# Spektralsatz > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/spektralsatz Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/spectral-theorem/de.mdx Erfahren Sie, wann Matrizen mit orthonormalen Eigenvektoren diagonalisiert werden können und wie normale, hermitesche und unitäre Matrizen zusammenhängen. --- ## Grundkonzepte normaler Matrizen Der komplexe Spektralsatz besagt, dass sich eine Matrix genau dann mithilfe einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren diagonalisieren lässt, wenn sie normal ist. In Matrixform gilt ```math A\text{ ist normal}\qquad\Longleftrightarrow\qquad A=U\Lambda U^H ``` wobei $$U$$ unitär und $$\Lambda$$ diagonal ist. Eine solche Basis zerlegt die Transformation in unabhängige Eigenvektorrichtungen und bewahrt dabei Längen und Winkel. Im reellen symmetrischen Fall kann $$U$$ reell und orthogonal gewählt werden, sodass $$U^{-1}=U^T$$ gilt. Visible text: wobei unitär und diagonal ist. Eine solche Basis zerlegt die Transformation in unabhängige Eigenvektorrichtungen und bewahrt dabei Längen und Winkel. Im reellen symmetrischen Fall kann reell und orthogonal gewählt werden, sodass gilt. Eine komplexe Matrix $$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$$ heißt normal, wenn sie mit ihrer konjugierten Transponierten die Kommutativitätsbedingung erfüllt: Visible text: Eine komplexe Matrix heißt normal, wenn sie mit ihrer konjugierten Transponierten die Kommutativitätsbedingung erfüllt: ```math A \cdot A^H = A^H \cdot A ``` Diese algebraische Bedingung hat eine starke geometrische Folge: Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal, und über $$\mathbb{C}$$ lässt sich die Matrix unitär diagonalisieren. Visible text: Diese algebraische Bedingung hat eine starke geometrische Folge: Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal, und über lässt sich die Matrix unitär diagonalisieren. ## Spezielle Eigenschaften von Eigenräumen normaler Matrizen Normale Matrizen haben interessante Eigenschaften, die beliebige Matrizen nicht besitzen. Bei normalen Matrizen erweisen sich der Nullraum der Matrix und der Nullraum ihrer konjugierten Transponierten als identisch. Der Kern ist die Menge aller Vektoren $$x$$, die $$Ax=0$$ erfüllen. Aus der Normalität folgt für jedes $$x$$ die Normidentität Visible text: Der Kern ist die Menge aller Vektoren , die erfüllen. Aus der Normalität folgt für jedes die Normidentität Component: MathContainer Children: ```math \lVert Ax\rVert_2^2=x^HA^HAx ``` ```math =x^HAA^Hx=\lVert A^Hx\rVert_2^2 ``` Damit gilt $$Ax=0$$ genau dann, wenn $$A^Hx=0$$ ist. Folglich Visible text: Damit gilt genau dann, wenn ist. Folglich ```math \ker A=\ker A^H ``` Wenden wir dieselbe Kerngleichheit auf die normale Matrix $$A-\lambda I$$ an, erhalten wir für jeden Eigenwert $$\lambda \in \mathbb{C}$$ die zugehörige Eigenraumbeziehung: Visible text: Wenden wir dieselbe Kerngleichheit auf die normale Matrix an, erhalten wir für jeden Eigenwert die zugehörige Eigenraumbeziehung: ```math E_A(\lambda)=E_{A^H}(\overline{\lambda}) ``` Gilt also $$Av=\lambda v$$, dann gilt $$A^H v=\overline{\lambda}v$$. Der Eigenvektor bleibt derselbe, der Eigenwert wird komplex konjugiert. Visible text: Gilt also , dann gilt . Der Eigenvektor bleibt derselbe, der Eigenwert wird komplex konjugiert. Diese Identität beweist zugleich die Orthogonalität. Gelten $$Av=\lambda v$$ und $$Aw=\mu w$$ mit $$\lambda\neq\mu$$, so folgt Visible text: Diese Identität beweist zugleich die Orthogonalität. Gelten und mit , so folgt Component: MathContainer Children: ```math \overline{\lambda}v^Hw=(Av)^Hw=v^HA^Hw ``` ```math =\overline{\mu}v^Hw\qquad\Longrightarrow\qquad v^Hw=0 ``` ## Hermitesche und Unitäre Matrizen als Beispiele für Normalmatrizen Zwei wichtige Klassen normaler Matrizen sind hermitesche und unitäre Matrizen. Die definierenden Gleichungen zeigen unmittelbar, warum beide normal sind. ### Hermitesche Matrizen und reelle Eigenwerte Hermitesche Matrizen haben die Eigenschaft $$A^H = A$$. Aufgrund der Normaldefinition $$A \cdot A^H = A^H \cdot A$$ gilt für hermitesche Matrizen $$A \cdot A = A \cdot A$$, was offensichtlich immer wahr ist. Visible text: Hermitesche Matrizen haben die Eigenschaft . Aufgrund der Normaldefinition gilt für hermitesche Matrizen , was offensichtlich immer wahr ist. Eigenwerte hermitescher Matrizen sind immer reell. Gilt $$Av=\lambda v$$ mit $$v\neq0$$, dann liefert die hermitesche Symmetrie: Visible text: Eigenwerte hermitescher Matrizen sind immer reell. Gilt mit , dann liefert die hermitesche Symmetrie: ```math \lambda v^H v = v^HAv = v^HA^Hv = (Av)^Hv = \overline{\lambda}v^Hv \Rightarrow \lambda=\overline{\lambda} ``` Die Gleichheit $$\lambda=\overline{\lambda}$$ bedeutet genau, dass $$\lambda$$ reell ist. Visible text: Die Gleichheit bedeutet genau, dass reell ist. ### Vollständig gerechnetes hermitesches Beispiel Betrachten wir ```math H=\begin{pmatrix}2&i\\-i&2\end{pmatrix} ``` Die konjugierte Transponierte ergibt wieder dieselbe Matrix, also $$H^H=H$$. Das charakteristische Polynom ist $$(2-\lambda)^2-1$$ und liefert die reellen Eigenwerte $$1$$ und $$3$$. Zugehörige normierte Eigenvektoren sind Visible text: Die konjugierte Transponierte ergibt wieder dieselbe Matrix, also . Das charakteristische Polynom ist und liefert die reellen Eigenwerte und . Zugehörige normierte Eigenvektoren sind Component: MathContainer Children: ```math u_1=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}-i\\1\end{pmatrix},\qquad u_3=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix} ``` ```math U=(u_1\quad u_3),\qquad U^HHU=\operatorname{diag}(1,3) ``` Die Vektoren sind orthonormal, denn $$u_1^Hu_3=0$$ und beide haben die Norm $$1$$. So zeigt sich der Spektralsatz an einem konkreten $$2\times2$$-Beispiel. Visible text: Die Vektoren sind orthonormal, denn und beide haben die Norm . So zeigt sich der Spektralsatz an einem konkreten -Beispiel. ### Unitäre Matrizen und Eigenwerte auf dem Einheitskreis Unitäre Matrizen erfüllen $$A^H = A^{-1}$$. Eingesetzt in die Definition der Normalität ergibt sich $$A \cdot A^H = A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A = A^H \cdot A$$. Visible text: Unitäre Matrizen erfüllen . Eingesetzt in die Definition der Normalität ergibt sich . Eigenwerte unitärer Matrizen haben den Betrag $$1$$ und liegen daher auf dem Einheitskreis. Gilt $$Av=\lambda v$$ mit $$v\neq0$$, bewahrt die unitäre Abbildung die Norm: Visible text: Eigenwerte unitärer Matrizen haben den Betrag und liegen daher auf dem Einheitskreis. Gilt mit , bewahrt die unitäre Abbildung die Norm: Component: MathContainer Children: ```math \lVert v\rVert^2 = \lVert Av\rVert^2 = \lVert \lambda v\rVert^2 = |\lambda|^2\lVert v\rVert^2 ``` ```math v\neq0 \Rightarrow \lVert v\rVert^2>0 \Rightarrow |\lambda|^2=1 \Rightarrow |\lambda|=1 ``` Damit hat jeder Eigenwert einer unitären Matrix den Betrag $$1$$. Geometrisch bewahren unitäre Transformationen Vektorlängen, und ihre Eigenwerte liegen auf dem Einheitskreis. Visible text: Damit hat jeder Eigenwert einer unitären Matrix den Betrag . Geometrisch bewahren unitäre Transformationen Vektorlängen, und ihre Eigenwerte liegen auf dem Einheitskreis.