# Steigende und fallende Funktionen

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/ableitungen/monotonie-und-stationaere-punkte
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/derivative-function/increasing-decreasing-and-stationary-function/de.mdx

Mit dem Vorzeichen der ersten Ableitung Monotonieintervalle bestimmen und stationäre Punkte richtig einordnen.

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## Verhalten einer Funktion und ihrer Ableitung

Liest man einen Graphen von links nach rechts, kann seine Kurve steigen, fallen oder kurz waagerecht verlaufen. Dieses Verhalten heißt **Monotonie** und lässt sich mithilfe der ersten Ableitung untersuchen.

Das Vorzeichen der Steigung liefert ein anschauliches Bild:

-   Eine positive Steigung bedeutet, dass die Funktion **steigt**.

-   Eine negative Steigung bedeutet, dass die Funktion **fällt**.

-   Eine Steigung von null kennzeichnet einen **stationären Punkt**, der jedoch nicht unbedingt ein Maximum oder Minimum sein muss.

Visible text: - Eine positive Steigung bedeutet, dass die Funktion **steigt**.

- Eine negative Steigung bedeutet, dass die Funktion **fällt**.

- Eine Steigung von null kennzeichnet einen **stationären Punkt**, der jedoch nicht unbedingt ein Maximum oder Minimum sein muss.

Geometrisch ist <InlineMath math="f'(x)" /> die Tangentensteigung. Ihr Vorzeichen beschreibt daher die lokale Richtung der Kurve.

Visible text: Geometrisch ist die Tangentensteigung. Ihr Vorzeichen beschreibt daher die lokale Richtung der Kurve.

## Eigenschaften der Monotonie

Die Beziehung zwischen der ersten Ableitung und dem Verhalten einer Funktion lässt sich durch die folgenden Eigenschaften zusammenfassen:

Angenommen, die Funktion $$y = f(x)$$ ist über ein Intervall stetig und differenzierbar.

Visible text: Angenommen, die Funktion ist über ein Intervall stetig und differenzierbar.

-   Wenn <InlineMath math="f'(x) > 0" /> für alle $$x$$ in diesem Intervall gilt, dann ist $$f(x)$$ eine **steigende Funktion**.

-   Wenn <InlineMath math="f'(x) < 0" /> für alle $$x$$ in diesem Intervall gilt, dann ist $$f(x)$$ eine **fallende Funktion**.

-   Wenn <InlineMath math="f'(x) = 0" /> an einem bestimmten Punkt ist, dann hat $$f(x)$$ dort einen **stationären Punkt**.

Visible text: - Wenn für alle in diesem Intervall gilt, dann ist eine **steigende Funktion**.

- Wenn für alle in diesem Intervall gilt, dann ist eine **fallende Funktion**.

- Wenn an einem bestimmten Punkt ist, dann hat dort einen **stationären Punkt**.

Stationäre Punkte teilen den Definitionsbereich in prüfbare Intervalle. Sie sind mögliche Stellen für einen Monotoniewechsel. Tatsächlich wechselt die Funktion aber nur dann von steigend zu fallend oder umgekehrt, wenn sich das Vorzeichen der Ableitung ändert.

## Analysieren von Funktionsintervallen

Das folgende Beispiel zeigt die vollständige Vorzeichenanalyse.

Bestimme die Intervalle, in denen die Funktion $$f(x) = x^3 - 3x$$ steigt und fällt.

Visible text: Bestimme die Intervalle, in denen die Funktion steigt und fällt.

**Lösung:**

**Schritt** $$1$$: Erste Ableitung bestimmen

Visible text: **Schritt** : Erste Ableitung bestimmen

Zunächst differenzieren wir die Funktion $$f(x)$$.

Visible text: Zunächst differenzieren wir die Funktion .

```math
f'(x) = 3x^2 - 3
```

**Schritt** $$2$$: Stationäre Punkte bestimmen

Visible text: **Schritt** : Stationäre Punkte bestimmen

Stationäre Punkte treten auf, wenn <InlineMath math="f'(x) = 0" />.

Visible text: Stationäre Punkte treten auf, wenn .

Component: MathContainer
Children:

```math
3x^2 - 3 = 0
```

```math
x^2 - 1 = 0
```

```math
(x-1)(x+1) = 0
```

Daraus erhalten wir die stationären Punkte bei $$x = 1$$ und $$x = -1$$.

Visible text: Daraus erhalten wir die stationären Punkte bei und .

**Schritt** $$3$$: Zahlengerade erstellen und Intervalle testen

Visible text: **Schritt** : Zahlengerade erstellen und Intervalle testen

Wir platzieren die stationären Punkte auf einer Zahlengeraden. Diese Punkte teilen die Linie in drei Intervalle. Wir nehmen einen Testpunkt aus jedem Intervall, um das Vorzeichen von <InlineMath math="f'(x)" /> (positiv oder negativ) zu finden.

Visible text: Wir platzieren die stationären Punkte auf einer Zahlengeraden. Diese Punkte teilen die Linie in drei Intervalle. Wir nehmen einen Testpunkt aus jedem Intervall, um das Vorzeichen von (positiv oder negativ) zu finden.

-   **Intervall $$x < -1$$:**

    Für $$x=-2$$ gilt <InlineMath math="f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9" />. Die Ableitung ist positiv, also steigt die Funktion.

-   **Intervall $$-1 < x < 1$$:**

    Für $$x=0$$ gilt <InlineMath math="f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3" />. Die Ableitung ist negativ, also fällt die Funktion.

-   **Intervall $$x > 1$$:**

    Für $$x=2$$ gilt <InlineMath math="f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9" />. Die Ableitung ist positiv, also steigt die Funktion.

Visible text: - **Intervall :**

 Für gilt . Die Ableitung ist positiv, also steigt die Funktion.

- **Intervall :**

 Für gilt . Die Ableitung ist negativ, also fällt die Funktion.

- **Intervall :**

 Für gilt . Die Ableitung ist positiv, also steigt die Funktion.

**Schritt** $$4$$: Intervalle zusammenfassen

Visible text: **Schritt** : Intervalle zusammenfassen

Die Tests ergeben:

-   Die Funktion nimmt in den Intervallen $$x < -1$$ oder $$x > 1$$ zu.

-   Die Funktion nimmt im Intervall $$-1 < x < 1$$ ab.

Visible text: - Die Funktion nimmt in den Intervallen oder zu.

- Die Funktion nimmt im Intervall ab.

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisierung der Funktionsmonotonie
- description: Dieses Diagramm zeigt das Verhalten von $$f(x) = x^3 - 3x$$.
Bei positiver Ableitung steigt die Kurve, bei negativer Ableitung fällt sie.
An den stationären Punkten mit <InlineMath math="f'(x)=0" /> verläuft die Tangente waagerecht.
  Visible text: Dieses Diagramm zeigt das Verhalten von .
Bei positiver Ableitung steigt die Kurve, bei negativer Ableitung fällt sie.
An den stationären Punkten mit verläuft die Tangente waagerecht.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.05;
const y = x ** 3 - 3 * x;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#65a30d",
showPoints: false,
labels: [
{
text: "Zunehmend",
at: 5,
offset: [-1, 1, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = -1 + i * 0.05;
const y = x ** 3 - 3 * x;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
showPoints: false,
labels: [
{
text: "Abnehmend",
at: 20,
offset: [0, -1, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 1 + i * 0.05;
const y = x ** 3 - 3 * x;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#65a30d",
showPoints: false,
labels: [
{
text: "Zunehmend",
at: 15,
offset: [1, 1, 0],
},
],
},
{
points: [{ x: -1, y: 2, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{
text: <>Stationär $$(-1,2)$$</>,
offset: [-2.5, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: [{ x: 1, y: -2, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{
text: <>Stationär $$(1,-2)$$</>,
offset: [2.5, -0.5, 0],
},
],
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.05;
const y = x ** 3 - 3 * x;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#65a30d",
showPoints: false,
labels: [
{
text: "Zunehmend",
at: 5,
offset: [-1, 1, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = -1 + i * 0.05;
const y = x ** 3 - 3 * x;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
showPoints: false,
labels: [
{
text: "Abnehmend",
at: 20,
offset: [0, -1, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 1 + i * 0.05;
const y = x ** 3 - 3 * x;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#65a30d",
showPoints: false,
labels: [
{
text: "Zunehmend",
at: 15,
offset: [1, 1, 0],
},
],
},
{
points: [{ x: -1, y: 2, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{
text: <>Stationär </>,
offset: [-2.5, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: [{ x: 1, y: -2, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{
text: <>Stationär </>,
offset: [2.5, -0.5, 0],
},
],
},
]

## Übungen

1.  Bestimme die Intervalle, in denen $$f(x) = x^3 - 3x^2 - 15$$ steigt und fällt.

2.  Wenn $$f(x) = ax^3 + x^2 + 5$$ im gesamten Intervall $$0 < x < 2$$ steigt, bestimme alle möglichen Werte von $$a$$.

3.  Bestimme die Intervalle, in denen $$f(x) = \sin 2x \cos 2x$$ steigt und fällt.

Visible text: 1. Bestimme die Intervalle, in denen steigt und fällt.

2. Wenn im gesamten Intervall steigt, bestimme alle möglichen Werte von .

3. Bestimme die Intervalle, in denen steigt und fällt.

### Lösungen

1.  **Lösung:**

    Die erste Ableitung von $$f(x) = x^3 - 3x^2 - 15$$ ist <InlineMath math="f'(x) = 3x^2 - 6x" />.

    Stationäre Punkte werden gefunden, wenn <InlineMath math="f'(x) = 0" />.

    
    
    ```math
    3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0
    ```

    Die stationären Punkte liegen bei $$x=0$$ und $$x=2$$.

    Durch Testen der Intervalle auf einer Zahlengeraden:

    -   Für $$x<0$$ ist <InlineMath math="f'(x)" /> positiv (steigend).

    -   Für $$0<x<2$$ ist <InlineMath math="f'(x)" /> negativ, also fällt die Funktion.

    -   Für $$x>2$$ ist <InlineMath math="f'(x)" /> positiv (steigend).

    Die Funktion nimmt also auf $$x < 0$$ oder $$x > 2$$ zu und im Intervall $$0 < x < 2$$ ab.

2.  **Lösung:**

    Damit diese Funktion im gesamten Intervall steigt, genügt <InlineMath math="f'(x) \ge 0" /> an jeder Stelle des Intervalls.

    <BlockMath math="f'(x) = 3ax^2 + 2x = x(3ax + 2)" />

    Im Intervall $$0 < x < 2$$ ist der Faktor $$x$$ immer positiv. Daher darf für <InlineMath math="f'(x) \ge 0" /> auch der zweite Faktor $$(3ax + 2)$$ nicht negativ sein.

    
    
    ```math
    3ax + 2 \ge 0
    ```

    Diese Ungleichung muss für jedes $$x$$ in $$0 < x < 2$$ gelten. Da $$h(x) = 3ax + 2$$ linear ist, wird ihr kleinster Grenzwert an einem Rand des Intervalls erreicht.

    -   Für $$a \ge 0$$ gilt $$3ax \ge 0$$. Daher ist $$3ax+2$$ im gesamten Intervall positiv.

    -   Für $$a < 0$$ fällt $$h(x)$$. Da $$x=2$$ nicht zum Intervall gehört, besitzt $$h$$ dort kein Minimum. Sein Infimum ist jedoch der Grenzwert für $$x \to 2^-$$. Dieser Grenzwert muss nicht negativ sein.

    Wir prüfen die Randbedingung bei $$x=2$$:

    <MathContainer>
        
        
        ```math
        3a(2) + 2 \ge 0
        ```

        
        
        ```math
        6a \ge -2
        ```

        
        
        ```math
        a \ge -1/3
        ```

    </MathContainer>

    Zusammen ergeben beide Fälle: Die Funktion steigt im gesamten Intervall genau für $$a \ge -1/3$$.

3.  **Lösung:**

    Verwende die Doppelwinkelidentität $$\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$$.

    Also $$f(x) = \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin(4x)$$.

    Seine erste Ableitung ist:

    <BlockMath math="f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(4x) \cdot 4 = 2\cos(4x)" />

    -   **Die Funktion steigt**, wenn <InlineMath math="f'(x) > 0" /> gilt, also bei $$2\cos(4x) > 0$$ beziehungsweise $$\cos(4x) > 0$$. Dies ist in den Quadranten $$\mathrm{I}$$ und $$\mathrm{IV}$$ der Fall.

        <MathContainer>
            
        
        ```math
        -\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 4x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi
        ```

            
        
        ```math
        -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}
        ```

        </MathContainer>

        Dieses Intervall gilt für jede ganze Zahl $$k$$.

    -   **Die Funktion nimmt ab**, wenn <InlineMath math="f'(x) < 0" />, also $$\cos(4x) < 0$$. Dies geschieht in den Quadranten $$\mathrm{II}$$ und $$\mathrm{III}$$.

        <MathContainer>
            
        
        ```math
        \frac{\pi}{2} + 2k\pi < 4x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi
        ```

            
        
        ```math
        \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}
        ```

        </MathContainer>

        Dieses Intervall gilt für jede ganze Zahl $$k$$.

Visible text: 1. **Lösung:**

 Die erste Ableitung von ist .

 Stationäre Punkte werden gefunden, wenn .

 
 

 Die stationären Punkte liegen bei und .

 Durch Testen der Intervalle auf einer Zahlengeraden:

 - Für ist positiv (steigend).

 - Für ist negativ, also fällt die Funktion.

 - Für ist positiv (steigend).

 Die Funktion nimmt also auf oder zu und im Intervall ab.

2. **Lösung:**

 Damit diese Funktion im gesamten Intervall steigt, genügt an jeder Stelle des Intervalls.

 <BlockMath math="f'(x) = 3ax^2 + 2x = x(3ax + 2)" />

 Im Intervall ist der Faktor immer positiv. Daher darf für auch der zweite Faktor nicht negativ sein.

 
 

 Diese Ungleichung muss für jedes in gelten. Da linear ist, wird ihr kleinster Grenzwert an einem Rand des Intervalls erreicht.

 - Für gilt . Daher ist im gesamten Intervall positiv.

 - Für fällt . Da nicht zum Intervall gehört, besitzt dort kein Minimum. Sein Infimum ist jedoch der Grenzwert für . Dieser Grenzwert muss nicht negativ sein.

 Wir prüfen die Randbedingung bei :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Zusammen ergeben beide Fälle: Die Funktion steigt im gesamten Intervall genau für .

3. **Lösung:**

 Verwende die Doppelwinkelidentität .

 Also .

 Seine erste Ableitung ist:

 <BlockMath math="f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(4x) \cdot 4 = 2\cos(4x)" />

 - **Die Funktion steigt**, wenn gilt, also bei beziehungsweise . Dies ist in den Quadranten und der Fall.

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Dieses Intervall gilt für jede ganze Zahl .

 - **Die Funktion nimmt ab**, wenn , also . Dies geschieht in den Quadranten und .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Dieses Intervall gilt für jede ganze Zahl .