# Gleichung einer Tangente an eine Kurve
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Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/derivative-function/equation-of-a-tangent-line-to-a-curve/de.mdx
Tangentengleichungen mit Ableitungen, Steigungsberechnungen, einer Visualisierung und vollständig gelösten Aufgaben bestimmen.
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## Zusammenhang zwischen Ableitung und Tangente
Die Ableitung beschreibt, wie sich eine Funktion an einer bestimmten Stelle verändert. Geometrisch erscheint diese Änderung als **Steigung** der Tangente am Graphen.
Vergrößern wir eine glatte Kurve in der Umgebung eines Punktes, sieht ein hinreichend kleiner Ausschnitt nahezu gerade aus. Die Gerade, die diese lokale Richtung beschreibt, heißt **Tangente**. An der Stelle $$x=a$$ des Graphen $$y=f(x)$$ ist ihre Steigung gleich dem dortigen Ableitungswert: .
Visible text: Vergrößern wir eine glatte Kurve in der Umgebung eines Punktes, sieht ein hinreichend kleiner Ausschnitt nahezu gerade aus. Die Gerade, die diese lokale Richtung beschreibt, heißt **Tangente**. An der Stelle des Graphen ist ihre Steigung gleich dem dortigen Ableitungswert: .
## Bestimmen der Gleichung einer Tangente
Für die Gleichung einer Geraden benötigen wir einen Punkt auf der Geraden und ihre Steigung. Bei einer Tangente sind das:
1. **Berührpunkt:** Ein Punkt $$P(a, b)$$, an dem die Gerade die Kurve berührt.
2. **Steigung (m):** Die Steigung der Linie an diesem Punkt, die wir aus der Ableitung erhalten.
Visible text: 1. **Berührpunkt:** Ein Punkt , an dem die Gerade die Kurve berührt.
2. **Steigung (m):** Die Steigung der Linie an diesem Punkt, die wir aus der Ableitung erhalten.
Beide Werte werden in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt:
```math
y - b = m(x - a)
```
> Wir leiten die Funktion ab, berechnen den Ableitungswert am Berührpunkt und setzen diesen als Steigung zusammen mit dem Punkt in die Geradengleichung ein.
## Ausführliches Beispiel
Bestimme die Gleichung der Tangente an die Parabel $$y = 2 - 4x^2$$ im Punkt $$(1, -2)$$.
Visible text: Bestimme die Gleichung der Tangente an die Parabel im Punkt .
**Lösung:**
**Schritt** $$1$$: Steigung der Tangente bestimmen
Visible text: **Schritt** : Steigung der Tangente bestimmen
Wir leiten $$f(x) = 2 - 4x^2$$ ab und erhalten damit die Steigung an jeder Stelle.
Visible text: Wir leiten ab und erhalten damit die Steigung an jeder Stelle.
```math
f'(x) = -8x
```
Der Berührpunkt hat die Koordinate $$x=1$$. Deshalb werten wir die Ableitung dort aus.
Visible text: Der Berührpunkt hat die Koordinate . Deshalb werten wir die Ableitung dort aus.
```math
m = f'(1) = -8(1) = -8
```
Die Steigung der Tangente beträgt also $$-8$$.
Visible text: Die Steigung der Tangente beträgt also .
**Schritt** $$2$$: Geradengleichung aufstellen
Visible text: **Schritt** : Geradengleichung aufstellen
Punkt und Steigung sind nun bekannt:
- Berührpunkt $$(a, b) = (1, -2)$$
- Steigung $$m = -8$$
Visible text: - Berührpunkt
- Steigung
Wir setzen beide Werte in die Punkt-Steigungs-Form ein:
Component: MathContainer
Children:
```math
y - b = m(x - a)
```
```math
y - (-2) = -8(x - 1)
```
```math
y + 2 = -8x + 8
```
```math
y = -8x + 6
```
Die Gleichung der Tangente lautet also $$y = -8x + 6$$.
Visible text: Die Gleichung der Tangente lautet also .
Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisierung der Tangente an der Parabel
- description: Der Graph zeigt die Parabel $$y = 2 - 4x^2$$ und ihre
Tangente $$y = -8x + 6$$. Beide treffen sich genau im
Berührpunkt $$(1, -2)$$.
Visible text: Der Graph zeigt die Parabel und ihre
Tangente . Beide treffen sich genau im
Berührpunkt .
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.1;
return { x, y: 2 - 4 * x * x, z: 0 };
}),
color: "#65a30d",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$y=2 - 4x^2$$,
at: 5,
offset: [-2, 3, 0],
},
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 6, z: 0 },
{ x: 2, y: -10, z: 0 },
],
color: "#ca8a04",
smooth: false,
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$y=-8x + 6$$,
at: 0,
offset: [2.5, -2.5, 0],
},
],
},
{
points: [{ x: 1, y: -2, z: 0 }],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{
text: $$(1, -2)$$,
offset: [1.5, -0.5, 0],
},
],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.1;
return { x, y: 2 - 4 * x * x, z: 0 };
}),
color: "#65a30d",
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labels: [
{
text: ,
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},
],
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{
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{ x: 2, y: -10, z: 0 },
],
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{
text: ,
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],
},
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points: [{ x: 1, y: -2, z: 0 }],
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labels: [
{
text: ,
offset: [1.5, -0.5, 0],
},
],
},
]
## Übungen
1. Bestimme die Gleichung der Tangente an die Kurve $$y = x^2 - 6\frac{1}{5}x + 14\frac{1}{2}$$, die parallel zur Geraden $$x + 2y + 3 = 0$$ verläuft.
2. Bestimme die Gleichungen der Tangenten an die Parabel $$y = 2x^2 - 3x + 5$$ an den Punkten mit der $$y$$-Koordinate $$4$$.
3. Die Kurve $$y = 3x - \frac{3}{x^2}$$ schneidet die $$x$$-Achse im Punkt $$P$$. Bestimme die Gleichung der Tangente in diesem Punkt.
4. Die Kurve $$y = (x^2 + 2)^2$$ schneidet die $$y$$-Achse im Punkt $$A$$. Zeigen Sie, dass die Tangente an die Kurve im Punkt $$A$$ parallel zur $$x$$-Achse verläuft und $$4 \text{Einheiten}$$ vom Ursprung entfernt ist!
5. Bestimme den Punkt auf der Kurve $$y = 2x^2 - 7x + 1$$, in dem die Tangente mit der positiven $$x$$-Achse einen Winkel von $$45^\circ$$ bildet. Bestimme außerdem die Gleichung dieser Tangente.
Visible text: 1. Bestimme die Gleichung der Tangente an die Kurve , die parallel zur Geraden verläuft.
2. Bestimme die Gleichungen der Tangenten an die Parabel an den Punkten mit der -Koordinate .
3. Die Kurve schneidet die -Achse im Punkt . Bestimme die Gleichung der Tangente in diesem Punkt.
4. Die Kurve schneidet die -Achse im Punkt . Zeigen Sie, dass die Tangente an die Kurve im Punkt parallel zur -Achse verläuft und vom Ursprung entfernt ist!
5. Bestimme den Punkt auf der Kurve , in dem die Tangente mit der positiven -Achse einen Winkel von bildet. Bestimme außerdem die Gleichung dieser Tangente.
### Lösungen
1. **Lösung:**
**Schritt** $$1$$: Steigung bestimmen.
Die Tangente muss parallel zur Geraden $$x + 2y + 3 = 0$$ sein. Wir bringen deren Gleichung zunächst in die Form $$y = mx + c$$ und lesen die Steigung ab.
```math
2y = -x - 3
```
```math
y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}
```
Die Gerade und jede zu ihr parallele Tangente haben somit die Steigung $$m = -\frac{1}{2}$$.
**Schritt** $$2$$: Berührpunkt bestimmen.
Die Steigung der Kurve an einem Punkt ist gleich dem Wert der ersten Ableitung an diesem Punkt. Ermitteln wir zunächst die Ableitungsfunktion von $$f(x) = x^2 - \frac{31}{5}x + \frac{29}{2}$$.
Die Ableitung am Berührpunkt muss gleich der bekannten Steigung $$m=-\frac{1}{2}$$ sein. Daraus bestimmen wir seine $$x$$-Koordinate.
```math
2x - \frac{31}{5} = -\frac{1}{2}
```
```math
2x = \frac{31}{5} - \frac{1}{2} = \frac{62 - 5}{10} = \frac{57}{10}
```
```math
x = \frac{57}{20}
```
Wir setzen die $$x$$-Koordinate $$x=\frac{57}{20}$$ in die ursprüngliche Kurvengleichung ein und erhalten die zugehörige $$y$$-Koordinate.
```math
y = (\frac{57}{20})^2 - \frac{31}{5}(\frac{57}{20}) + \frac{29}{2} = \frac{3249}{400} - \frac{1767}{100} + \frac{29}{2} = \frac{3249 - 7068 + 5800}{400} = \frac{1981}{400}
```
Der Tangentenpunkt ist also $$\left(\frac{57}{20}, \frac{1981}{400}\right)$$.
**Schritt** $$3$$: Geradengleichung aufstellen.
Mit dem Punkt $$\left(\frac{57}{20}, \frac{1981}{400}\right)$$ und der Steigung $$m = -\frac{1}{2}$$ lautet die Gleichung:
```math
y - \frac{1981}{400} = -\frac{1}{2}\left(x - \frac{57}{20}\right)
```
```math
y = -\frac{1}{2}x + \frac{57}{40} + \frac{1981}{400}
```
```math
y = -\frac{1}{2}x + \frac{570 + 1981}{400}
```
```math
y = -\frac{1}{2}x + \frac{2551}{400}
```
2. **Lösung:**
**Schritt** $$1$$: Berührpunkte bestimmen.
Da die Ordinate $$4$$ ist, setzen wir $$y=4$$ in die Parabelgleichung.
```math
4 = 2x^2 - 3x + 5
```
```math
2x^2 - 3x + 1 = 0
```
```math
(2x-1)(x-1) = 0
```
Die Faktorisierung liefert $$x=1$$ und $$x=\frac{1}{2}$$. Daher gibt es zwei Berührpunkte, $$(1, 4)$$ und $$\left(\frac{1}{2}, 4\right)$$, und entsprechend zwei Tangenten.
**Schritt** $$2$$: Steigung und Gleichung für jeden Punkt bestimmen.
Wir betrachten beide Berührpunkte getrennt. Die Ableitung lautet .
**Fall Eins: Punkt $$(1, 4)$$**
Die Steigung beträgt dort .
Somit lautet die Gleichung:
```math
y - 4 = 1(x - 1) \implies y = x + 3
```
**Fall zwei: Punkt $$\left(\frac{1}{2}, 4\right)$$**
Die Steigung beträgt dort .
Somit lautet die Gleichung:
```math
y - 4 = -1(x - \frac{1}{2}) \implies y = -x + \frac{9}{2}
```
3. **Lösung:**
**Schritt $$1$$: Punkt $$P$$ bestimmen.**
Die Kurve schneidet die $$x$$-Achse, wenn $$y=0$$.
```math
0 = 3x - \frac{3}{x^2}
```
```math
3x = \frac{3}{x^2} \implies 3x^3 = 3 \implies x^3 = 1 \implies x=1
```
Der Schnittpunkt $$P$$ ist also $$(1, 0)$$.
**Schritt** $$2$$: Steigung in $$P$$ bestimmen.
Wir schreiben die Funktion zunächst als $$f(x) = 3x - 3x^{-2}$$, damit sie sich direkt ableiten lässt.
Die Steigung bei $$x=1$$ beträgt .
**Schritt** $$3$$: Geradengleichung aufstellen.
Mit dem Punkt $$(1, 0)$$ und der Steigung $$9$$ lautet die Gleichung:
```math
y - 0 = 9(x - 1) \implies y = 9x - 9
```
4. **Lösung:**
**Schritt $$1$$: Punkt $$A$$ bestimmen.**
Die Kurve schneidet die $$y$$-Achse, wenn $$x=0$$.
```math
y = (0^2 + 2)^2 = 4
```
Der Schnittpunkt $$A$$ ist also $$(0, 4)$$.
**Schritt $$2$$: Parallelität zur $$x$$-Achse zeigen.**
Eine Gerade parallel zur $$x$$-Achse hat die Steigung $$0$$. Deshalb prüfen wir den Ableitungswert im Punkt $$A$$ an der Stelle $$x=0$$.
Die Ableitung von $$f(x)=(x^2+2)^2$$ unter Verwendung der Kettenregel ist .
Die Steigung bei $$x=0$$ beträgt .
Die Tangente hat also die Steigung null und verläuft parallel zur $$x$$-Achse.
**Schritt $$3$$: Abstand von $$4 \text{Einheiten}$$ zum Ursprung zeigen.**
Die Gleichung der Tangente am Punkt $$(0,4)$$ mit der Steigung $$m=0$$ lautet:
```math
y - 4 = 0(x - 0) \implies y = 4
```
Die Gerade $$y=4$$ ist waagerecht. Jeder ihrer Punkte hat zur $$x$$-Achse, also zur Geraden $$y=0$$, den Abstand $$4 \text{Einheiten}$$. Da der Ursprung $$(0,0)$$ auf der $$x$$-Achse liegt, beträgt auch sein Abstand zur Tangente $$4 \text{Einheiten}$$. Damit sind beide Aussagen gezeigt.
5. **Lösung:**
**Schritt** $$1$$: Steigung aus dem Winkel bestimmen.
Die Beziehung zwischen der Steigung ($$m$$) und dem Winkel ($$\theta$$), den eine Linie mit der positiven $$x$$-Achse bildet, ist durch $$m = \tan(\theta)$$ gegeben.
```math
m = \tan(45^\circ) = 1
```
Die Steigung der gesuchten Tangente beträgt also $$1$$.
**Schritt** $$2$$: Koordinaten des Berührpunkts bestimmen.
Die Steigung der Tangente ist zugleich der Ableitungswert der Kurve $$f(x) = 2x^2 - 7x + 1$$.
Wir setzen die Ableitung gleich der zuvor bestimmten Steigung:
```math
4x - 7 = 1
```
```math
4x = 8 \implies x = 2
```
Durch Einsetzen von $$x=2$$ in die Kurvengleichung erhalten wir die $$y$$-Koordinate:
```math
y = 2(2)^2 - 7(2) + 1 = 8 - 14 + 1 = -5
```
Die Koordinaten des Tangentenpunkts lauten also $$(2, -5)$$.
**Schritt** $$3$$: Tangentengleichung bestimmen.
Mit dem Punkt $$(2, -5)$$ und der Steigung $$m=1$$ gilt:
```math
y - (-5) = 1(x - 2)
```
```math
y + 5 = x - 2
```
```math
y = x - 7
```
Visible text: 1. **Lösung:**
**Schritt** : Steigung bestimmen.
Die Tangente muss parallel zur Geraden sein. Wir bringen deren Gleichung zunächst in die Form und lesen die Steigung ab.
Die Gerade und jede zu ihr parallele Tangente haben somit die Steigung .
**Schritt** : Berührpunkt bestimmen.
Die Steigung der Kurve an einem Punkt ist gleich dem Wert der ersten Ableitung an diesem Punkt. Ermitteln wir zunächst die Ableitungsfunktion von .
Die Ableitung am Berührpunkt muss gleich der bekannten Steigung sein. Daraus bestimmen wir seine -Koordinate.
Wir setzen die -Koordinate in die ursprüngliche Kurvengleichung ein und erhalten die zugehörige -Koordinate.
Der Tangentenpunkt ist also .
**Schritt** : Geradengleichung aufstellen.
Mit dem Punkt und der Steigung lautet die Gleichung:
2. **Lösung:**
**Schritt** : Berührpunkte bestimmen.
Da die Ordinate ist, setzen wir in die Parabelgleichung.
Die Faktorisierung liefert und . Daher gibt es zwei Berührpunkte, und , und entsprechend zwei Tangenten.
**Schritt** : Steigung und Gleichung für jeden Punkt bestimmen.
Wir betrachten beide Berührpunkte getrennt. Die Ableitung lautet .
**Fall Eins: Punkt **
Die Steigung beträgt dort .
Somit lautet die Gleichung:
**Fall zwei: Punkt **
Die Steigung beträgt dort .
Somit lautet die Gleichung:
3. **Lösung:**
**Schritt : Punkt bestimmen.**
Die Kurve schneidet die -Achse, wenn .
Der Schnittpunkt ist also .
**Schritt** : Steigung in bestimmen.
Wir schreiben die Funktion zunächst als , damit sie sich direkt ableiten lässt.
Die Steigung bei beträgt .
**Schritt** : Geradengleichung aufstellen.
Mit dem Punkt und der Steigung lautet die Gleichung:
4. **Lösung:**
**Schritt : Punkt bestimmen.**
Die Kurve schneidet die -Achse, wenn .
Der Schnittpunkt ist also .
**Schritt : Parallelität zur -Achse zeigen.**
Eine Gerade parallel zur -Achse hat die Steigung . Deshalb prüfen wir den Ableitungswert im Punkt an der Stelle .
Die Ableitung von unter Verwendung der Kettenregel ist .
Die Steigung bei beträgt .
Die Tangente hat also die Steigung null und verläuft parallel zur -Achse.
**Schritt : Abstand von zum Ursprung zeigen.**
Die Gleichung der Tangente am Punkt mit der Steigung lautet:
Die Gerade ist waagerecht. Jeder ihrer Punkte hat zur -Achse, also zur Geraden , den Abstand . Da der Ursprung auf der -Achse liegt, beträgt auch sein Abstand zur Tangente . Damit sind beide Aussagen gezeigt.
5. **Lösung:**
**Schritt** : Steigung aus dem Winkel bestimmen.
Die Beziehung zwischen der Steigung () und dem Winkel (), den eine Linie mit der positiven -Achse bildet, ist durch gegeben.
Die Steigung der gesuchten Tangente beträgt also .
**Schritt** : Koordinaten des Berührpunkts bestimmen.
Die Steigung der Tangente ist zugleich der Ableitungswert der Kurve .
Wir setzen die Ableitung gleich der zuvor bestimmten Steigung:
Durch Einsetzen von in die Kurvengleichung erhalten wir die -Koordinate:
Die Koordinaten des Tangentenpunkts lauten also .
**Schritt** : Tangentengleichung bestimmen.
Mit dem Punkt und der Steigung gilt: