# Symmetrische und hermitesche Matrizen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/ki-und-data-science/lineare-methoden-der-ki/symmetrische-und-hermitesche-matrizen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/ai-ds/linear-methods/symmetric-hermitian-matrix/de.mdx Lernen Sie symmetrische und hermitesche Matrizen, einschließlich reeller Eigenwerte, orthogonale Eigenvektoren, quadratische Formen und Diagonalisierung. --- ## Definitionen und Bedeutung der Einträge Eine reelle quadratische Matrix $$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$$ heißt **symmetrisch**, wenn Visible text: Eine reelle quadratische Matrix heißt **symmetrisch**, wenn ```math A^T=A ``` oder eintragsweise $$a_{ji}=a_{ij}$$ gilt. Zum Beispiel ist Visible text: oder eintragsweise gilt. Zum Beispiel ist ```math A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix} ``` symmetrisch, weil die Einträge auf beiden Seiten der Hauptdiagonalen übereinstimmen. Eine komplexe quadratische Matrix $$H\in\mathbb{C}^{n\times n}$$ heißt **hermitesch**, wenn Visible text: Eine komplexe quadratische Matrix heißt **hermitesch**, wenn ```math H^H=H ``` also $$h_{ji}=\overline{h_{ij}}$$ gilt. Ein Beispiel mit tatsächlich komplexen Einträgen ist Visible text: also gilt. Ein Beispiel mit tatsächlich komplexen Einträgen ist ```math H=\begin{pmatrix}2&1+i\\1-i&3\end{pmatrix} ``` > Jede reelle symmetrische Matrix ist über $$\mathbb{C}$$ betrachtet hermitesch. Die Umkehrung gilt nicht, denn eine hermitesche Matrix darf außerhalb der Diagonalen komplexe Einträge besitzen. Visible text: > Jede reelle symmetrische Matrix ist über betrachtet hermitesch. Die Umkehrung gilt nicht, denn eine hermitesche Matrix darf außerhalb der Diagonalen komplexe Einträge besitzen. Auf der Diagonalen liefert die hermitesche Bedingung $$h_{ii}=\overline{h_{ii}}$$. Daher ist jeder Diagonaleintrag reell. Visible text: Auf der Diagonalen liefert die hermitesche Bedingung . Daher ist jeder Diagonaleintrag reell. ## Reelle und komplexe Skalarprodukte Transponieren und konjugiertes Transponieren dürfen nicht verwechselt werden. Für $$x\in\mathbb{R}^n$$ gilt Visible text: Transponieren und konjugiertes Transponieren dürfen nicht verwechselt werden. Für gilt ```math x^Tx=\sum_{k=1}^n x_k^2\geq0 ``` und für $$x\in\mathbb{C}^n$$ gilt Visible text: und für gilt ```math x^Hx=\sum_{k=1}^n\overline{x_k}x_k=\sum_{k=1}^n|x_k|^2\geq0 ``` Im jeweiligen Körper ist der passende Ausdruck genau dann null, wenn $$x=0$$ ist. Für einen komplexen Vektor muss $$x^Tx$$ nicht einmal reell sein. Deshalb verwendet die komplexe Geometrie $$x^Hx$$. Visible text: Im jeweiligen Körper ist der passende Ausdruck genau dann null, wenn ist. Für einen komplexen Vektor muss nicht einmal reell sein. Deshalb verwendet die komplexe Geometrie . ## Quadratische und hermitesche Formen Eine reelle symmetrische Matrix definiert die quadratische Form Component: MathContainer Children: ```math q:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} ``` ```math q(x)=x^TAx ``` Eine hermitesche Matrix definiert die reellwertige hermitesche Form Component: MathContainer Children: ```math q:\mathbb{C}^n\to\mathbb{R} ``` ```math q(x)=x^HHx ``` Um zu beweisen, dass ihr Wert reell ist, konjugieren wir den Skalar: Component: MathContainer Children: ```math \overline{x^HHx}=(x^HHx)^H ``` ```math =x^HH^Hx=x^HHx ``` Ein Skalar ist genau dann gleich seinem komplex Konjugierten, wenn er reell ist. Im reellen Fall trägt der schiefsymmetrische Anteil einer beliebigen Matrix nichts zur quadratischen Form bei: ```math x^TBx=x^T\left(\frac{B+B^T}{2}\right)x ``` denn $$x^T(B-B^T)x=0$$. Quadratische Formen hängen somit nur vom symmetrischen Anteil ab. Visible text: denn . Quadratische Formen hängen somit nur vom symmetrischen Anteil ab. ## Warum hermitesche Eigenwerte reell sind Sei $$Hv=\lambda v$$ mit $$v\neq0$$. Aus der hermiteschen Symmetrie folgt Visible text: Sei mit . Aus der hermiteschen Symmetrie folgt Component: MathContainer Children: ```math \lambda v^Hv=v^HHv ``` ```math =v^HH^Hv=(Hv)^Hv=\overline{\lambda}v^Hv ``` Da $$v^Hv>0$$ gilt, folgt $$\lambda=\overline{\lambda}$$ und damit $$\lambda\in\mathbb{R}$$. Für reelle symmetrische Matrizen gilt dieselbe Folgerung. Visible text: Da gilt, folgt und damit . Für reelle symmetrische Matrizen gilt dieselbe Folgerung. ## Warum verschiedene Eigenräume orthogonal sind Seien $$Hv=\lambda v$$ und $$Hw=\mu w$$ mit $$\lambda\neq\mu$$. Da beide Eigenwerte reell sind, Visible text: Seien und mit . Da beide Eigenwerte reell sind, Component: MathContainer Children: ```math \lambda w^Hv=w^HHv ``` ```math =w^HH^Hv=(Hw)^Hv=\mu w^Hv ``` Daher gilt $$(\lambda-\mu)w^Hv=0$$ und somit $$w^Hv=0$$. Bei einem mehrfachen Eigenwert müssen beliebige Eigenvektoren innerhalb desselben Eigenraums nicht orthogonal sein. Mit Gram-Schmidt lässt sich dort jedoch eine Orthonormalbasis wählen. Visible text: Daher gilt und somit . Bei einem mehrfachen Eigenwert müssen beliebige Eigenvektoren innerhalb desselben Eigenraums nicht orthogonal sein. Mit Gram-Schmidt lässt sich dort jedoch eine Orthonormalbasis wählen. ## Spektralzerlegung und Geometrie quadratischer Formen Der Spektralsatz fasst diese Tatsachen zu einer vollständigen Zerlegung zusammen: Component: MathContainer Children: ```math A=A^T\in\mathbb{R}^{n\times n}:\qquad A=Q\Lambda Q^T ``` ```math H=H^H\in\mathbb{C}^{n\times n}:\qquad H=U\Lambda U^H ``` Die Spalten von $$Q$$ oder $$U$$ bilden eine orthonormale Eigenbasis, und jeder Diagonaleintrag von $$\Lambda$$ ist reell. Sind $$u_1,\ldots,u_n$$ die Spalten von $$U$$, dann gilt Visible text: Die Spalten von oder bilden eine orthonormale Eigenbasis, und jeder Diagonaleintrag von ist reell. Sind die Spalten von , dann gilt ```math x^HHx=\sum_{j=1}^n\lambda_j|u_j^Hx|^2 ``` Diese Formel zeigt unmittelbar, dass $$H$$ genau dann positiv definit ist, wenn alle Eigenwerte positiv sind. Visible text: Diese Formel zeigt unmittelbar, dass genau dann positiv definit ist, wenn alle Eigenwerte positiv sind. ## Vollständig gerechnete hermitesche Diagonalisierung Für die zuvor betrachtete Matrix ```math H=\begin{pmatrix}2&1+i\\1-i&3\end{pmatrix} ``` lautet das charakteristische Polynom ```math \det(H-\lambda I)=(2-\lambda)(3-\lambda)-2=(\lambda-1)(\lambda-4) ``` Normierte Eigenvektoren zu $$\lambda_1=1$$ und $$\lambda_2=4$$ sind Visible text: Normierte Eigenvektoren zu und sind Component: MathContainer Children: ```math u_1=\frac1{\sqrt3}\begin{pmatrix}-(1+i)\\1\end{pmatrix} ``` ```math u_2=\frac1{\sqrt6}\begin{pmatrix}1+i\\2\end{pmatrix} ``` Sie erfüllen $$u_1^Hu_2=0$$. Mit $$U=(u_1\quad u_2)$$ gilt Visible text: Sie erfüllen . Mit gilt ```math U^HHU=\operatorname{diag}(1,4) ``` und der abstrakte Satz liefert eine unmittelbar überprüfbare unitäre Diagonalisierung.