# Definition des Kreises

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Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/definition-of-circle/de.mdx

Lerne die geometrische Bedeutung von Mittelpunkt, Radius und Standardgleichung eines Kreises kennen und leite die Gleichung anhand von Beispielen her.

---

## Kreis verstehen

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt den gleichen Abstand haben. Dieser feste Punkt heißt **Kreismittelpunkt**. Der gemeinsame Abstand vom Mittelpunkt zu jedem Punkt auf dem Kreis heißt **Radius**.

Das lässt sich mit einer Schnur veranschaulichen: Ein Ende wird an einem Nagel befestigt, die Schnur straff gezogen und das andere Ende einmal um den Nagel geführt. Die gezeichnete Kurve ist der Kreis, der Nagel sein Mittelpunkt und die Schnurlänge sein Radius.

Component: LineEquation
Props:
- title: Kreis mit Mittelpunkt und Radius
- description: Alle Punkte auf dem Kreis haben den gleichen Abstand vom Mittelpunkt.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = 0; // horizontal radius
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$P$$, at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] },
{ text: $$r$$, at: 1, offset: [-1, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = Math.PI / 4; // 45 degree radius
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$r$$, at: 1, offset: [-1, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = Math.PI; // 180 degree radius (left)
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
c ... [truncated; 2302 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = 0; // horizontal radius
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [-1, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = Math.PI / 4; // 45 degree radius
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-1, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = Math.PI; // 180 degree radius (left)
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
c ... [truncated; 2302 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

In der Darstellung ist $$P$$ der Mittelpunkt. Die Punkte $$A$$, $$B$$ und $$C$$ liegen auf dem Kreis. Die drei Abstände $$PA$$, $$PB$$ und $$PC$$ sind jeweils gleich $$r$$. Genau diese gemeinsame Entfernung legt alle drei Punkte auf denselben Kreis.

Visible text: In der Darstellung ist der Mittelpunkt. Die Punkte , und liegen auf dem Kreis. Die drei Abstände , und sind jeweils gleich . Genau diese gemeinsame Entfernung legt alle drei Punkte auf denselben Kreis.

## Mathematische Definition

Nun formulieren wir den Gedanken präzise. Ein Kreis mit Mittelpunkt $$P(a, b)$$ und Radius $$r$$ ist die Menge aller Punkte $$(x, y)$$, für die gilt:

Visible text: Nun formulieren wir den Gedanken präzise. Ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius ist die Menge aller Punkte , für die gilt:

```math
d(P, (x,y)) = r
```

Dabei ist $$d(P, (x,y))$$ der Abstand vom Mittelpunkt $$P$$ zum Punkt $$(x, y)$$ auf dem Kreis.

Visible text: Dabei ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Punkt auf dem Kreis.

Mit der Abstandsformel im kartesischen Koordinatensystem wird daraus:

```math
\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r
```

## Kreisgleichung

Aus der obigen mathematischen Definition können wir die **Kreisgleichung** durch Quadrieren beider Seiten ableiten:

Component: MathContainer
Children:

```math
\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r
```

```math
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
```

Dies ist die **Standardform der Kreisgleichung** mit Mittelpunkt $$(a, b)$$ und Radius $$r$$. Mit ihr lässt sich auch direkt prüfen, ob ein Punkt innerhalb, außerhalb oder genau auf dem Kreis liegt.

Visible text: Dies ist die **Standardform der Kreisgleichung** mit Mittelpunkt und Radius . Mit ihr lässt sich auch direkt prüfen, ob ein Punkt innerhalb, außerhalb oder genau auf dem Kreis liegt.

Component: LineEquation
Props:
- title: Kreis im Koordinatensystem
- description: Kreis mit dem Mittelpunkt $$(2, 1)$$ und dem Radius $$2$$.
  Visible text: Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 2 + 2 * Math.cos(angle),
y: 1 + 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 2, y: 1 };
const radius = 2;
const angle = 0; // horizontaler Radius nach rechts
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$(2,1)$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: $$r=2$$, at: 1, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const xMin = -1;
const xMax = 5;
const y = 0; // $$x$$-axis
return {
x: xMin + i * (xMax - xMin),
y: y,
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -2;
const yMax = 4;
const x = 0; // $$y$$-axis
return {
x: x,
y: yMin + i * (yMax - yMin),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
// Ursprung bei (0, 0)
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels ... [truncated; 1257 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 2 + 2 * Math.cos(angle),
y: 1 + 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 2, y: 1 };
const radius = 2;
const angle = 0; // horizontaler Radius nach rechts
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const xMin = -1;
const xMax = 5;
const y = 0; // -axis
return {
x: xMin + i * (xMax - xMin),
y: y,
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -2;
const yMax = 4;
const x = 0; // -axis
return {
x: x,
y: yMin + i * (yMax - yMin),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
// Ursprung bei (0, 0)
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels ... [truncated; 1257 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false

Für den Kreis in der obigen Visualisierung lautet die Gleichung:

```math
(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4
```

### Sonderform der Kreisgleichung

Liegt der Mittelpunkt im Ursprung $$(0, 0)$$, entfallen beide Verschiebungsterme und die Gleichung wird zu:

Visible text: Liegt der Mittelpunkt im Ursprung , entfallen beide Verschiebungsterme und die Gleichung wird zu:

```math
x^2 + y^2 = r^2
```

Diese kürzere Form gilt immer dann, wenn der Mittelpunkt bereits als Ursprung feststeht.

## Wichtige Kreiselemente

Drei geometrische Elemente tauchen in Kreisaufgaben immer wieder auf:

1. **Kreismittelpunkt** ist der feste Punkt, der als Referenz für alle Punkte auf dem Kreis dient. Alle Punkte auf dem Kreis haben den gleichen Abstand zu diesem Mittelpunkt.

2. **Radius** ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis. In einem Kreis haben alle Radien die gleiche Länge.

3. **Durchmesser** ist eine Strecke, die zwei Punkte auf dem Kreis verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft. Ihre Länge ist doppelt so groß wie der Radius, also $$d = 2r$$.

Visible text: 1. **Kreismittelpunkt** ist der feste Punkt, der als Referenz für alle Punkte auf dem Kreis dient. Alle Punkte auf dem Kreis haben den gleichen Abstand zu diesem Mittelpunkt.

2. **Radius** ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis. In einem Kreis haben alle Radien die gleiche Länge.

3. **Durchmesser** ist eine Strecke, die zwei Punkte auf dem Kreis verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft. Ihre Länge ist doppelt so groß wie der Radius, also .

Die Darstellung zeigt, dass Radius und Durchmesser durch denselben Mittelpunkt verlaufen:

Component: LineEquation
Props:
- title: Kreiselemente
- description: Visualisierung von Mittelpunkt, Radius und Durchmesser.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = 0; // horizontal radius showing radius
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$O$$, at: 0, offset: [0, -0.5, 0] },
{ text: "Radius", at: 1, offset: [-1, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = 0; // horizontal diameter
// i=0: linker Punkt, i=1: rechter Punkt
const direction = i === 0 ? -1 : 1;
return {
x: center.x + direction * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + direction * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$A$$, at: 0, offset: [-0.5, 0, 0] },
{ text: $$B$$, at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: "Durchmesser", at: 1, offset: [-3, 1, 0] },
],
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = 0; // horizontal radius showing radius
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [0, -0.5, 0] },
{ text: "Radius", at: 1, offset: [-1, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = 0; // horizontal diameter
// i=0: linker Punkt, i=1: rechter Punkt
const direction = i === 0 ? -1 : 1;
return {
x: center.x + direction * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + direction * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, 0, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
{ text: "Durchmesser", at: 1, offset: [-3, 1, 0] },
],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

## Anwendungsbeispiel

Wenden wir die Definition einmal vollständig an.

**Beispiel**: Bestimme die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt $$(3, -2)$$ und Radius $$5$$.

Visible text: **Beispiel**: Bestimme die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt und Radius .

**Lösung**:
Wir setzen Mittelpunkt und Radius in die Standardform ein:

Component: MathContainer
Children:

```math
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
```

```math
(x-3)^2 + (y-(-2))^2 = 5^2
```

```math
(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25
```

Die Kreisgleichung lautet also $$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$$.

Visible text: Die Kreisgleichung lautet also .