sind die Eigenwerte $$e^{i\alpha}$$ und $$e^{-i\alpha}$$. Visible text: denn unter der genannten Voraussetzung gilt . Das Polynom hat daher keine reelle Nullstelle und besitzt keine reelle Eigenvektorbasis. Über sind die Eigenwerte und . ## Diagonalisierbare Matrix, die nicht normal ist Betrachten wir nun ```math A=\begin{pmatrix}1&3\\0&2\end{pmatrix} ``` Die beiden verschiedenen Eigenwerte $$1$$ und $$2$$ garantieren bereits die gewöhnliche Diagonalisierbarkeit. Die zugehörigen Eigenräume sind Visible text: Die beiden verschiedenen Eigenwerte und garantieren bereits die gewöhnliche Diagonalisierbarkeit. Die zugehörigen Eigenräume sind Component: MathContainer Children: ```math E_A(1)=\ker(A-I)=\operatorname{span}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} ``` ```math E_A(2)=\ker(A-2I)=\operatorname{span}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} ``` Mit diesen Eigenvektoren als Spalten erhält man eine explizite Diagonalisierung: Component: MathContainer Children: ```math S=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix} ``` ```math AS=SD\qquad\Longrightarrow\qquad S^{-1}AS=D ``` Die beiden Eigenvektoren sind jedoch nicht orthogonal, denn ```math \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=3\neq0 ``` und direktes Multiplizieren bestätigt, dass $$A$$ nicht normal ist: Visible text: und direktes Multiplizieren bestätigt, dass nicht normal ist: Component: MathContainer Children: ```math AA^T=\begin{pmatrix}10&6\\6&4\end{pmatrix} ``` ```math A^TA=\begin{pmatrix}1&3\\3&13\end{pmatrix} ``` Dieses Beispiel trennt die beiden Begriffe. Bei einer gewöhnlichen Diagonalisierung darf die Eigenvektormatrix $$S$$ beliebig invertierbar sein. Eine orthogonale Diagonalisierung verlangt dagegen eine orthonormale Eigenbasis und damit eine reelle symmetrische Matrix. Visible text: Dieses Beispiel trennt die beiden Begriffe. Bei einer gewöhnlichen Diagonalisierung darf die Eigenvektormatrix beliebig invertierbar sein. Eine orthogonale Diagonalisierung verlangt dagegen eine orthonormale Eigenbasis und damit eine reelle symmetrische Matrix.