# Anwendungen der Ableitung

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/ableitungen/anwendungen-der-ableitung
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/derivative-function/application-of-derivative/de.mdx

Ableitungen auf Bewegungsprobleme anwenden und Geschwindigkeit, Beschleunigung sowie maximale Höhe schrittweise berechnen.

---

## Bewegung mithilfe von Ableitungen verstehen

Ableitungen sind nicht nur ein abstraktes Konzept. Sie beschreiben, wie sich eine Größe verändert. Eine besonders anschauliche Anwendung ist die Bewegung eines Körpers: Aus seiner Ortsfunktion lassen sich die momentane Geschwindigkeit und anschließend die Beschleunigung bestimmen.

## Momentangeschwindigkeit aus der Ortsfunktion

Während ein Auto fährt, ändert sich sein Ort mit der Zeit. Die **Geschwindigkeit** ist die Änderungsrate dieses Ortes. Beschreibt $$s(t)$$ den Ort, dann ist die Momentangeschwindigkeit $$v(t)$$ zur Zeit $$t$$ die erste Ableitung der Ortsfunktion.

Visible text: Während ein Auto fährt, ändert sich sein Ort mit der Zeit. Die **Geschwindigkeit** ist die Änderungsrate dieses Ortes. Beschreibt den Ort, dann ist die Momentangeschwindigkeit zur Zeit die erste Ableitung der Ortsfunktion.

```math
v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}
```

Zu jeder Zeit, an der $$s$$ differenzierbar ist, liefert diese Ableitung die Momentangeschwindigkeit und nicht nur den Durchschnitt über ein Zeitintervall.

Visible text: Zu jeder Zeit, an der differenzierbar ist, liefert diese Ableitung die Momentangeschwindigkeit und nicht nur den Durchschnitt über ein Zeitintervall.

### Bestimmen der Geschwindigkeitsfunktion

Die Bewegung eines Teilchens sei durch $$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$$ beschrieben. Dabei wird $$s$$ in Metern und $$t$$ in Sekunden gemessen. Für die Geschwindigkeitsfunktion leiten wir $$s(t)$$ nach $$t$$ ab.

Visible text: Die Bewegung eines Teilchens sei durch beschrieben. Dabei wird in Metern und in Sekunden gemessen. Für die Geschwindigkeitsfunktion leiten wir nach ab.

Component: MathContainer
Children:

```math
v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t)
```

```math
v(t) = 3t^2 - 12t + 9
```

Für $$t = 1 \text{ Sekunde}$$ gilt $$v(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 9 = 0 \text{ m/s}$$. Die Geschwindigkeit null bedeutet, dass das Teilchen momentan ruht. Sie beweist für sich allein jedoch noch keinen Richtungswechsel. Wir faktorisieren die Geschwindigkeitsfunktion und prüfen ihr Vorzeichen auf beiden Seiten von $$t=1$$:

Visible text: Für gilt . Die Geschwindigkeit null bedeutet, dass das Teilchen momentan ruht. Sie beweist für sich allein jedoch noch keinen Richtungswechsel. Wir faktorisieren die Geschwindigkeitsfunktion und prüfen ihr Vorzeichen auf beiden Seiten von :

```math
v(t)=3(t-1)(t-3)
```

Für $$0<t<1$$ sind beide Faktoren negativ, also gilt $$v(t)>0$$. Für $$1<t<3$$ haben die Faktoren verschiedene Vorzeichen, also gilt $$v(t)<0$$. Damit wechselt die Geschwindigkeit bei $$t=1$$ ihr Vorzeichen. Das Teilchen kehrt dort nachweislich seine Bewegungsrichtung um.

Visible text: Für sind beide Faktoren negativ, also gilt . Für haben die Faktoren verschiedene Vorzeichen, also gilt . Damit wechselt die Geschwindigkeit bei ihr Vorzeichen. Das Teilchen kehrt dort nachweislich seine Bewegungsrichtung um.

## Beschleunigung aus der Geschwindigkeit

Auch die Geschwindigkeit kann sich ändern, etwa beim Beschleunigen oder Bremsen eines Autos. Diese Änderung heißt **Beschleunigung**. Die Funktion $$a(t)$$ ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit und damit zugleich die zweite Ableitung des Ortes.

Visible text: Auch die Geschwindigkeit kann sich ändern, etwa beim Beschleunigen oder Bremsen eines Autos. Diese Änderung heißt **Beschleunigung**. Die Funktion ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit und damit zugleich die zweite Ableitung des Ortes.

```math
a(t) = v'(t) = s''(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}
```

### Bestimmung der Beschleunigungsfunktion

Im vorherigen Beispiel lautet die Geschwindigkeitsfunktion $$v(t) = 3t^2 - 12t + 9$$. Durch erneutes Ableiten von $$v(t)$$ erhalten wir die Beschleunigungsfunktion.

Visible text: Im vorherigen Beispiel lautet die Geschwindigkeitsfunktion . Durch erneutes Ableiten von erhalten wir die Beschleunigungsfunktion.

Component: MathContainer
Children:

```math
a(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 9)
```

```math
a(t) = 6t - 12
```

Für $$t = 3 \text{ Sekunden}$$ beträgt die Beschleunigung beispielsweise $$a(3) = 6(3) - 12 = 6 \text{ m/s}^2$$.

Visible text: Für beträgt die Beschleunigung beispielsweise .

## Maximale Höhe bei einer senkrechten Bewegung

Ein Ball wird direkt nach oben geworfen. Seine Höhe, $$h(t)$$ in Metern, nach $$t \text{Sekunden}$$ wird durch die Gleichung $$h(t) = 50t - 5t^2$$ angegeben.

Visible text: Ein Ball wird direkt nach oben geworfen. Seine Höhe, in Metern, nach wird durch die Gleichung angegeben.

Zuerst bestimmen wir die Geschwindigkeits- und die Beschleunigungsfunktion.

Geschwindigkeitsfunktion:

```math
v(t) = h'(t) = 50 - 10t
```

Beschleunigungsfunktion:

```math
a(t) = v'(t) = -10
```

> Dieses Unterrichtsmodell wählt die Richtung nach oben als positiv, vernachlässigt den Luftwiderstand und verwendet nahe der Erdoberfläche die konstante Beschleunigung $$-10 \text{ m/s}^2$$. Das negative Vorzeichen kennzeichnet die Richtung nach unten. Als Näherung wird meist $$-9{,}8 \text{ m/s}^2$$ verwendet; hier ist der Wert auf $$-10 \text{ m/s}^2$$ gerundet.

Visible text: > Dieses Unterrichtsmodell wählt die Richtung nach oben als positiv, vernachlässigt den Luftwiderstand und verwendet nahe der Erdoberfläche die konstante Beschleunigung . Das negative Vorzeichen kennzeichnet die Richtung nach unten. Als Näherung wird meist verwendet; hier ist der Wert auf gerundet.

Wegen $$h(0)=0$$ und $$h(10)=0$$ reicht der modellierte Flug vom Abwurf bei $$t=0$$ bis zur Rückkehr auf die Ausgangshöhe bei $$t=10$$.

Visible text: Wegen und reicht der modellierte Flug vom Abwurf bei bis zur Rückkehr auf die Ausgangshöhe bei .

Nun bestimmen wir, **wann der Ball seine maximale Höhe erreicht**.

Am höchsten Punkt kommt der Ball für einen Augenblick zum Stillstand und ändert danach seine Bewegungsrichtung. Deshalb setzen wir seine Geschwindigkeit gleich null.

Component: MathContainer
Children:

```math
v(t) = 0
```

```math
50 - 10t = 0
```

```math
10t = 50
```

```math
t = 5
```

Der Ball erreicht seinen höchsten Punkt nach $$5 \text{ Sekunden}$$. Für die maximale Höhe setzen wir $$t=5$$ in die ursprüngliche Höhenfunktion ein.

Visible text: Der Ball erreicht seinen höchsten Punkt nach . Für die maximale Höhe setzen wir in die ursprüngliche Höhenfunktion ein.

```math
h(5) = 50(5) - 5(5)^2 = 250 - 125 = 125
```

Die maximale Höhe beträgt somit **$$125 \text{ Meter}$$**. Die Rechnung bildet eine vollständige Kette: Ortsfunktion ableiten, die Nullstelle der Geschwindigkeit im physikalischen Zeitintervall bestimmen und diesen Zeitpunkt in die ursprüngliche Höhenfunktion einsetzen.

Visible text: Die maximale Höhe beträgt somit ****. Die Rechnung bildet eine vollständige Kette: Ortsfunktion ableiten, die Nullstelle der Geschwindigkeit im physikalischen Zeitintervall bestimmen und diesen Zeitpunkt in die ursprüngliche Höhenfunktion einsetzen.