# Extremwerte mit dem ersten und zweiten Ableitungstest

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/ableitungen/extremwerte
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/derivative-function/extrema-maximum-and-minimum-value/de.mdx

Stationäre Punkte mit der ersten und zweiten Ableitung bestimmen und als lokale Maxima oder Minima einordnen.

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## Extrempunkte verstehen

Im Alltag suchen wir oft nach einem bestmöglichen Wert, etwa dem größten Gewinn, den geringsten Kosten oder der kürzesten Entfernung. In der Mathematik heißen solche Werte **Extremwerte**. Dazu gehören **Maximalwerte** und **Minimalwerte**; die zugehörigen Punkte nennt man **Extrempunkte**.

Ein lokaler Extrempunkt im Inneren des Definitionsbereichs einer differenzierbaren Funktion ist ein **stationärer Punkt** mit <InlineMath math="f'(x)=0" />. Allgemeiner können lokale Extrempunkte auch dort auftreten, wo die Ableitung nicht definiert ist, oder an einem Randpunkt des Definitionsbereichs. Ein stationärer Punkt ist daher nur ein Kandidat und keine Garantie für ein lokales Extremum. Diese Lektion behandelt differenzierbare stationäre Punkte und klassifiziert sie mit dem ersten und zweiten Ableitungstest.

Visible text: Ein lokaler Extrempunkt im Inneren des Definitionsbereichs einer differenzierbaren Funktion ist ein **stationärer Punkt** mit . Allgemeiner können lokale Extrempunkte auch dort auftreten, wo die Ableitung nicht definiert ist, oder an einem Randpunkt des Definitionsbereichs. Ein stationärer Punkt ist daher nur ein Kandidat und keine Garantie für ein lokales Extremum. Diese Lektion behandelt differenzierbare stationäre Punkte und klassifiziert sie mit dem ersten und zweiten Ableitungstest.

## Erster Ableitungstest

Beim ersten Ableitungstest betrachten wir, ob die Funktion links und rechts von einer stationären Stelle steigt oder fällt. Entscheidend ist der Vorzeichenwechsel von <InlineMath math="f'(x)" />.

Visible text: Beim ersten Ableitungstest betrachten wir, ob die Funktion links und rechts von einer stationären Stelle steigt oder fällt. Entscheidend ist der Vorzeichenwechsel von .

-   **Lokales Maximum (Hochpunkt):** Die Funktion wechselt von **steigend zu fallend**. Das Vorzeichen von <InlineMath math="f'(x)" /> wechselt von **positiv (+) zu negativ (-)**, wie an einem Berggipfel.

-   **Lokales Minimum (Tiefpunkt):** Die Funktion wechselt von **fallend zu steigend**. Das Vorzeichen von <InlineMath math="f'(x)" /> wechselt von **negativ (-) zu positiv (+)**, wie am tiefsten Punkt eines Tals.

-   **Kein lokales Extremum:** Wenn das Vorzeichen von <InlineMath math="f'(x)" /> gleich bleibt, liegt weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum vor. Die Stelle kann ein stationärer Wendepunkt sein, doch dafür muss sich zusätzlich die Krümmung ändern.

Visible text: - **Lokales Maximum (Hochpunkt):** Die Funktion wechselt von **steigend zu fallend**. Das Vorzeichen von wechselt von **positiv (+) zu negativ (-)**, wie an einem Berggipfel.

- **Lokales Minimum (Tiefpunkt):** Die Funktion wechselt von **fallend zu steigend**. Das Vorzeichen von wechselt von **negativ (-) zu positiv (+)**, wie am tiefsten Punkt eines Tals.

- **Kein lokales Extremum:** Wenn das Vorzeichen von gleich bleibt, liegt weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum vor. Die Stelle kann ein stationärer Wendepunkt sein, doch dafür muss sich zusätzlich die Krümmung ändern.

Die folgende Darstellung zeigt die waagerechten Tangenten an einem lokalen Maximum und einem lokalen Minimum.

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisierung des ersten Ableitungstests
- description: Die horizontalen Hilfslinien zeigen, wo die Steigung am lokalen Maximum
und am lokalen Minimum null ist.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 2, 18]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.1;
return { x: x - 3, y: -(x ** 2) + 4, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: -3, y: 4, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: "Maximum", offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -4, y: 4, z: 0 },
{ x: -2, y: 4, z: 0 },
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.1;
return { x: x + 3, y: x ** 2, z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 3, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: "Minimum", offset: [0, -0.75, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
},
]

Wenden wir den Test auf ein Beispiel an. Gesucht sind die stationären Werte der Funktion $$f(x) = x(x-3)^2$$.

Visible text: Wenden wir den Test auf ein Beispiel an. Gesucht sind die stationären Werte der Funktion .

**Lösung:**

**Schritt** $$1$$: Erste Ableitung bestimmen

Visible text: **Schritt** : Erste Ableitung bestimmen

Zunächst multiplizieren wir die Funktion aus: $$f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x$$.

Visible text: Zunächst multiplizieren wir die Funktion aus: .

Damit lautet die Ableitung:

```math
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
```

**Schritt** $$2$$: Stationäre Stellen bestimmen

Visible text: **Schritt** : Stationäre Stellen bestimmen

Setze <InlineMath math="f'(x) = 0" />.

Visible text: Setze .

Component: MathContainer
Children:

```math
3x^2 - 12x + 9 = 0
```

```math
x^2 - 4x + 3 = 0
```

```math
(x-1)(x-3) = 0
```

Die stationären Punkte liegen bei $$x = 1$$ und $$x = 3$$.

Visible text: Die stationären Punkte liegen bei und .

**Schritt** $$3$$: Vorzeichen in der Umgebung prüfen

Visible text: **Schritt** : Vorzeichen in der Umgebung prüfen

-   **Um $$x = 1$$:** Links davon, also für $$x < 1$$ (zum Beispiel $$x=0$$), ist <InlineMath math="f'(0) = 9" /> positiv. Rechts davon, also für $$x > 1$$ (zum Beispiel $$x=2$$), ist <InlineMath math="f'(2) = -3" /> negativ. Der Wechsel von (+) nach (-) zeigt: Bei $$x=1$$ liegt ein Hochpunkt.

-   **Um $$x = 3$$:** Links davon, also für $$x < 3$$ (zum Beispiel $$x=2$$), ist <InlineMath math="f'(2) = -3" /> negativ. Rechts davon, also für $$x > 3$$ (zum Beispiel $$x=4$$), ist <InlineMath math="f'(4) = 9" /> positiv. Der Wechsel von (-) nach (+) zeigt: Bei $$x=3$$ liegt ein Tiefpunkt.

Visible text: - **Um :** Links davon, also für (zum Beispiel ), ist positiv. Rechts davon, also für (zum Beispiel ), ist negativ. Der Wechsel von (+) nach (-) zeigt: Bei liegt ein Hochpunkt.

- **Um :** Links davon, also für (zum Beispiel ), ist negativ. Rechts davon, also für (zum Beispiel ), ist positiv. Der Wechsel von (-) nach (+) zeigt: Bei liegt ein Tiefpunkt.

**Schritt** $$4$$: Funktionswerte berechnen

Visible text: **Schritt** : Funktionswerte berechnen

Für die zugehörigen $$y$$-Werte setzen wir die stationären $$x$$-Koordinaten ($$x = 1$$ und $$x = 3$$) in die *ursprüngliche* Funktion $$f(x)$$ ein.

Visible text: Für die zugehörigen -Werte setzen wir die stationären -Koordinaten ( und ) in die *ursprüngliche* Funktion ein.

-   Lokaler Maximalwert: $$f(1) = 1(1-3)^2 = 4$$.

-   Lokaler Minimalwert: $$f(3) = 3(3-3)^2 = 0$$.

Visible text: - Lokaler Maximalwert: .

- Lokaler Minimalwert: .

Damit ist $$4$$ der lokale Maximalwert am Hochpunkt $$(1,4)$$. Der lokale Minimalwert $$0$$ liegt am Tiefpunkt $$(3,0)$$.

Visible text: Damit ist der lokale Maximalwert am Hochpunkt . Der lokale Minimalwert liegt am Tiefpunkt .

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisierung von Extrempunkten
- description: Die Kurve $$f(x) = x(x-3)^2$$ mit waagerechten
Tangenten an ihrem Hoch- und Tiefpunkt.
  Visible text: Die Kurve mit waagerechten
Tangenten an ihrem Hoch- und Tiefpunkt.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [1.5, 2, 15]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const x = -0.5 + i * 0.05;
const y = x * Math.pow(x - 3, 2);
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 1, y: 4, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Maximum $$(1,4)$$</>, offset: [0, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
{ x: 2, y: 4, z: 0 },
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [{ x: 3, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Minimum $$(3,0)$$</>, offset: [0, -1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const x = -0.5 + i * 0.05;
const y = x * Math.pow(x - 3, 2);
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: 1, y: 4, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Maximum </>, offset: [0, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
{ x: 2, y: 4, z: 0 },
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [{ x: 3, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Minimum </>, offset: [0, -1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
},
]

## Zweiter Ableitungstest

Dieser Test ist oft schneller, weil wir keine Nachbarintervalle prüfen müssen. Er verwendet die zweite Ableitung <InlineMath math="f''(x)" />, um die Krümmung des Graphen an einer stationären Stelle zu bestimmen.

Visible text: Dieser Test ist oft schneller, weil wir keine Nachbarintervalle prüfen müssen. Er verwendet die zweite Ableitung , um die Krümmung des Graphen an einer stationären Stelle zu bestimmen.

Angenommen, <InlineMath math="f'(c) = 0" /> und <InlineMath math="f''" /> ist auf einem Intervall um $$c$$ stetig.

Visible text: Angenommen, und ist auf einem Intervall um stetig.

-   Wenn <InlineMath math="f''(c) < 0" />, ist $$f(c)$$ ein **lokaler Maximalwert**. Der Graph ist dort nach unten gekrümmt, wie eine umgedrehte Schüssel.

-   Wenn <InlineMath math="f''(c) > 0" />, ist $$f(c)$$ ein **lokaler Minimalwert**. Der Graph ist dort nach oben gekrümmt, wie eine offene Schüssel.

-   Wenn <InlineMath math="f''(c) = 0" />, ist der Test **nicht entscheidend**. Dann verwenden wir den ersten Ableitungstest oder ein anderes Argument; die Stelle kann ein Maximum, ein Minimum, ein Wendepunkt oder keiner dieser Fälle sein.

Visible text: - Wenn , ist ein **lokaler Maximalwert**. Der Graph ist dort nach unten gekrümmt, wie eine umgedrehte Schüssel.

- Wenn , ist ein **lokaler Minimalwert**. Der Graph ist dort nach oben gekrümmt, wie eine offene Schüssel.

- Wenn , ist der Test **nicht entscheidend**. Dann verwenden wir den ersten Ableitungstest oder ein anderes Argument; die Stelle kann ein Maximum, ein Minimum, ein Wendepunkt oder keiner dieser Fälle sein.

Bestimme die Extremwerte von $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2$$ mit dem zweiten Ableitungstest.

Visible text: Bestimme die Extremwerte von mit dem zweiten Ableitungstest.

**Lösung:**

**Schritt** $$1$$: Erste und zweite Ableitung bestimmen

Visible text: **Schritt** : Erste und zweite Ableitung bestimmen

Component: MathContainer
Children:

```math
f'(x) = x^2 - 2x - 3
```

```math
f''(x) = 2x - 2
```

**Schritt** $$2$$: Stationäre Stellen bestimmen

Visible text: **Schritt** : Stationäre Stellen bestimmen

Component: MathContainer
Children:

```math
x^2 - 2x - 3 = 0
```

```math
(x-3)(x+1) = 0
```

Die stationären Punkte liegen bei $$x = 3$$ und $$x = -1$$.

Visible text: Die stationären Punkte liegen bei und .

**Schritt** $$3$$: Zweite Ableitung auswerten

Visible text: **Schritt** : Zweite Ableitung auswerten

-   Für $$x = 3$$: <InlineMath math="f''(3) = 2(3) - 2 = 4" />. Da $$4 > 0$$ gilt, liegt dort ein **lokales Minimum**.

-   Für $$x = -1$$: <InlineMath math="f''(-1) = 2(-1) - 2 = -4" />. Da $$-4 < 0$$ gilt, liegt dort ein **lokales Maximum**.

Visible text: - Für : . Da gilt, liegt dort ein **lokales Minimum**.

- Für : . Da gilt, liegt dort ein **lokales Maximum**.

**Schritt** $$4$$: Extremwerte berechnen

Visible text: **Schritt** : Extremwerte berechnen

Setze $$x=3$$ und $$x=-1$$ in die ursprüngliche Funktion ein.

Visible text: Setze und in die ursprüngliche Funktion ein.

-   Lokaler Minimalwert: $$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 2 = 9 - 9 - 9 + 2 = -7$$.

-   Lokaler Maximalwert: $$f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 2 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 2 = \frac{11}{3}$$.

Visible text: - Lokaler Minimalwert: .

- Lokaler Maximalwert: .

Wenn wir uns die Visualisierung unten ansehen, ist die Kurve am Punkt $$x=-1$$ nach unten konkav und am Punkt $$x=3$$ nach oben konkav.

Visible text: Wenn wir uns die Visualisierung unten ansehen, ist die Kurve am Punkt nach unten konkav und am Punkt nach oben konkav.

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisierung des zweiten Ableitungstests
- description: Der Graph von $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2$$.
Die Hilfslinien markieren das Maximum bei $$x=-1$$, wo der Graph nach unten gekrümmt ist, und das Minimum bei $$x=3$$, wo er nach oben gekrümmt ist.
  Visible text: Der Graph von .
Die Hilfslinien markieren das Maximum bei , wo der Graph nach unten gekrümmt ist, und das Minimum bei , wo er nach oben gekrümmt ist.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [1, -2, 20]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const x = -2.5 + i * 0.08;
const y = (1 / 3) * x ** 3 - x ** 2 - 3 * x + 2;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: -1, y: 11 / 3, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Maximum $$(-1,\frac{11}{3})$$</>, offset: [-1, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -2, y: 11 / 3, z: 0 },
{ x: 0, y: 11 / 3, z: 0 },
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [{ x: 3, y: -7, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Minimum $$(3,-7)$$</>, offset: [1, -1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2, y: -7, z: 0 },
{ x: 4, y: -7, z: 0 },
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const x = -2.5 + i * 0.08;
const y = (1 / 3) * x ** 3 - x ** 2 - 3 * x + 2;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
showPoints: false,
},
{
points: [{ x: -1, y: 11 / 3, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Maximum </>, offset: [-1, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -2, y: 11 / 3, z: 0 },
{ x: 0, y: 11 / 3, z: 0 },
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [{ x: 3, y: -7, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Minimum </>, offset: [1, -1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2, y: -7, z: 0 },
{ x: 4, y: -7, z: 0 },
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
},
]

## Übungen

1. Bestimme den stationären Punkt der Funktion $$y = x^2 + 2x - 3$$.

Visible text: 1. Bestimme den stationären Punkt der Funktion .

### Ausführliche Lösung

1.  **Lösung:**

    **Schritt** $$1$$: Bestimme die erste Ableitung

    <BlockMath math="f'(x) = 2x + 2" />

    **Schritt** $$2$$: Bestimme die stationäre Stelle

    Setze <InlineMath math="f'(x) = 0" />.

    
    
    ```math
    2x + 2 = 0 \implies x = -1
    ```

    **Schritt** $$3$$: Bestimme den $$y$$-Wert

    Setze $$x = -1$$ in die ursprüngliche Funktion ein.

    
    
    ```math
    y = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4
    ```

    Der stationäre Punkt ist somit $$(-1, -4)$$. Da beim zweiten Ableitungstest <InlineMath math="f''(x)=2 > 0" /> gilt, liegt dort ein Minimum vor.

Visible text: 1. **Lösung:**

 **Schritt** : Bestimme die erste Ableitung

 <BlockMath math="f'(x) = 2x + 2" />

 **Schritt** : Bestimme die stationäre Stelle

 Setze .

 
 

 **Schritt** : Bestimme den -Wert

 Setze in die ursprüngliche Funktion ein.

 
 

 Der stationäre Punkt ist somit . Da beim zweiten Ableitungstest gilt, liegt dort ein Minimum vor.