# Ableitungen trigonometrischer Funktionen

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Die sechs grundlegenden trigonometrischen Funktionen im Bogenmaß ableiten und Summen-, Produkt- sowie Quotientenregel in Beispielen anwenden.

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## Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen

Für trigonometrische Funktionen gelten dieselben Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregeln wie für algebraische Funktionen. Neu sind lediglich die grundlegenden Ableitungen, von denen wir ausgehen.

Alle folgenden Formeln setzen voraus, dass Winkel im **Bogenmaß** angegeben sind. Im Gradmaß käme ein zusätzlicher konstanter Faktor hinzu.

## Grundlegende trigonometrische Ableitungen

Die Formeln für Sinus und Kosinus folgen direkt aus der Grenzwertdefinition der Ableitung. Die übrigen vier lassen sich anschließend mit trigonometrischen Identitäten sowie der Produkt- oder Quotientenregel herleiten.

Dies sind die Ableitungen der sechs grundlegenden trigonometrischen Funktionen:

1.  **Ableitung des Sinus**:

    <BlockMath math="f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x" />

2.  **Ableitung des Kosinus**:

    <BlockMath math="f(x) = \cos x \implies f'(x) = -\sin x" />

3.  **Ableitung des Tangens**:

    <BlockMath math="f(x) = \tan x \implies f'(x) = \sec^2 x" />

4.  **Ableitung des Kotangens**:

    <BlockMath math="f(x) = \cot x \implies f'(x) = -\csc^2 x" />

5.  **Ableitung des Sekans**:

    <BlockMath math="f(x) = \sec x \implies f'(x) = \sec x \tan x" />

6.  **Ableitung des Kosekans**:

    <BlockMath math="f(x) = \csc x \implies f'(x) = -\csc x \cot x" />

Visible text: 1. **Ableitung des Sinus**:

 <BlockMath math="f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x" />

2. **Ableitung des Kosinus**:

 <BlockMath math="f(x) = \cos x \implies f'(x) = -\sin x" />

3. **Ableitung des Tangens**:

 <BlockMath math="f(x) = \tan x \implies f'(x) = \sec^2 x" />

4. **Ableitung des Kotangens**:

 <BlockMath math="f(x) = \cot x \implies f'(x) = -\csc^2 x" />

5. **Ableitung des Sekans**:

 <BlockMath math="f(x) = \sec x \implies f'(x) = \sec x \tan x" />

6. **Ableitung des Kosekans**:

 <BlockMath math="f(x) = \csc x \implies f'(x) = -\csc x \cot x" />

## Anwenden der Regeln auf trigonometrische Funktionen

Die folgenden Beispiele verbinden diese Formeln mit den bekannten Ableitungsregeln.

### Kombination aus Algebra und Trigonometrie

Bestimme die Ableitung von $$y = 2 \sin x + 5x$$.

Visible text: Bestimme die Ableitung von .

**Lösung:**

Mithilfe der Summenregel können wir diese Funktion Term für Term differenzieren.

Component: MathContainer
Children:

```math
y' = \frac{d}{dx}(2 \sin x) + \frac{d}{dx}(5x)
```

```math
y' = 2(\cos x) + 5(1)
```

```math
y' = 2 \cos x + 5
```

### Verwendung der Produktregel

Bestimme die Ableitung von $$y = 2 \sin x \tan x$$.

Visible text: Bestimme die Ableitung von .

**Lösung:**

Verwende die Produktregel <InlineMath math="y' = u'v + uv'" />.

Visible text: Verwende die Produktregel .

Seien $$u = 2 \sin x$$ und $$v = \tan x$$.

Visible text: Seien und .

Dann <InlineMath math="u' = 2 \cos x" /> und <InlineMath math="v' = \sec^2 x" />.

Visible text: Dann und .

Component: MathContainer
Children:

```math
y' = (2 \cos x)(\tan x) + (2 \sin x)(\sec^2 x)
```

```math
y' = (2 \cos x)\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) + (2 \sin x)(\sec^2 x)
```

```math
y' = 2 \sin x + 2 \sin x \sec^2 x
```

### Verwendung der Quotientenregel

Bestimme auf dem Definitionsbereich $$\sin x \ne 0$$ die Ableitung von $$y = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$$.

Visible text: Bestimme auf dem Definitionsbereich die Ableitung von .

**Lösung:**

Verwende die Quotientenregel <InlineMath math="y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}" />.

Visible text: Verwende die Quotientenregel .

Seien $$u = 1 + \cos x$$ und $$v = \sin x$$.

Visible text: Seien und .

Dann <InlineMath math="u' = -\sin x" /> und <InlineMath math="v' = \cos x" />.

Visible text: Dann und .

Component: MathContainer
Children:

```math
y' = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (1 + \cos x)(\cos x)}{(\sin x)^2}
```

```math
y' = \frac{-\sin^2 x - (\cos x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}
```

```math
y' = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x) - \cos x}{\sin^2 x}
```

```math
y' = \frac{-1 - \cos x}{1 - \cos^2 x} \quad (\text{Pythagoräische Identität})
```

```math
y' = \frac{-(1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} \quad (\text{Faktorisierung})
```

```math
y' = \frac{-1}{1 - \cos x} = \frac{1}{\cos x - 1}
```

Die vereinfachte Formel gilt weiterhin nur auf dem ursprünglichen Definitionsbereich. Werte mit $$\sin x=0$$ bleiben ausgeschlossen, auch wenn der letzte Ausdruck dort definiert zu sein scheint.

Visible text: Die vereinfachte Formel gilt weiterhin nur auf dem ursprünglichen Definitionsbereich. Werte mit bleiben ausgeschlossen, auch wenn der letzte Ausdruck dort definiert zu sein scheint.

## Übungen

1. Bestimme die erste Ableitung von $$f(x) = 4x^3 - 5 \cos x$$.
2. Bestimme die erste Ableitung von $$f(x) = \sin x \cos x$$.

Visible text: 1. Bestimme die erste Ableitung von .
2. Bestimme die erste Ableitung von .

### Ausführliche Lösungen

1.  **Lösung:**

    Verwende die Differenzregel und leite beide Terme einzeln ab.

    **Schritt** $$1$$: Ersten Term ableiten

    Die Ableitung von $$4x^3$$ nach der Potenzregel ist $$3 \cdot 4x^{3-1} = 12x^2$$.

    **Schritt** $$2$$: Zweiten Term ableiten

    Die Ableitung von $$-5 \cos x$$ ist $$-5(-\sin x) = 5 \sin x$$.

    **Schritt** $$3$$: Ergebnisse zusammenführen

    <BlockMath math="f'(x) = 12x^2 + 5 \sin x" />

    Die Ableitung der Funktion ist also $$12x^2 + 5 \sin x$$.

2.  **Lösung:**

    Verwende die Produktregel <InlineMath math="f'(x) = u'v + uv'" />.

    **Schritt** $$1$$: $$u$$, $$v$$, <InlineMath math="u'" /> und <InlineMath math="v'" /> bestimmen

    Seien $$u = \sin x$$ und $$v = \cos x$$.

    Dann <InlineMath math="u' = \cos x" /> und <InlineMath math="v' = -\sin x" />.

    **Schritt** $$2$$: Produktregel anwenden

    <MathContainer>
        <BlockMath math="f'(x) = (\cos x)(\cos x) + (\sin x)(-\sin x)" />
        <BlockMath math="f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x" />
    </MathContainer>

    **Schritt** $$3$$: Eine trigonometrische Identität verwenden (optional)

    Das Ergebnis kann auch mit der doppelten Winkelidentität $$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$ vereinfacht werden.

    <BlockMath math="f'(x) = \cos(2x)" />

    Die Ableitung der Funktion ist also $$\cos(2x)$$.

Visible text: 1. **Lösung:**

 Verwende die Differenzregel und leite beide Terme einzeln ab.

 **Schritt** : Ersten Term ableiten

 Die Ableitung von nach der Potenzregel ist .

 **Schritt** : Zweiten Term ableiten

 Die Ableitung von ist .

 **Schritt** : Ergebnisse zusammenführen

 <BlockMath math="f'(x) = 12x^2 + 5 \sin x" />

 Die Ableitung der Funktion ist also .

2. **Lösung:**

 Verwende die Produktregel .

 **Schritt** : , , und bestimmen

 Seien und .

 Dann und .

 **Schritt** : Produktregel anwenden

 <MathContainer>
 <BlockMath math="f'(x) = (\cos x)(\cos x) + (\sin x)(-\sin x)" />
 <BlockMath math="f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x" />
 </MathContainer>

 **Schritt** : Eine trigonometrische Identität verwenden (optional)

 Das Ergebnis kann auch mit der doppelten Winkelidentität vereinfacht werden.

 <BlockMath math="f'(x) = \cos(2x)" />

 Die Ableitung der Funktion ist also .