# Ellipse > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/analytische-geometrie/ellipse Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/ellipse/de.mdx Verstehe Ellipsen über Brennpunkte, Achsen und Gleichungen und wende diese Beziehungen in vollständig gelösten Beispielen an. --- ## Was ist eine Ellipse? Planetenbahnen um die Sonne und der schräge Schatten eines Kreises erinnern an dieselbe Form: eine **Ellipse**. Sie ist jedoch mehr als ein „abgeflachter“ Kreis. Ihre Form folgt einer genauen geometrischen Bedingung. Eine Ellipse besteht aus allen Punkten, für die **die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten konstant ist**. Diese beiden festen Punkte heißen **Brennpunkte**. Das lässt sich mit zwei Nägeln, einer geschlossenen Schnur und einem Stift nachvollziehen: Die Schnur wird an den Nägeln befestigt und mit dem Stift gespannt. Fährt der Stift einmal herum, zeichnet er eine Ellipse. Component: LineEquation Props: - title: Grundlegendes Ellipsenkonzept - description: Ellipse mit zwei Brennpunkten und mehreren Punkten, die eine konstante Summe der Entfernungen zeigen. - data: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; const a = 4; const b = 2.5; return { x: a * Math.cos(angle), y: b * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }], }, { points: (() => { const a = 4, b = 2.5; const c = Math.sqrt(a*a - b*b); return [ { x: -c, y: 0, z: 0 }, { x: c, y: 0, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: $$F_1$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: $$F_2$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] } ], }, { points: (() => { const angle = Math.PI / 3; const a = 4, b = 2.5; return [{ x: a * Math.cos(angle), y: b * Math.sin(angle), z: 0, }]; })(), color: "#65a30d", showPoints: true, labels: [{ text: $$P$$, at: 0, offset: [0.5, 0.3, 0] }], }, { points: (() => { const angle = Math.PI / 3; const a = 4, b = 2.5; const c = Math.sqrt(a*a - b*b); const px = a * Math.cos(angle); const py = b * Math.sin(angle); return [ { x: -c, y: 0, z: 0 }, { x: px, y: py, z: 0 } ]; })(), color: "#d97706", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: $$r_1$$, at: 1, off ... [truncated; 1793 chars] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; const a = 4; const b = 2.5; return { x: a * Math.cos(angle), y: b * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }], }, { points: (() => { const a = 4, b = 2.5; const c = Math.sqrt(a*a - b*b); return [ { x: -c, y: 0, z: 0 }, { x: c, y: 0, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] } ], }, { points: (() => { const angle = Math.PI / 3; const a = 4, b = 2.5; return [{ x: a * Math.cos(angle), y: b * Math.sin(angle), z: 0, }]; })(), color: "#65a30d", showPoints: true, labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.5, 0.3, 0] }], }, { points: (() => { const angle = Math.PI / 3; const a = 4, b = 2.5; const c = Math.sqrt(a*a - b*b); const px = a * Math.cos(angle); const py = b * Math.sin(angle); return [ { x: -c, y: 0, z: 0 }, { x: px, y: py, z: 0 } ]; })(), color: "#d97706", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: , at: 1, off ... [truncated; 1793 chars] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false In der Grafik liegt $$P$$ auf der Ellipse. Sein Abstand zu $$F_1$$, bezeichnet mit $$r_1$$, und sein Abstand zu $$F_2$$, bezeichnet mit $$r_2$$, ergeben zusammen für jeden Ellipsenpunkt dieselbe Länge. Genau das ist das **grundlegende Merkmal einer Ellipse**. Visible text: In der Grafik liegt auf der Ellipse. Sein Abstand zu , bezeichnet mit , und sein Abstand zu , bezeichnet mit , ergeben zusammen für jeden Ellipsenpunkt dieselbe Länge. Genau das ist das **grundlegende Merkmal einer Ellipse**. ## Ellipse-Komponenten Bevor die Gleichungen folgen, ordnen wir die Bestandteile einer Ellipse. Jeder davon beschreibt einen anderen Aspekt ihrer Lage oder Form. Component: LineEquation Props: - title: Ellipsenkomponenten - description: Wichtige Teile einer Ellipse mit horizontaler Hauptachse. - data: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; const a = 4; const b = 2.8; return { x: a * Math.cos(angle), y: b * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#4f46e5", showPoints: false, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: "Mitte", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 4, b = 2.8; const c = Math.sqrt(a*a - b*b); return [ { x: -c, y: 0, z: 0 }, { x: c, y: 0, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: $$F_1$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: $$F_2$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: -4, y: 0, z: 0 }, { x: 4, y: 0, z: 0 } ], color: "#0d9488", showPoints: true, labels: [ { text: $$A_1$$, at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }, { text: $$A_2$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: 0, y: -2.8, z: 0 }, { x: 0, y: 2.8, z: 0 } ], color: "#059669", showPoints: true, labels: [ { text: $$B_1$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: $$B_2$$, at: 1, offset: [-0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: -4, y: 0, z: 0 }, { x: 4, y: 0, z: 0 } ], color: "#ca8a04", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: ... [truncated; 1434 chars] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; const a = 4; const b = 2.8; return { x: a * Math.cos(angle), y: b * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#4f46e5", showPoints: false, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: "Mitte", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 4, b = 2.8; const c = Math.sqrt(a*a - b*b); return [ { x: -c, y: 0, z: 0 }, { x: c, y: 0, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: -4, y: 0, z: 0 }, { x: 4, y: 0, z: 0 } ], color: "#0d9488", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: 0, y: -2.8, z: 0 }, { x: 0, y: 2.8, z: 0 } ], color: "#059669", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [-0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: -4, y: 0, z: 0 }, { x: 4, y: 0, z: 0 } ], color: "#ca8a04", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: ... [truncated; 1434 chars] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false Die wichtigsten Bestandteile sind: 1. Der **Mittelpunkt** ist das Zentrum der Ellipse und wird häufig mit $$O$$ bezeichnet. Von ihm aus werden die Halbachsen und Brennpunktabstände gemessen. 2. Die **Brennpunkte** $$F_1$$ und $$F_2$$ sind die beiden festen Bezugspunkte der Ellipsendefinition. Ihr Abstand voneinander beträgt $$2c$$. 3. Die **Hauptachse** ist die längere Symmetrieachse. Sie verläuft durch Mittelpunkt und Brennpunkte und endet in $$A_1$$ und $$A_2$$. 4. Die **Nebenachse** ist die kürzere Symmetrieachse. Sie steht senkrecht auf der Hauptachse und endet in $$B_1$$ und $$B_2$$. 5. Die **große Halbachse** $$a$$ ist die halbe Hauptachsenlänge, also der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Hauptscheitel. 6. Die **kleine Halbachse** $$b$$ ist die halbe Nebenachsenlänge, also der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Nebenscheitel. Visible text: 1. Der **Mittelpunkt** ist das Zentrum der Ellipse und wird häufig mit bezeichnet. Von ihm aus werden die Halbachsen und Brennpunktabstände gemessen. 2. Die **Brennpunkte** und sind die beiden festen Bezugspunkte der Ellipsendefinition. Ihr Abstand voneinander beträgt . 3. Die **Hauptachse** ist die längere Symmetrieachse. Sie verläuft durch Mittelpunkt und Brennpunkte und endet in und . 4. Die **Nebenachse** ist die kürzere Symmetrieachse. Sie steht senkrecht auf der Hauptachse und endet in und . 5. Die **große Halbachse** ist die halbe Hauptachsenlänge, also der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Hauptscheitel. 6. Die **kleine Halbachse** ist die halbe Nebenachsenlänge, also der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Nebenscheitel. > Für eine echte Ellipse gilt $$a > b$$. Im Grenzfall $$a = b$$ fallen beide Halbachsen zusammen und die Kurve ist ein Kreis. Visible text: > Für eine echte Ellipse gilt . Im Grenzfall fallen beide Halbachsen zusammen und die Kurve ist ein Kreis. ## Ellipsengleichungen Die Gleichungsform hängt davon ab, wo der Mittelpunkt liegt und ob die Hauptachse horizontal oder vertikal verläuft. ### Mittelpunkt im Ursprung Liegt der Mittelpunkt bei $$O(0,0)$$, gibt es zwei mögliche Ausrichtungen: Visible text: Liegt der Mittelpunkt bei , gibt es zwei mögliche Ausrichtungen: Component: LineEquation Props: - title: Horizontale Hauptachse - description: Ellipse $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ mit $$a > b$$. Visible text: Ellipse mit . - data: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; const a = 4.5; const b = 3; return { x: a * Math.cos(angle), y: b * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#7c3aed", showPoints: false, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: $$O(0,0)$$, at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 4.5, b = 3; const c = Math.sqrt(a*a - b*b); return [ { x: -c, y: 0, z: 0 }, { x: c, y: 0, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: $$F_1$$, at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }, { text: $$F_2$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 4.5, y: 0, z: 0 } ], color: "#d97706", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: $$a$$, at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }], }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 0, y: 3, z: 0 } ], color: "#059669", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: $$b$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }], }, { points: [ { x: -6, y: 0, z: 0 }, { x: 6, y: 0, z: 0 } ], color: "#e11d48", showPoints: false, smooth: false, }, { points: [ { x: 0, y: -4, z: 0 }, { x: 0, y: 4, z: 0 } ], color: "#e11d48", showPoints: false, sm ... [truncated; 1217 chars] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; const a = 4.5; const b = 3; return { x: a * Math.cos(angle), y: b * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#7c3aed", showPoints: false, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 4.5, b = 3; const c = Math.sqrt(a*a - b*b); return [ { x: -c, y: 0, z: 0 }, { x: c, y: 0, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 4.5, y: 0, z: 0 } ], color: "#d97706", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }], }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 0, y: 3, z: 0 } ], color: "#059669", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }], }, { points: [ { x: -6, y: 0, z: 0 }, { x: 6, y: 0, z: 0 } ], color: "#e11d48", showPoints: false, smooth: false, }, { points: [ { x: 0, y: -4, z: 0 }, { x: 0, y: 4, z: 0 } ], color: "#e11d48", showPoints: false, sm ... [truncated; 1217 chars] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false Verläuft die Hauptachse parallel zur $$x$$-Achse, lautet die Ellipsengleichung: Visible text: Verläuft die Hauptachse parallel zur -Achse, lautet die Ellipsengleichung: ```math \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ``` mit der Bedingung $$a > b$$. Visible text: mit der Bedingung . Component: LineEquation Props: - title: Vertikale Hauptachse - description: Ellipse $$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$ mit $$a > b$$. Visible text: Ellipse mit . - data: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; const a = 4.5; const b = 3; return { x: b * Math.cos(angle), y: a * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#0d9488", showPoints: false, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: $$O(0,0)$$, at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 4.5, b = 3; const c = Math.sqrt(a*a - b*b); return [ { x: 0, y: -c, z: 0 }, { x: 0, y: c, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: $$F_1$$, at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }, { text: $$F_2$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 0, z: 0 } ], color: "#059669", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: $$b$$, at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }], }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 0, y: 4.5, z: 0 } ], color: "#d97706", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: $$a$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }], }, { points: [ { x: -5, y: 0, z: 0 }, { x: 5, y: 0, z: 0 } ], color: "#e11d48", showPoints: false, smooth: false, }, { points: [ { x: 0, y: -6, z: 0 }, { x: 0, y: 6, z: 0 } ], color: "#e11d48", showPoints: false, sm ... [truncated; 1217 chars] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; const a = 4.5; const b = 3; return { x: b * Math.cos(angle), y: a * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#0d9488", showPoints: false, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 4.5, b = 3; const c = Math.sqrt(a*a - b*b); return [ { x: 0, y: -c, z: 0 }, { x: 0, y: c, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 0, z: 0 } ], color: "#059669", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }], }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 0, y: 4.5, z: 0 } ], color: "#d97706", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }], }, { points: [ { x: -5, y: 0, z: 0 }, { x: 5, y: 0, z: 0 } ], color: "#e11d48", showPoints: false, smooth: false, }, { points: [ { x: 0, y: -6, z: 0 }, { x: 0, y: 6, z: 0 } ], color: "#e11d48", showPoints: false, sm ... [truncated; 1217 chars] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false Verläuft die Hauptachse parallel zur $$y$$-Achse, lautet die Ellipsengleichung: Visible text: Verläuft die Hauptachse parallel zur -Achse, lautet die Ellipsengleichung: ```math \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 ``` mit der Bedingung $$a > b$$. Visible text: mit der Bedingung . ### Verschobener Mittelpunkt Liegt der Mittelpunkt im Punkt $$(h, k)$$ statt im Ursprung, entstehen die verschobenen Formen: Visible text: Liegt der Mittelpunkt im Punkt statt im Ursprung, entstehen die verschobenen Formen: Component: MathContainer Children: ```math \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \quad \text{(horizontale Hauptachse)} ``` ```math \frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1 \quad \text{(vertikale Hauptachse)} ``` Die folgende Grafik zeigt ein Beispiel: Component: LineEquation Props: - title: Ellipse mit verschobenem Mittelpunkt - description: Ellipse mit Mittelpunkt $$(2, -1)$$ und horizontaler Hauptachse. Visible text: Ellipse mit Mittelpunkt und horizontaler Hauptachse. - data: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; const a = 3.5; const b = 2.5; const h = 2, k = -1; return { x: h + a * Math.cos(angle), y: k + b * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#0284c7", showPoints: false, }, { points: [ { x: 2, y: -1, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: $$(2,-1)$$, at: 0, offset: [-0.8, 0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 3.5, b = 2.5; const c = Math.sqrt(a*a - b*b); const h = 2, k = -1; return [ { x: h - c, y: k, z: 0 }, { x: h + c, y: k, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: $$F_1$$, at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }, { text: $$F_2$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: 2, y: -1, z: 0 }, { x: 5.5, y: -1, z: 0 } ], color: "#d97706", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: $$a$$, at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }], }, { points: [ { x: 2, y: -1, z: 0 }, { x: 2, y: 1.5, z: 0 } ], color: "#059669", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: $$b$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }], }, { points: [ { x: -3, y: 0, z: 0 }, { x: 7, y: 0, z: 0 } ], color: "#e11d48", showPoints: false, smooth: false, }, { points: [ { x: 0, y: -5, z: 0 ... [truncated; 1283 chars] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; const a = 3.5; const b = 2.5; const h = 2, k = -1; return { x: h + a * Math.cos(angle), y: k + b * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#0284c7", showPoints: false, }, { points: [ { x: 2, y: -1, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.8, 0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 3.5, b = 2.5; const c = Math.sqrt(a*a - b*b); const h = 2, k = -1; return [ { x: h - c, y: k, z: 0 }, { x: h + c, y: k, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: 2, y: -1, z: 0 }, { x: 5.5, y: -1, z: 0 } ], color: "#d97706", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }], }, { points: [ { x: 2, y: -1, z: 0 }, { x: 2, y: 1.5, z: 0 } ], color: "#059669", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] }], }, { points: [ { x: -3, y: 0, z: 0 }, { x: 7, y: 0, z: 0 } ], color: "#e11d48", showPoints: false, smooth: false, }, { points: [ { x: 0, y: -5, z: 0 ... [truncated; 1283 chars] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false ## Wichtige Beziehungen Zwischen den drei charakteristischen Längen gilt stets: ```math c^2 = a^2 - b^2 ``` Dabei ist $$c$$ der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt. Visible text: Dabei ist der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt. Die **Exzentrizität** einer Ellipse ist definiert als: ```math e = \frac{c}{a} ``` Für eine nicht kreisförmige Ellipse gilt $$0 < e < 1$$. Je näher $$e$$ an $$0$$ liegt, desto stärker nähert sich die Form einem Kreis. Je näher $$e$$ an $$1$$ liegt, desto gestreckter ist sie. Der Kreis als Grenzfall hat $$e = 0$$. Visible text: Für eine nicht kreisförmige Ellipse gilt . Je näher an liegt, desto stärker nähert sich die Form einem Kreis. Je näher an liegt, desto gestreckter ist sie. Der Kreis als Grenzfall hat . ## Übungen 1. Bestimme die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt $$(0,0)$$, Hauptachsenlänge $$12$$, Nebenachsenlänge $$8$$ und horizontaler Hauptachse. 2. Gegeben ist die Ellipse $$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$. Bestimme ihre Brennpunkte und ihre Exzentrizität. 3. Eine Ellipse hat den Mittelpunkt $$(3, -1)$$, die Brennpunkte $$(3, 2)$$ und $$(3, -4)$$ sowie die Nebenachsenlänge $$6$$. Bestimme ihre Gleichung. 4. Bestimme die Gleichung einer Ellipse, die durch $$(4, 3)$$ und $$(6, 2)$$ verläuft, den Mittelpunkt $$(0, 0)$$ hat und deren Hauptachse horizontal liegt. Visible text: 1. Bestimme die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt , Hauptachsenlänge , Nebenachsenlänge und horizontaler Hauptachse. 2. Gegeben ist die Ellipse . Bestimme ihre Brennpunkte und ihre Exzentrizität. 3. Eine Ellipse hat den Mittelpunkt , die Brennpunkte und sowie die Nebenachsenlänge . Bestimme ihre Gleichung. 4. Bestimme die Gleichung einer Ellipse, die durch und verläuft, den Mittelpunkt hat und deren Hauptachse horizontal liegt. ### Lösungen 1. **Lösung**: Gegeben sind: - Mittelpunkt $$(0,0)$$ - Hauptachsenlänge $$12$$, daher $$2a = 12$$ und $$a = 6$$ - Nebenachsenlänge $$8$$, daher $$2b = 8$$ und $$b = 4$$ - Horizontale Hauptachse Ellipsengleichung mit horizontaler Hauptachse: ```math \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ``` Nach dem Einsetzen von $$a = 6$$ und $$b = 4$$ folgt: ```math \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 ``` 2. **Lösung**: Aus der Gleichung $$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$ lesen wir ab: - $$a^2 = 25$$, daher $$a = 5$$ - $$b^2 = 16$$, daher $$b = 4$$ Weil $$a^2 > b^2$$ gilt, ist die Hauptachse horizontal. Nun berechnen wir $$c$$: ```math c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 16 = 9 ``` ```math c = 3 ``` Die Brennpunkte liegen bei $$(\pm 3, 0)$$, also bei $$(-3, 0)$$ und $$(3, 0)$$. Exzentrizität: ```math e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0{,}6 ``` 3. **Lösung**: Gegeben sind: - Mittelpunkt: $$(3, -1)$$ - Brennpunkte: $$(3, 2)$$ und $$(3, -4)$$ - Nebenachsenlänge $$6$$, daher $$2b = 6$$ und $$b = 3$$ Da die Brennpunkte die gleichen $$x$$-Koordinaten ($$x = 3$$) haben, ist die Hauptachse vertikal. ```math \text{Abstand zwischen Brennpunkten} = |2 - (-4)| = 6 ``` Daher gilt $$2c = 6$$ und somit $$c = 3$$. Mit $$c^2 = a^2-b^2$$ bestimmen wir $$a$$: ```math c^2 = a^2 - b^2 ``` ```math 9 = a^2 - 9 ``` ```math a^2 = 18 ``` ```math a = 3\sqrt{2} ``` Ellipsengleichung mit Mittelpunkt $$(h,k) = (3,-1)$$ und vertikaler Hauptachse: ```math \frac{(x-3)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{18} = 1 ``` 4. **Lösung**: Eine Ellipse mit Mittelpunkt $$(0,0)$$ und horizontaler Hauptachse hat die Gleichung: ```math \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ``` Einsetzen des Punkts $$(4,3)$$: ```math \frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1 \quad \text{...(1)} ``` Einsetzen des Punkts $$(6,2)$$: ```math \frac{36}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1 \quad \text{...(2)} ``` Mit $$u = \frac{1}{a^2}$$ und $$v = \frac{1}{b^2}$$ wird daraus ein lineares Gleichungssystem: ```math 16u + 9v = 1 \quad \text{...(1)} ``` ```math 36u + 4v = 1 \quad \text{...(2)} ``` Aus Gleichung ($$1$$) folgt $$v = \frac{1-16u}{9}$$. Dies setzen wir in Gleichung ($$2$$) ein: ```math 36u + 4 \cdot \frac{1-16u}{9} = 1 ``` ```math 36u + \frac{4-64u}{9} = 1 ``` ```math 324u + 4 - 64u = 9 ``` ```math 260u = 5 ``` ```math u = \frac{1}{52} ``` Folglich ist $$a^2 = 52$$. Rückeinsetzen liefert: ```math v = \frac{1-16 \cdot \frac{1}{52}}{9} = \frac{1-\frac{16}{52}}{9} = \frac{\frac{36}{52}}{9} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} ``` Damit ist $$b^2 = 13$$. Die gesuchte Ellipsengleichung lautet $$\frac{x^2}{52} + \frac{y^2}{13} = 1$$. Visible text: 1. **Lösung**: Gegeben sind: - Mittelpunkt - Hauptachsenlänge , daher und - Nebenachsenlänge , daher und - Horizontale Hauptachse Ellipsengleichung mit horizontaler Hauptachse: Nach dem Einsetzen von und folgt: 2. **Lösung**: Aus der Gleichung lesen wir ab: - , daher - , daher Weil gilt, ist die Hauptachse horizontal. Nun berechnen wir : Die Brennpunkte liegen bei , also bei und . Exzentrizität: 3. **Lösung**: Gegeben sind: - Mittelpunkt: - Brennpunkte: und - Nebenachsenlänge , daher und Da die Brennpunkte die gleichen -Koordinaten () haben, ist die Hauptachse vertikal. Daher gilt und somit . Mit bestimmen wir : Ellipsengleichung mit Mittelpunkt und vertikaler Hauptachse: 4. **Lösung**: Eine Ellipse mit Mittelpunkt und horizontaler Hauptachse hat die Gleichung: Einsetzen des Punkts : Einsetzen des Punkts : Mit und wird daraus ein lineares Gleichungssystem: Aus Gleichung () folgt . Dies setzen wir in Gleichung () ein: Folglich ist . Rückeinsetzen liefert: Damit ist . Die gesuchte Ellipsengleichung lautet .