# Kreisgleichung
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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/analytische-geometrie/kreisgleichung
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/equation-of-circle/de.mdx
Lerne den Zusammenhang zwischen Standardform und allgemeiner Form einer Kreisgleichung kennen, bestimme Mittelpunkt und Radius und wandle beide Formen ineinander um.
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## Kreisgleichungen verstehen
Eine Kreisgleichung beschreibt jeden Punkt eines Kreises in der Koordinatenebene. Beim Zeichnen mit einem Zirkel legt die Nadel den Mittelpunkt fest, die Öffnung bestimmt den Radius und der Stift zeichnet genau die Punkte nach, welche die Gleichung erfüllen.
Warum ist das nützlich? Denn wenn wir die Kreisgleichung kennen, können wir sofort erkennen, wo sich der **Mittelpunkt des Kreises** befindet und wie groß sein **Radius** ist, ohne den Kreis zuerst zeichnen zu müssen.
## Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung
Wir beginnen mit dem einfachsten Fall, einem Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung $$O(0,0)$$.
Visible text: Wir beginnen mit dem einfachsten Fall, einem Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung .
Wenn wir einen Kreis mit Mittelpunkt bei $$O(0,0)$$ und Radius $$r$$ haben, dann hat jeder Punkt $$(x,y)$$ auf diesem Kreis den gleichen Abstand vom Mittelpunkt, nämlich $$r$$.
Visible text: Wenn wir einen Kreis mit Mittelpunkt bei und Radius haben, dann hat jeder Punkt auf diesem Kreis den gleichen Abstand vom Mittelpunkt, nämlich .
Mit der Abstandsformel erhalten wir:
```math
\sqrt{x^2 + y^2} = r
```
Wenn wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir die Kreisgleichung mit Mittelpunkt im Ursprung:
```math
x^2 + y^2 = r^2
```
Die Grafik macht den festen Radius sichtbar.
Component: LineEquation
Props:
- title: Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung
- description: Kreis mit dem Mittelpunkt $$O(0,0)$$ und dem Radius $$3$$.
Visible text: Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = 0;
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$O(0,0)$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: $$r=3$$, at: 1, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const xMin = -4;
const xMax = 4;
const y = 0;
return {
x: xMin + i * (xMax - xMin),
y: y,
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -4;
const yMax = 4;
const x = 0;
return {
x: x,
y: yMin + i * (yMax - yMin),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 0, y: 0 };
const radius = 3;
const angle = 0;
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const xMin = -4;
const xMax = 4;
const y = 0;
return {
x: xMin + i * (xMax - xMin),
y: y,
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -4;
const yMax = 4;
const x = 0;
return {
x: x,
y: yMin + i * (yMax - yMin),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
Für den obigen Kreis lautet die Gleichung $$x^2 + y^2 = 9$$, da der Radius $$3$$ beträgt, also $$r^2 = 3^2 = 9$$.
Visible text: Für den obigen Kreis lautet die Gleichung , da der Radius beträgt, also .
## Kreis mit beliebigem Mittelpunkt
Was ist nun, wenn das Zentrum nicht im Ursprung liegt? Angenommen, der Mittelpunkt des Kreises liegt im Punkt $$P(a,b)$$ mit dem Radius $$r$$.
Visible text: Was ist nun, wenn das Zentrum nicht im Ursprung liegt? Angenommen, der Mittelpunkt des Kreises liegt im Punkt mit dem Radius .
Jeder Punkt $$(x,y)$$ auf diesem Kreis muss den gleichen Abstand $$r$$ vom Mittelpunkt $$P(a,b)$$ haben. Mit der Abstandsformel:
Visible text: Jeder Punkt auf diesem Kreis muss den gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben. Mit der Abstandsformel:
```math
\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r
```
Nach dem Quadrieren erhalten wir die **Standardform eines Kreises mit beliebigem Mittelpunkt**:
```math
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
```
Die Verschiebung des Mittelpunkts ist in der folgenden Grafik zu sehen.
Component: LineEquation
Props:
- title: Kreis mit beliebigem Mittelpunkt
- description: Kreis mit dem Mittelpunkt $$P(2,-1)$$ und dem Radius $$2$$.
Visible text: Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 2 + 2 * Math.cos(angle),
y: -1 + 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 2, y: -1 };
const radius = 2;
const angle = 0;
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$P(2,-1)$$, at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
{ text: $$r=2$$, at: 1, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const xMin = -1;
const xMax = 5;
const y = 0;
return {
x: xMin + i * (xMax - xMin),
y: y,
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -4;
const yMax = 2;
const x = 0;
return {
x: x,
y: yMin + i * (yMax - yMin),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 2 + 2 * Math.cos(angle),
y: -1 + 2 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const center = { x: 2, y: -1 };
const radius = 2;
const angle = 0;
return {
x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const xMin = -1;
const xMax = 5;
const y = 0;
return {
x: xMin + i * (xMax - xMin),
y: y,
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -4;
const yMax = 2;
const x = 0;
return {
x: x,
y: yMin + i * (yMax - yMin),
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
Die Gleichung des obigen Kreises lautet $$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 4$$, weil der Mittelpunkt $$P(2,-1)$$ und der Radius $$2$$ ist, also $$r^2 = 2^2 = 4$$.
Visible text: Die Gleichung des obigen Kreises lautet , weil der Mittelpunkt und der Radius ist, also .
## Allgemeine Form der Kreisgleichung
Manchmal liegen Kreisgleichungen bereits in allgemeiner Form vor. Wenn wir beispielsweise die Gleichung $$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$$ ausmultiplizieren:
Visible text: Manchmal liegen Kreisgleichungen bereits in allgemeiner Form vor. Wenn wir beispielsweise die Gleichung ausmultiplizieren:
Component: MathContainer
Children:
```math
(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9
```
```math
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 9
```
```math
x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 9
```
```math
x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0
```
Diese letzte Form wird **allgemeine Form der Kreisgleichung** genannt:
```math
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
```
Eine Gleichung in allgemeiner Form lässt sich durch **Quadratvervollständigung** wieder in die Standardform umwandeln.
> Nicht alle Gleichungen der Form $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$ beschreiben einen nicht entarteten reellen Kreis. Dafür muss $$D^2 + E^2 - 4F > 0$$ gelten. Ist der Wert null, bleibt nur ein einzelner Punkt. Ist er negativ, erfüllt kein reeller Punkt die Gleichung, sodass sie keinen reellen Kreis beschreibt.
Visible text: > Nicht alle Gleichungen der Form beschreiben einen nicht entarteten reellen Kreis. Dafür muss gelten. Ist der Wert null, bleibt nur ein einzelner Punkt. Ist er negativ, erfüllt kein reeller Punkt die Gleichung, sodass sie keinen reellen Kreis beschreibt.
Die Quadratvervollständigung zeigt, woher die Formeln für Mittelpunkt und Radius stammen:
Component: MathContainer
Children:
```math
x^2 + Dx = \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 - \frac{D^2}{4}
```
```math
y^2 + Ey = \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 - \frac{E^2}{4}
```
```math
\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}
```
## Bestimmung von Mittelpunkt und Radius
Aus der Standardform $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$ können wir direkt erkennen:
Visible text: Aus der Standardform können wir direkt erkennen:
Der Mittelpunkt liegt bei $$(a,b)$$ und der Radius beträgt $$r$$ (erhalten aus $$r = \sqrt{r^2}$$).
Visible text: Der Mittelpunkt liegt bei und der Radius beträgt (erhalten aus ).
Aus der allgemeinen Form $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$ können wir Folgendes bestimmen:
Visible text: Aus der allgemeinen Form können wir Folgendes bestimmen:
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Mittelpunkt:} \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)
```
```math
\text{Radius:} r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}
```
## Übungsaufgaben
1. Bestimme die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt $$(3,-2)$$ und Radius $$5$$.
2. Gegeben ist $$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$. Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises.
3. Ein Kreis verläuft durch $$(6,-8)$$ und hat den Mittelpunkt $$O(0,0)$$. Bestimme seine Gleichung.
4. Bestimme die Gleichung eines Kreises, dessen Durchmesser die Endpunkte $$A(1,3)$$ und $$B(7,-1)$$ hat.
Visible text: 1. Bestimme die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt und Radius .
2. Gegeben ist . Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises.
3. Ein Kreis verläuft durch und hat den Mittelpunkt . Bestimme seine Gleichung.
4. Bestimme die Gleichung eines Kreises, dessen Durchmesser die Endpunkte und hat.
### Ausführliche Lösungen
1. **Lösung**:
Gegeben sind der Mittelpunkt $$(a,b) = (3,-2)$$ und der Radius $$r = 5$$.
Wir setzen beide Werte in die Standardform ein:
```math
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
```
```math
(x-3)^2 + (y-(-2))^2 = 5^2
```
```math
(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25
```
Die Kreisgleichung lautet also $$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$$.
2. **Lösung**:
Aus der Gleichung $$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$ ermitteln wir die Koeffizienten:
$$D = -6$$, $$E = 4$$, $$F = -12$$
```math
\text{Mittelpunkt:} \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right) = \left(-\frac{(-6)}{2}, -\frac{4}{2}\right) = (3, -2)
```
```math
r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F} = \frac{1}{2}\sqrt{(-6)^2 + 4^2 - 4(-12)}
```
```math
r = \frac{1}{2}\sqrt{36 + 16 + 48} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = \frac{1}{2} \times 10 = 5
```
Der Kreismittelpunkt liegt also bei $$(3,-2)$$ mit dem Radius $$5$$.
3. **Lösung**:
Da der Mittelpunkt des Kreises bei $$O(0,0)$$ liegt und durch den Punkt $$(6,-8)$$ verläuft, ist der Radius der Abstand vom Mittelpunkt zu diesem Punkt.
```math
r = \sqrt{(6-0)^2 + (-8-0)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
```
Die Kreisgleichung: $$x^2 + y^2 = r^2 = 10^2 = 100$$
4. **Lösung**:
Der Kreismittelpunkt ist der Mittelpunkt des Durchmessers $$AB$$:
```math
\text{Mittelpunkt} = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{1+7}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{2}{2}\right) = (4, 1)
```
Der Radius ist die halbe Durchmesserlänge:
```math
\text{Länge} AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} = \sqrt{(7-1)^2 + (-1-3)^2}
```
```math
= \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}
```
```math
r = \frac{\text{Durchmesser}}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}
```
Die Kreisgleichung: $$(x-4)^2 + (y-1)^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$$
Visible text: 1. **Lösung**:
Gegeben sind der Mittelpunkt und der Radius .
Wir setzen beide Werte in die Standardform ein:
Die Kreisgleichung lautet also .
2. **Lösung**:
Aus der Gleichung ermitteln wir die Koeffizienten:
, ,
Der Kreismittelpunkt liegt also bei mit dem Radius .
3. **Lösung**:
Da der Mittelpunkt des Kreises bei liegt und durch den Punkt verläuft, ist der Radius der Abstand vom Mittelpunkt zu diesem Punkt.
Die Kreisgleichung:
4. **Lösung**:
Der Kreismittelpunkt ist der Mittelpunkt des Durchmessers :
Der Radius ist die halbe Durchmesserlänge:
Die Kreisgleichung: