# Hyperbel > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/analytische-geometrie/hyperbel Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/hyperbola/de.mdx Lerne Brennpunkte, Asymptoten, Standardgleichungen, Exzentrizität und Scheitelpunkte einer Hyperbel anhand ausgearbeiteter Beispiele kennen. --- ## Was ist eine Hyperbel? Der senkrechte Umriss eines Kühlturms erinnert oft an eine Hyperbel. Auch die kegelförmige Stoßwelle eines Überschallflugzeugs kann dort, wo sie auf den Boden trifft, eine hyperbolische Kurve bilden. Diese Beispiele geben uns ein erstes Bild der Kurve. Geometrisch entsteht eine Hyperbel, wenn eine Ebene beide Hälften eines Doppelkegels schneidet. Anders als die geschlossene Ellipse hat sie **zwei getrennte Äste**, die sich in entgegengesetzte Richtungen öffnen. Eine Hyperbel ist die Ortskurve aller Punkte, für die **der Betrag der Differenz der Abstände zu zwei festen Punkten konstant ist**. Diese beiden festen Punkte heißen **Brennpunkte**. Für jeden Punkt $$P$$ auf der Hyperbel gilt $$|PF_1 - PF_2| = 2a$$. Bei einer [Ellipse](/de/faecher/mathematik/analytische-geometrie/ellipse) ist dagegen die Summe der Abstände konstant: $$PF_1 + PF_2 = 2a$$. Visible text: Eine Hyperbel ist die Ortskurve aller Punkte, für die **der Betrag der Differenz der Abstände zu zwei festen Punkten konstant ist**. Diese beiden festen Punkte heißen **Brennpunkte**. Für jeden Punkt auf der Hyperbel gilt . Bei einer [Ellipse](/de/faecher/mathematik/analytische-geometrie/ellipse) ist dagegen die Summe der Abstände konstant: . Component: LineEquation Props: - title: Grundkonzept der Hyperbel - description: Hyperbel mit zwei Brennpunkten, die einen konstanten Abstandsunterschied aufweisen - data: [ { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2; const c = Math.sqrt(a * a + b * b); // Rechter Ast der Hyperbel for (let t = -2; t <= 2; t += 0.1) { const x = a * Math.cosh(t); const y = b * Math.sinh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2; // Linker Ast der Hyperbel for (let t = -2; t <= 2; t += 0.1) { const x = -a * Math.cosh(t); const y = b * Math.sinh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: (() => { const a = 3; const b = 2; const c = Math.sqrt(a * a + b * b); return [ { x: -c, y: 0, z: 0 }, { x: c, y: 0, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: $$F_1$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: $$F_2$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] } ], }, { points: (() => { const a = 3; const b = 2; const t = 0.7; return [{ x: a * Math.cosh(t), y: b * Math.sinh(t), z: 0, }]; })(), color: "#65a30d", showPoints: true, labels: [{ text: $$P$$, at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 3; const b = 2; const c = Math.sqrt(a * a + b * b); const ... [truncated; 2076 chars] Visible text: [ { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2; const c = Math.sqrt(a * a + b * b); // Rechter Ast der Hyperbel for (let t = -2; t <= 2; t += 0.1) { const x = a * Math.cosh(t); const y = b * Math.sinh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2; // Linker Ast der Hyperbel for (let t = -2; t <= 2; t += 0.1) { const x = -a * Math.cosh(t); const y = b * Math.sinh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: (() => { const a = 3; const b = 2; const c = Math.sqrt(a * a + b * b); return [ { x: -c, y: 0, z: 0 }, { x: c, y: 0, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] } ], }, { points: (() => { const a = 3; const b = 2; const t = 0.7; return [{ x: a * Math.cosh(t), y: b * Math.sinh(t), z: 0, }]; })(), color: "#65a30d", showPoints: true, labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 3; const b = 2; const c = Math.sqrt(a * a + b * b); const ... [truncated; 2076 chars] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false Die Darstellung zeigt beide Äste, die beiden Brennpunkte und einen Punkt $$P$$ auf der Kurve. Die beiden Strecken haben die Längen $$r_1=PF_1$$ und $$r_2=PF_2$$. Wenn $$P$$ auf einem der Äste wandert, ändern sich beide Längen, ihr absoluter Unterschied bleibt jedoch $$|r_1-r_2|=2a$$. Visible text: Die Darstellung zeigt beide Äste, die beiden Brennpunkte und einen Punkt auf der Kurve. Die beiden Strecken haben die Längen und . Wenn auf einem der Äste wandert, ändern sich beide Längen, ihr absoluter Unterschied bleibt jedoch . ## Komponenten einer Hyperbel Bevor wir die Formeln verwenden, betrachten wir die Teile, die Form und Lage der Kurve bestimmen. Component: LineEquation Props: - title: Teile einer Hyperbel - description: Wichtige Bestandteile einer Hyperbel mit horizontaler Transversalachse. - data: [ { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2.5; // Right branch for (let t = -1.5; t <= 1.5; t += 0.1) { const x = a * Math.cosh(t); const y = b * Math.sinh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#4f46e5", showPoints: false, }, { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2.5; // Left branch for (let t = -1.5; t <= 1.5; t += 0.1) { const x = -a * Math.cosh(t); const y = b * Math.sinh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#4f46e5", showPoints: false, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: "Mitte", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 3; const b = 2.5; const c = Math.sqrt(a * a + b * b); return [ { x: -c, y: 0, z: 0 }, { x: c, y: 0, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: $$F_1$$, at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }, { text: $$F_2$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: -3, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 0, z: 0 } ], color: "#0d9488", showPoints: true, labels: [ { text: $$A_1$$, at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }, { text: $$A_2$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { ... [truncated; 1544 chars] Visible text: [ { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2.5; // Right branch for (let t = -1.5; t <= 1.5; t += 0.1) { const x = a * Math.cosh(t); const y = b * Math.sinh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#4f46e5", showPoints: false, }, { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2.5; // Left branch for (let t = -1.5; t <= 1.5; t += 0.1) { const x = -a * Math.cosh(t); const y = b * Math.sinh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#4f46e5", showPoints: false, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: "Mitte", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 3; const b = 2.5; const c = Math.sqrt(a * a + b * b); return [ { x: -c, y: 0, z: 0 }, { x: c, y: 0, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: -3, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 0, z: 0 } ], color: "#0d9488", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { ... [truncated; 1544 chars] - cameraPosition: [0, 0, 15] - showZAxis: false Die Grafik lässt sich anhand von fünf Merkmalen lesen: 1. **Das Zentrum der Hyperbel** ist der Mittelpunkt zwischen den beiden Brennpunkten und wird normalerweise mit $$O$$ bezeichnet. 2. **Brennpunkte** ($$F_1$$ und $$F_2$$) sind die beiden festen Punkte in der Definition einer Hyperbel. Bezeichnet $$c$$ den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt, dann beträgt der Abstand zwischen beiden Brennpunkten $$2c$$. 3. **Scheitelpunkte** ($$A_1$$ und $$A_2$$) sind die Punkte der beiden Äste, die dem Mittelpunkt am nächsten liegen. Beide liegen auf der Transversalachse. 4. **Transversalachse** ist die Strecke durch den Mittelpunkt, deren Endpunkte die beiden Scheitelpunkte sind. Die Brennpunkte liegen auf der Geraden, die diese Strecke enthält. 5. **Asymptoten** sind Linien, denen sich die Äste der Hyperbel nähern, wenn sie sich ins Unendliche erstrecken. Die Hyperbel berührt nie ihre Asymptoten, aber je weiter sie vom Zentrum entfernt ist, desto näher kommt die Kurve den Asymptotenlinien. Visible text: 1. **Das Zentrum der Hyperbel** ist der Mittelpunkt zwischen den beiden Brennpunkten und wird normalerweise mit bezeichnet. 2. **Brennpunkte** ( und ) sind die beiden festen Punkte in der Definition einer Hyperbel. Bezeichnet den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt, dann beträgt der Abstand zwischen beiden Brennpunkten . 3. **Scheitelpunkte** ( und ) sind die Punkte der beiden Äste, die dem Mittelpunkt am nächsten liegen. Beide liegen auf der Transversalachse. 4. **Transversalachse** ist die Strecke durch den Mittelpunkt, deren Endpunkte die beiden Scheitelpunkte sind. Die Brennpunkte liegen auf der Geraden, die diese Strecke enthält. 5. **Asymptoten** sind Linien, denen sich die Äste der Hyperbel nähern, wenn sie sich ins Unendliche erstrecken. Die Hyperbel berührt nie ihre Asymptoten, aber je weiter sie vom Zentrum entfernt ist, desto näher kommt die Kurve den Asymptotenlinien. > Der Hauptunterschied zwischen einer Hyperbel und einer Ellipse: Eine Hyperbel hat Asymptoten und besteht aus zwei separaten Zweigen, während eine Ellipse eine geschlossene Kurve ohne Asymptoten ist. ## Gleichung einer Hyperbel Die Standardgleichung hängt von der Öffnungsrichtung der Äste und von der Lage des Mittelpunkts ab. Wir betrachten zwei Fälle. ### Mittelpunkt im Ursprung Liegt der Mittelpunkt der Hyperbel bei $$O(0,0)$$, gibt es zwei mögliche Orientierungen: Visible text: Liegt der Mittelpunkt der Hyperbel bei , gibt es zwei mögliche Orientierungen: Component: LineEquation Props: - title: Horizontale Transversalachse - description: Hyperbel $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ mit horizontaler Transversalachse. Visible text: Hyperbel mit horizontaler Transversalachse. - data: [ { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2; // Right branch for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) { const x = a * Math.cosh(t); const y = b * Math.sinh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#7c3aed", showPoints: false, }, { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2; // Left branch for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) { const x = -a * Math.cosh(t); const y = b * Math.sinh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#7c3aed", showPoints: false, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: $$O(0,0)$$, at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 3; const b = 2; const c = Math.sqrt(a * a + b * b); return [ { x: -c, y: 0, z: 0 }, { x: c, y: 0, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: $$F_1$$, at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }, { text: $$F_2$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: -3, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 0, z: 0 } ], color: "#0d9488", showPoints: true, labels: [ { text: $$A_1$$, at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }, { text: $$A_2$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: ... [truncated; 1414 chars] Visible text: [ { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2; // Right branch for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) { const x = a * Math.cosh(t); const y = b * Math.sinh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#7c3aed", showPoints: false, }, { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2; // Left branch for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) { const x = -a * Math.cosh(t); const y = b * Math.sinh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#7c3aed", showPoints: false, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 3; const b = 2; const c = Math.sqrt(a * a + b * b); return [ { x: -c, y: 0, z: 0 }, { x: c, y: 0, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: -3, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 0, z: 0 } ], color: "#0d9488", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: ... [truncated; 1414 chars] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false Wenn die Transversalachse parallel zur $$x$$-Achse verläuft, lautet die Gleichung der Hyperbel: Visible text: Wenn die Transversalachse parallel zur -Achse verläuft, lautet die Gleichung der Hyperbel: ```math \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 ``` Die entsprechende vertikale Grafik ist unten dargestellt: Component: LineEquation Props: - title: Vertikale Transversalachse - description: Hyperbel $$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$$ mit vertikaler Transversalachse. Visible text: Hyperbel mit vertikaler Transversalachse. - data: [ { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2; // Top branch for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) { const x = b * Math.sinh(t); const y = a * Math.cosh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#0d9488", showPoints: false, }, { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2; // Bottom branch for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) { const x = b * Math.sinh(t); const y = -a * Math.cosh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#0d9488", showPoints: false, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: $$O(0,0)$$, at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 3; const b = 2; const c = Math.sqrt(a * a + b * b); return [ { x: 0, y: -c, z: 0 }, { x: 0, y: c, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: $$F_1$$, at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }, { text: $$F_2$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: 0, y: -3, z: 0 }, { x: 0, y: 3, z: 0 } ], color: "#7c3aed", showPoints: true, labels: [ { text: $$A_1$$, at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }, { text: $$A_2$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: ... [truncated; 1414 chars] Visible text: [ { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2; // Top branch for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) { const x = b * Math.sinh(t); const y = a * Math.cosh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#0d9488", showPoints: false, }, { points: (() => { const points = []; const a = 3; const b = 2; // Bottom branch for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) { const x = b * Math.sinh(t); const y = -a * Math.cosh(t); points.push({ x, y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#0d9488", showPoints: false, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: true, labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }], }, { points: (() => { const a = 3; const b = 2; const c = Math.sqrt(a * a + b * b); return [ { x: 0, y: -c, z: 0 }, { x: 0, y: c, z: 0 } ]; })(), color: "#0891b2", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: 0, y: -3, z: 0 }, { x: 0, y: 3, z: 0 } ], color: "#7c3aed", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }, { text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] } ], }, { points: [ { x: ... [truncated; 1414 chars] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false Wenn die Transversalachse parallel zur $$y$$-Achse verläuft, lautet die Gleichung der Hyperbel: Visible text: Wenn die Transversalachse parallel zur -Achse verläuft, lautet die Gleichung der Hyperbel: ```math \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 ``` ### Verschobenes Zentrum Liegt der Mittelpunkt der Hyperbel nicht im Ursprung, sondern im Punkt $$(h, k)$$, lautet die Gleichung: Visible text: Liegt der Mittelpunkt der Hyperbel nicht im Ursprung, sondern im Punkt , lautet die Gleichung: Component: MathContainer Children: ```math \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \quad \text{(horizontale Transversalachse)} ``` ```math \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \quad \text{(vertikale Transversalachse)} ``` ## Wichtige Eigenschaften der Hyperbel Die drei Parameter jeder Hyperbel erfüllen: ```math c^2 = a^2 + b^2 ``` Dabei gilt: - $$a$$ ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Scheitelpunkt (reelle Halbachse oder halbe Transversalachse) - $$b$$ ist die konjugierte Halbachse, die die Steigungen der Asymptoten bestimmt - $$c$$ ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Brennpunkt Visible text: - ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Scheitelpunkt (reelle Halbachse oder halbe Transversalachse) - ist die konjugierte Halbachse, die die Steigungen der Asymptoten bestimmt - ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Brennpunkt Diese Beziehung unterscheidet sich von einer Ellipse, die $$c^2 = a^2 - b^2$$ verwendet. Visible text: Diese Beziehung unterscheidet sich von einer Ellipse, die verwendet. **Exzentrizität** einer Hyperbel ist definiert als: ```math e = \frac{c}{a} ``` Die Exzentrizität einer Hyperbel erfüllt stets $$e > 1$$, denn aus $$c^2 = a^2 + b^2$$ folgt $$c > a$$. Genauer gilt $$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$$. Mit wachsendem $$e$$ wächst daher auch das Verhältnis $$b/a$$, das zugleich die Steigungen der Asymptoten bestimmt. Zum Vergleich: Ein Kreis hat $$e = 0$$, eine Ellipse hat $$0 < e < 1$$, eine Parabel hat $$e = 1$$ und eine Hyperbel hat $$e > 1$$. Visible text: Die Exzentrizität einer Hyperbel erfüllt stets , denn aus folgt . Genauer gilt . Mit wachsendem wächst daher auch das Verhältnis , das zugleich die Steigungen der Asymptoten bestimmt. Zum Vergleich: Ein Kreis hat , eine Ellipse hat , eine Parabel hat und eine Hyperbel hat . **Asymptotengleichungen** für eine Hyperbel mit Mittelpunkt bei $$(0,0)$$: Visible text: **Asymptotengleichungen** für eine Hyperbel mit Mittelpunkt bei : Component: MathContainer Children: ```math y = \pm \frac{b}{a}x \quad \text{(horizontale Transversalachse)} ``` ```math y = \pm \frac{a}{b}x \quad \text{(vertikale Transversalachse)} ``` > Die Asymptoten beschreiben die Grenzrichtungen der beiden Äste. Mit wachsendem Abstand vom Mittelpunkt nähert sich jeder Ast einer Asymptote, ohne sie zu schneiden. ## Übungen 1. Bestimme die Gleichung einer Hyperbel mit dem Mittelpunkt $$(0,0)$$, den Scheitelpunkten $$(\pm 2, 0)$$ und den Brennpunkten $$(\pm 3, 0)$$. 2. Gegeben ist die Hyperbel $$\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$$. Bestimme die Brennpunkte, die Exzentrizität und die Gleichungen der Asymptoten. 3. Eine Hyperbel hat den Mittelpunkt $$(1, -2)$$, eine horizontale Transversalachse sowie $$a = 3$$ und $$b = 4$$. Bestimme ihre Gleichung. 4. Bestimme die Gleichungen der Asymptoten für $$\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1$$. Visible text: 1. Bestimme die Gleichung einer Hyperbel mit dem Mittelpunkt , den Scheitelpunkten und den Brennpunkten . 2. Gegeben ist die Hyperbel . Bestimme die Brennpunkte, die Exzentrizität und die Gleichungen der Asymptoten. 3. Eine Hyperbel hat den Mittelpunkt , eine horizontale Transversalachse sowie und . Bestimme ihre Gleichung. 4. Bestimme die Gleichungen der Asymptoten für . ### Ausführliche Lösungen 1. **Lösung**: Gegeben sind: - Mittelpunkt $$(0,0)$$ - Scheitelpunkte $$(\pm 2, 0)$$, also $$a = 2$$ - Brennpunkte bei $$(\pm 3, 0)$$, also $$c = 3$$ - Horizontale Transversalachse (da Scheitelpunkte und Brennpunkte auf der $$x$$-Achse liegen) Mit $$c^2 = a^2 + b^2$$ erhalten wir: ```math 3^2 = 2^2 + b^2 ``` ```math 9 = 4 + b^2 ``` ```math b^2 = 5 ``` Gleichung einer Hyperbel mit horizontaler Transversalachse: ```math \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1 ``` 2. **Lösung**: Aus der Gleichung $$\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$$: - $$a^2 = 25$$, also $$a = 5$$ - $$b^2 = 9$$, also $$b = 3$$ Da die Gleichung die Form $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ hat, ist die Transversalachse horizontal. Zuerst bestimmen wir $$c$$: ```math c^2 = a^2 + b^2 = 25 + 9 = 34 ``` ```math c = \sqrt{34} \approx 5{,}831 ``` Koordinaten der Brennpunkte: $$(\pm \sqrt{34}, 0)$$ Exzentrizität: ```math e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{34}}{5} \approx \frac{5{,}831}{5} \approx 1{,}166 ``` Asymptotengleichungen (horizontale Transversalachse): ```math y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{3}{5}x ``` 3. **Lösung**: Gegeben sind: - Mittelpunkt: $$(h,k) = (1, -2)$$ - Horizontale Transversalachse - $$a = 3$$, also $$a^2 = 9$$ - $$b = 4$$, also $$b^2 = 16$$ Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt $$(h,k)$$ und horizontaler Transversalachse: ```math \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 ``` Einsetzen liefert: ```math \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y+2)^2}{16} = 1 ``` 4. **Lösung**: Aus der Gleichung $$\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1$$: - Mittelpunkt: $$(h,k) = (2, -1)$$ - $$a^2 = 4$$, also $$a = 2$$ - $$b^2 = 9$$, also $$b = 3$$ - Vertikale Transversalachse (da die Gleichung die Form $$\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$$ hat) Für eine Hyperbel mit Mittelpunkt $$(h,k)$$ und vertikaler Transversalachse gelten die Asymptotengleichungen: ```math y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h) ``` Einsetzen liefert: ```math y - (-1) = \pm \frac{2}{3}(x - 2) ``` ```math y + 1 = \pm \frac{2}{3}(x - 2) ``` ```math y = -1 \pm \frac{2}{3}(x - 2) ``` Die Asymptotengleichungen lauten also: ```math y = -1 + \frac{2}{3}(x - 2) ``` ```math y = -1 - \frac{2}{3}(x - 2) ``` Visible text: 1. **Lösung**: Gegeben sind: - Mittelpunkt - Scheitelpunkte , also - Brennpunkte bei , also - Horizontale Transversalachse (da Scheitelpunkte und Brennpunkte auf der -Achse liegen) Mit erhalten wir: Gleichung einer Hyperbel mit horizontaler Transversalachse: 2. **Lösung**: Aus der Gleichung : - , also - , also Da die Gleichung die Form hat, ist die Transversalachse horizontal. Zuerst bestimmen wir : Koordinaten der Brennpunkte: Exzentrizität: Asymptotengleichungen (horizontale Transversalachse): 3. **Lösung**: Gegeben sind: - Mittelpunkt: - Horizontale Transversalachse - , also - , also Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt und horizontaler Transversalachse: Einsetzen liefert: 4. **Lösung**: Aus der Gleichung : - Mittelpunkt: - , also - , also - Vertikale Transversalachse (da die Gleichung die Form hat) Für eine Hyperbel mit Mittelpunkt und vertikaler Transversalachse gelten die Asymptotengleichungen: Einsetzen liefert: Die Asymptotengleichungen lauten also: