# Ableitungen algebraischer Funktionen
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Algebraische Funktionen mit Potenz-, Produkt- und Quotientenregel ableiten und die passende Methode für Polynome, Wurzeln und rationale Funktionen auswählen.
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## Anwendung der Ableitungsregeln
Nachdem wir die verschiedenen [Ableitungsregeln](/de/faecher/mathematik/ableitungen/ableitungsregeln) kennengelernt haben, wenden wir sie nun auf algebraische Funktionen an. Ob Polynom, rationale Funktion oder Wurzelfunktion: Entscheidend ist, die Struktur zu erkennen und die passende Regel zu wählen. Die folgenden Beispiele zeigen diese Strategie Schritt für Schritt.
## Ableitungsregeln auf algebraische Funktionen anwenden
Jedes Beispiel behandelt eine andere algebraische Form und begründet die Wahl der Methode.
### Differenzieren eines Polynoms
Bestimme die erste Ableitung von $$y = 4x^2 + x + 2$$.
Visible text: Bestimme die erste Ableitung von .
**Lösung:**
Wir können jeden Term einzeln differenzieren, indem wir die Potenzregel und die Konstantenregel verwenden.
Component: MathContainer
Children:
```math
y' = (4 \cdot 2)x^{2-1} + (1 \cdot 1)x^{1-1} + 0
```
```math
y' = 8x^1 + 1x^0
```
```math
y' = 8x + 1 \quad (\text{da} x^0=1)
```
### Funktionen mit Wurzeln ableiten
Bestimme für $$x>0$$ die erste Ableitung von $$y = x\sqrt{x^3}$$.
Visible text: Bestimme für die erste Ableitung von .
**Lösung:**
Es gibt zwei Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen.
**Methode $$1$$: Produktregel**
Visible text: **Methode : Produktregel**
Zuerst wandeln wir die Wurzelform in einen Exponenten um: $$y = x \cdot x^{3/2}$$.
Visible text: Zuerst wandeln wir die Wurzelform in einen Exponenten um: .
Seien $$u(x) = x$$ und $$v(x) = x^{3/2}$$. Dann und .
Visible text: Seien und . Dann und .
Component: MathContainer
Children:
```math
y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
```
```math
y' = (1)(x^{3/2}) + (x)(\frac{3}{2}x^{1/2})
```
```math
y' = x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{3/2}
```
```math
y' = \frac{5}{2}x^{3/2}
```
**Methode $$2$$: Zuerst vereinfachen**
Visible text: **Methode : Zuerst vereinfachen**
Wir können die Funktion vereinfachen, bevor wir sie differenzieren.
Component: MathContainer
Children:
```math
y = x \cdot x^{3/2} = x^{1 + 3/2} = x^{5/2}
```
```math
y' = \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} = \frac{5}{2}x^{3/2}
```
> Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis. Das Vereinfachen ist hier kürzer, während die Produktregel nachvollziehbar macht, weshalb das Ergebnis stimmt. Als reellwertige Funktion hat der ursprüngliche Ausdruck den Definitionsbereich $$x \ge 0$$; die Ableitung oben wird im Inneren dieses Bereichs, also für $$x>0$$, bestimmt.
Visible text: > Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis. Das Vereinfachen ist hier kürzer, während die Produktregel nachvollziehbar macht, weshalb das Ergebnis stimmt. Als reellwertige Funktion hat der ursprüngliche Ausdruck den Definitionsbereich ; die Ableitung oben wird im Inneren dieses Bereichs, also für , bestimmt.
### Rationale Funktionen ableiten
Bestimme im Definitionsbereich $$x\ne0$$ die erste Ableitung von $$y = 2\left(\frac{x^2+2}{x}\right)$$.
Visible text: Bestimme im Definitionsbereich die erste Ableitung von .
**Lösung:**
Wir verwenden die Quotientenregel. Seien $$u(x) = x^2+2$$ und $$v(x) = x$$. Dann und .
Visible text: Wir verwenden die Quotientenregel. Seien und . Dann und .
Component: MathContainer
Children:
```math
y' = 2 \cdot \left(\frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\right)
```
```math
y' = 2 \cdot \left(\frac{(2x)(x) - (x^2+2)(1)}{x^2}\right)
```
```math
y' = 2 \cdot \left(\frac{2x^2 - x^2 - 2}{x^2}\right)
```
```math
y' = 2 \cdot \left(\frac{x^2 - 2}{x^2}\right)
```
```math
y' = 2 \cdot \left(\frac{x^2}{x^2} - \frac{2}{x^2}\right) = 2 \cdot \left(1 - \frac{2}{x^2}\right) = 2 - \frac{4}{x^2}
```
Die Einschränkung $$x\ne0$$ gehört weiterhin zum Definitionsbereich der Ableitung.
Visible text: Die Einschränkung gehört weiterhin zum Definitionsbereich der Ableitung.
## Übungen
1. Bestimme für $$x>0$$ die erste Ableitung von $$y = \frac{\sqrt{x} + x^2}{2x}$$.
Visible text: 1. Bestimme für die erste Ableitung von .
### Ausführliche Lösung
1. Am einfachsten ist es, die Funktion vor dem Ableiten zu vereinfachen.
**Schritt** $$1$$: Bruch aufteilen
Zur Vereinfachung können wir den Bruch in zwei separate Teile aufteilen.
```math
y = \frac{\sqrt{x}}{2x} + \frac{x^2}{2x}
```
**Schritt** $$2$$: Jeden Term vereinfachen
Schreibe die Quadratwurzel als Potenz $$x^{1/2}$$ und vereinfache jeden Term mit den Potenzgesetzen.
```math
y = \frac{x^{1/2}}{2x^1} + \frac{x^2}{2x^1}
```
```math
y = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} + \frac{1}{2}x^{2-1}
```
```math
y = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x
```
**Schritt** $$3$$: Potenzregel anwenden
Sobald die Funktion vereinfacht ist, können wir sie Term für Term direkt differenzieren.
Die erste Ableitung ist also $$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}x^{-3/2}$$.
Visible text: 1. Am einfachsten ist es, die Funktion vor dem Ableiten zu vereinfachen.
**Schritt** : Bruch aufteilen
Zur Vereinfachung können wir den Bruch in zwei separate Teile aufteilen.
**Schritt** : Jeden Term vereinfachen
Schreibe die Quadratwurzel als Potenz und vereinfache jeden Term mit den Potenzgesetzen.
**Schritt** : Potenzregel anwenden
Sobald die Funktion vereinfacht ist, können wir sie Term für Term direkt differenzieren.
Die erste Ableitung ist also .