# Kettenregel
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Lerne die Kettenregel für zusammengesetzte Funktionen anhand vollständiger Beispiele mit Potenz- und trigonometrischen Funktionen kennen.
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## Zusammengesetzte Funktionen verstehen
Bei einer **zusammengesetzten Funktion** wird das Ergebnis einer Funktion direkt zur Eingabe einer anderen. Ist $$g(x)$$ die **innere Funktion** und $$f(u)$$ die **äußere Funktion**, dann lautet die Zusammensetzung $$y = f(g(x))$$.
Visible text: Bei einer **zusammengesetzten Funktion** wird das Ergebnis einer Funktion direkt zur Eingabe einer anderen. Ist die **innere Funktion** und die **äußere Funktion**, dann lautet die Zusammensetzung .
Die Kettenregel zeigt, wie sich diese Verschachtelung ableiten lässt, ohne den Einfluss der inneren Funktion zu übergehen.
## Die Kettenregel
Bei einer zusammengesetzten Funktion leiten wir jede Schicht der Reihe nach ab und multiplizieren die entstehenden Ableitungen.
> Ist $$y = f(g(x))$$, wobei $$g$$ an der Stelle $$x$$ und $$f$$ an der Stelle $$g(x)$$ differenzierbar sind, dann ist die Ableitung das Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion an der inneren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion.
Visible text: > Ist , wobei an der Stelle und an der Stelle differenzierbar sind, dann ist die Ableitung das Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion an der inneren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion.
Setzen wir $$u = g(x)$$, so wird daraus $$y = f(u)$$. Für die Ableitung gilt:
Visible text: Setzen wir , so wird daraus . Für die Ableitung gilt:
```math
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
```
Das ist die **Kettenregel**: Wir arbeiten von außen nach innen, lassen jeden inneren Ausdruck stehen, bis er an der Reihe ist, und multiplizieren die Ableitungen.
## Anwenden der Kettenregel
Die folgenden Beispiele zeigen den Ablauf bei einer und bei mehreren Verschachtelungen.
### Potenzfunktionen mit innerer Funktion
Bestimme die erste Ableitung von $$y = (x^2 - 4x - 2)^8$$.
Visible text: Bestimme die erste Ableitung von .
**Lösung:**
Zuerst müssen wir diese Funktion in zwei Teile zerlegen: eine äußere Funktion und eine innere Funktion.
- **Innere Funktion** ($$u$$) ist der Klammerausdruck: $$u = x^2 - 4x - 2$$.
- **Äußere Funktion** ($$y$$) ist die Potenzfunktion: $$y = u^8$$.
Visible text: - **Innere Funktion** () ist der Klammerausdruck: .
- **Äußere Funktion** () ist die Potenzfunktion: .
Als Nächstes bestimmen wir die Ableitung jeder Funktion:
- Ableitung der inneren Funktion: $$\frac{du}{dx} = 2x - 4$$.
- Ableitung der äußeren Funktion: $$\frac{dy}{du} = 8u^7$$.
Visible text: - Ableitung der inneren Funktion: .
- Ableitung der äußeren Funktion: .
Jetzt können wir sie mithilfe der Kettenregel kombinieren:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
```
```math
\frac{dy}{dx} = 8u^7 \cdot (2x - 4)
```
Zum Schluss setzen wir $$u$$ wieder ein und vereinfachen den Ausdruck:
Visible text: Zum Schluss setzen wir wieder ein und vereinfachen den Ausdruck:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{dy}{dx} = 8(x^2 - 4x - 2)^7 (2x - 4)
```
```math
\frac{dy}{dx} = (16x - 32)(x^2 - 4x - 2)^7
```
### Trigonometrische Funktionen
Bestimme die erste Ableitung von $$y = \cos^4(3 - 4x)$$.
Visible text: Bestimme die erste Ableitung von .
**Lösung:**
Wir können diese Funktion als $$y = (\cos(3 - 4x))^4$$ umschreiben. In diesem Fall müssen wir die Kettenregel mehr als einmal anwenden, da es drei Funktionsebenen gibt.
Visible text: Wir können diese Funktion als umschreiben. In diesem Fall müssen wir die Kettenregel mehr als einmal anwenden, da es drei Funktionsebenen gibt.
- **Innerste Funktion**: $$v = 3 - 4x$$
- **Mittlere Funktion**: $$u = \cos(v)$$
- **Äußerste Funktion**: $$y = u^4$$
Visible text: - **Innerste Funktion**:
- **Mittlere Funktion**:
- **Äußerste Funktion**:
Dann differenzieren wir jede Schicht:
- Ableitung der äußersten Funktion: $$\frac{dy}{du} = 4u^3$$
- Ableitung der mittleren Funktion: $$\frac{du}{dv} = -\sin(v)$$
- Ableitung der innersten Funktion: $$\frac{dv}{dx} = -4$$
Visible text: - Ableitung der äußersten Funktion:
- Ableitung der mittleren Funktion:
- Ableitung der innersten Funktion:
Multipliziere die drei Ableitungen gemäß der Kettenregel:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}
```
```math
\frac{dy}{dx} = (4u^3) \cdot (-\sin(v)) \cdot (-4)
```
Setze nun schrittweise wieder die Ausdrücke für $$u$$ und $$v$$ ein:
Visible text: Setze nun schrittweise wieder die Ausdrücke für und ein:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{dy}{dx} = (4\cos^3(v)) \cdot (-\sin(v)) \cdot (-4)
```
```math
\frac{dy}{dx} = 16\cos^3(v)\sin(v)
```
```math
\frac{dy}{dx} = 16\cos^3(3 - 4x)\sin(3 - 4x)
```
## Übungen
1. Bestimme die erste Ableitung von $$y = (3x^2 - 1)^3$$.
2. Bestimme die erste Ableitung von $$y = \sin^3(2x)$$.
Visible text: 1. Bestimme die erste Ableitung von .
2. Bestimme die erste Ableitung von .
### Ausführliche Lösungen
1. **Lösung für $$y = (3x^2 - 1)^3$$**
**Schritt** $$1$$: Identifiziere die Funktionen
- Innere Funktion: $$u = 3x^2 - 1$$
- Äußere Funktion: $$y = u^3$$
**Schritt** $$2$$: Bestimme beide Ableitungen
- $$\frac{du}{dx} = 6x$$
- $$\frac{dy}{du} = 3u^2$$
**Schritt** $$3$$: Mit der Kettenregel kombinieren
```math
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
```
```math
\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot 6x = 18x \cdot u^2
```
**Schritt** $$4$$: Setze den inneren Ausdruck wieder ein
```math
\frac{dy}{dx} = 18x(3x^2 - 1)^2
```
2. **Lösung für $$y = \sin^3(2x)$$**
Die Funktion lässt sich als $$y = (\sin(2x))^3$$ schreiben. Deshalb wird die Kettenregel über drei Schichten angewendet.
**Schritt** $$1$$: Identifiziere die Funktionen
- Innerste Funktion: $$v = 2x$$
- Mittlere Funktion: $$u = \sin(v)$$
- Äußerste Funktion: $$y = u^3$$
**Schritt** $$2$$: Bestimme die drei Ableitungen
- $$\frac{dv}{dx} = 2$$
- $$\frac{du}{dv} = \cos(v)$$
- $$\frac{dy}{du} = 3u^2$$
**Schritt** $$3$$: Mit der Kettenregel kombinieren
```math
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}
```
```math
\frac{dy}{dx} = (3u^2) \cdot (\cos(v)) \cdot (2)
```
**Schritt** $$4$$: Rücksubstituieren und vereinfachen
```math
\frac{dy}{dx} = 6u^2 \cos(v)
```
```math
\frac{dy}{dx} = 6\sin^2(v) \cos(v)
```
```math
\frac{dy}{dx} = 6\sin^2(2x) \cos(2x)
```
Visible text: 1. **Lösung für **
**Schritt** : Identifiziere die Funktionen
- Innere Funktion:
- Äußere Funktion:
**Schritt** : Bestimme beide Ableitungen
-
-
**Schritt** : Mit der Kettenregel kombinieren
**Schritt** : Setze den inneren Ausdruck wieder ein
2. **Lösung für **
Die Funktion lässt sich als schreiben. Deshalb wird die Kettenregel über drei Schichten angewendet.
**Schritt** : Identifiziere die Funktionen
- Innerste Funktion:
- Mittlere Funktion:
- Äußerste Funktion:
**Schritt** : Bestimme die drei Ableitungen
-
-
-
**Schritt** : Mit der Kettenregel kombinieren
**Schritt** : Rücksubstituieren und vereinfachen