# Grundidee der Ableitung
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Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/derivative-function/concept-of-derivative-function/de.mdx
Die Ableitung als lokale Änderungsrate und Tangentensteigung mithilfe von Sekanten, Grenzwerten und visuellen Beispielen verstehen.
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## Die Idee hinter Ableitungen
Stell dir ein Fahrrad auf einer hügeligen Straße vor. Manche Abschnitte steigen steil an, andere sind fast eben. Die **Steigung** ändert sich von Punkt zu Punkt. Bei einem gekrümmten Funktionsgraphen ist es ähnlich.
Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich. Bei einer gekrümmten Linie verändert sie sich dagegen fortlaufend. Die **Ableitung** liefert die Steigung oder Änderungsrate an **einem bestimmten Punkt** der Kurve.
## Steigung einer Sekantenlinie
Wir beginnen mit einer **Sekante**, also einer Geraden durch zwei verschiedene Punkte einer Kurve.
Die Kurve stelle $$y = f(x)$$ dar. Wir wählen darauf zwei verschiedene Punkte, $$P(x, f(x))$$ und $$Q(x+\Delta x, f(x+\Delta x))$$. Dabei ist $$\Delta x$$ (sprich „Delta x“) die waagerechte Änderung von $$P$$ nach $$Q$$. Daher gilt $$\Delta x \ne 0$$.
Visible text: Die Kurve stelle dar. Wir wählen darauf zwei verschiedene Punkte, und . Dabei ist (sprich „Delta x“) die waagerechte Änderung von nach . Daher gilt .
Die Steigung der Sekante durch $$P$$ und $$Q$$ lautet:
Visible text: Die Steigung der Sekante durch und lautet:
```math
m_{\text{Sekante}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
```
Diese Steigung ist die **mittlere Änderungsrate** von $$f(x)$$ zwischen $$P$$ und $$Q$$.
Visible text: Diese Steigung ist die **mittlere Änderungsrate** von zwischen und .
Component: LineEquation
Props:
- title: Sekante und Tangente
- description: Die Sekante verbindet zwei verschiedene Punkte der Kurve{" "}
$$y=x^2$$. Die Tangente beschreibt dagegen die lokale
Richtung der Kurve in $$P$$. In diesem Beispiel trifft
sie die Parabel in $$P$$. Allgemein kann eine Tangente
dieselbe Kurve an anderer Stelle erneut schneiden.
Visible text: Die Sekante verbindet zwei verschiedene Punkte der Kurve
. Die Tangente beschreibt dagegen die lokale
Richtung der Kurve in . In diesem Beispiel trifft
sie die Parabel in . Allgemein kann eine Tangente
dieselbe Kurve an anderer Stelle erneut schneiden.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- data: (() => {
// Kurvenfunktion festlegen
const f = (x) => x * x;
// 1. Hauptkurve festlegen: Parabel y = x^2
const curvePoints = Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const x = (i - 50) / 10; // x von -5 bis 5
return { x, y: f(x), z: 0 };
});
// 2. Sekante festlegen
const p1_secant = { x: 1, y: f(1), z: 0 };
const p2_secant = { x: 3, y: f(3), z: 0 };
// 3. Tangente am Punkt P festlegen
const tangentPointX = 1;
const tangentPoint = { x: tangentPointX, y: f(tangentPointX), z: 0 };
const slope = 2 * tangentPointX; // Die Ableitung von x^2 ist 2x
// Geradengleichung: y - y1 = m(x - x1) => y = m(x - x1) + y1
const tangentLineFunc = (x) => slope * (x - tangentPointX) + tangentPoint.y;
const tangentLinePoints = [
{ x: -1, y: tangentLineFunc(-1), z: 0 },
{ x: 3, y: tangentLineFunc(3), z: 0 },
];
return [
{
points: curvePoints,
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [p1_secant, p2_secant],
color: "#0891b2",
labels: [
{ text: $$P$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: $$Q$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] },
{ text: "Sekante", at: 0, offset: [-1, 2.5, 0] },
],
},
{
points: tangentLinePoints,
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [{ text: "Tangente", at: 1, offset: [2, ... [truncated; 1224 chars]
Visible text: (() => {
// Kurvenfunktion festlegen
const f = (x) => x * x;
// 1. Hauptkurve festlegen: Parabel y = x^2
const curvePoints = Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const x = (i - 50) / 10; // x von -5 bis 5
return { x, y: f(x), z: 0 };
});
// 2. Sekante festlegen
const p1_secant = { x: 1, y: f(1), z: 0 };
const p2_secant = { x: 3, y: f(3), z: 0 };
// 3. Tangente am Punkt P festlegen
const tangentPointX = 1;
const tangentPoint = { x: tangentPointX, y: f(tangentPointX), z: 0 };
const slope = 2 * tangentPointX; // Die Ableitung von x^2 ist 2x
// Geradengleichung: y - y1 = m(x - x1) => y = m(x - x1) + y1
const tangentLineFunc = (x) => slope * (x - tangentPointX) + tangentPoint.y;
const tangentLinePoints = [
{ x: -1, y: tangentLineFunc(-1), z: 0 },
{ x: 3, y: tangentLineFunc(3), z: 0 },
];
return [
{
points: curvePoints,
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [p1_secant, p2_secant],
color: "#0891b2",
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] },
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{
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labels: [{ text: "Tangente", at: 1, offset: [2, ... [truncated; 1224 chars]
## Von der Sekante zur Tangente
Nun verschieben wir $$Q$$ immer näher an $$P$$. Der waagerechte Abstand $$\Delta x$$ wird kleiner und geht gegen Null.
Visible text: Nun verschieben wir immer näher an . Der waagerechte Abstand wird kleiner und geht gegen Null.
Für $$\Delta x \to 0$$ (sprich „Delta x nähert sich Null“) nähern sich die Sekanten der **Tangente** in $$P$$. Die Tangente beschreibt dort die lokale Richtung der Kurve. Sie muss die gesamte Kurve nicht nur einmal schneiden; entscheidend ist ihr Verhalten in der Umgebung von $$P$$.
Visible text: Für (sprich „Delta x nähert sich Null“) nähern sich die Sekanten der **Tangente** in . Die Tangente beschreibt dort die lokale Richtung der Kurve. Sie muss die gesamte Kurve nicht nur einmal schneiden; entscheidend ist ihr Verhalten in der Umgebung von .
Die Tangentensteigung ist die **momentane Änderungsrate** der Kurve in $$P$$. Wir bestimmen sie mit einem **Grenzwert**:
Visible text: Die Tangentensteigung ist die **momentane Änderungsrate** der Kurve in . Wir bestimmen sie mit einem **Grenzwert**:
```math
m_{\text{Tangente}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
```
## Definition der Ableitung
Der Grenzwert der Sekantensteigungen für $$\Delta x$$ gegen Null heißt **Ableitung**.
Visible text: Der Grenzwert der Sekantensteigungen für gegen Null heißt **Ableitung**.
Die Ableitung einer Funktion $$f(x)$$, bezeichnet als (sprich „f prim x“), ist definiert als:
Visible text: Die Ableitung einer Funktion , bezeichnet als (sprich „f prim x“), ist definiert als:
```math
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
```
Das Bestimmen einer Ableitung heißt **Differenzieren**.
> Die Ableitung ist eine neue Funktion. Für jeden Wert $$x$$, an dem der Grenzwert existiert, gibt sie die **momentane Änderungsrate** von $$f(x)$$ und damit die dortige Tangentensteigung an. Diese Idee bildet die Grundlage der Differentialrechnung.
Visible text: > Die Ableitung ist eine neue Funktion. Für jeden Wert , an dem der Grenzwert existiert, gibt sie die **momentane Änderungsrate** von und damit die dortige Tangentensteigung an. Diese Idee bildet die Grundlage der Differentialrechnung.