# Lage einer Geraden zu einem Kreis > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/analytische-geometrie/lage-einer-geraden-zum-kreis Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/position-of-a-line-to-a-circle/de.mdx Bestimme mit Diskriminante, Schnittpunkten und Tangentenbedingungen, ob eine Gerade einen Kreis schneidet, berührt oder verfehlt. --- ## Wie eine Gerade zu einem Kreis liegen kann Zeichnen wir einen Kreis und eine Gerade in dieselbe Ebene, sind genau drei Lagebeziehungen möglich. Die Gerade kann den Kreis **in zwei Punkten schneiden**, ihn **in genau einem Punkt berühren** oder ihn **vollständig verfehlen**. Ein Bleistift über einem Ring liefert ein einfaches Bild dafür: Er kann durch die Ringfläche verlaufen, nur den Rand berühren oder ganz außerhalb liegen. Diese Lagebeziehung ist ein Grundproblem der analytischen Geometrie. Mit demselben Verfahren lässt sich etwa prüfen, ob eine geplante Straße ein kreisförmiges Schutzgebiet durchquert oder ob eine Flugbahn eine festgelegte Zone berührt. ## Die drei Lagebeziehungen Die Grafik zeigt alle drei Fälle gleichzeitig: Component: LineEquation Props: - title: Lage einer Geraden zu einem Kreis - description: Die Darstellung vergleicht Sekante, Tangente und eine Gerade ohne gemeinsamen Punkt mit dem Kreis. - data: [ { points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => { const angle = (i * Math.PI) / 180; return { x: 3 * Math.cos(angle), y: 3 * Math.sin(angle), z: 0, }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => { const xMin = -5; const xMax = 5; const y = 4.5; // Gerade ohne Schnittpunkt return { x: xMin + i * (xMax - xMin), y: y, z: 0, }; }), color: "#ea580c", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: "Kein Schnittpunkt", at: 1, offset: [-2, 0.5, 0] }], }, { points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => { const xMin = -5; const xMax = 5; const y = 3; // Tangente return { x: xMin + i * (xMax - xMin), y: y, z: 0, }; }), color: "#0891b2", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: "Tangente", at: 1, offset: [-2, 0.5, 0] }], }, { points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => { const xMin = -5; const xMax = 5; const y = 1; // Sekante return { x: xMin + i * (xMax - xMin), y: y, z: 0, }; }), color: "#0d9488", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: "Zwei Schnittpunkte", at: 1, offset: [-2, 0.5, 0] }], }, { points: Array.from({ length: 1 }, () => { return { x: 0, y: 0, z: 0, }; }), color: "#e11d48", showPoints: true, labels: [{ text: ... [truncated; 1659 chars] - cameraPosition: [0, 0, 14] - showZAxis: false Die oberste Gerade besitzt keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis. Die mittlere berührt ihn in genau einem Punkt. Die untere verläuft durch den Kreis und hat deshalb zwei Schnittpunkte. 1. Eine **Sekante** verläuft durch das Kreisinnere und trifft den Kreisrand in zwei verschiedenen Punkten. 2. Eine **Tangente** berührt den Kreisrand in genau einem Punkt. 3. Eine **Passante** liegt vollständig außerhalb des Kreises und besitzt keinen Schnittpunkt mit ihm. ## Entscheidung mit der Diskriminante Um die Lage rechnerisch zu bestimmen, setzen wir die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein. Dadurch entsteht eine quadratische Gleichung. Ihre **Diskriminante** verrät, wie viele reelle Schnittpunkte existieren. Gegeben seien eine Gerade $$y = mx + c$$ und ein Kreis $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$. Visible text: Gegeben seien eine Gerade und ein Kreis . Im ersten Schritt wird jedes $$y$$ der Kreisgleichung durch $$mx + c$$ ersetzt: Visible text: Im ersten Schritt wird jedes der Kreisgleichung durch ersetzt: Component: MathContainer Children: ```math x^2 + (mx + c)^2 + Dx + E(mx + c) + F = 0 ``` ```math x^2 + m^2x^2 + 2mcx + c^2 + Dx + Emx + Ec + F = 0 ``` ```math (1 + m^2)x^2 + (2mc + D + Em)x + (c^2 + Ec + F) = 0 ``` Nach der Substitution entsteht eine quadratische Gleichung der Form $$Ax^2 + Bx + C = 0$$. Die Großbuchstaben unterscheiden diese Koeffizienten von der Konstanten $$c$$ in der Geradengleichung: Visible text: Nach der Substitution entsteht eine quadratische Gleichung der Form . Die Großbuchstaben unterscheiden diese Koeffizienten von der Konstanten in der Geradengleichung: Component: MathContainer Children: ```math A = 1 + m^2 ``` ```math B = 2mc + D + Em ``` ```math C = c^2 + Ec + F ``` Anschließend berechnen wir die **Diskriminante**. Ihr Vorzeichen bestimmt die Anzahl der reellen Lösungen: ```math \Delta = B^2 - 4AC ``` ## Das Vorzeichen geometrisch deuten Jede reelle Lösung für $$x$$ gehört zu einem Schnittpunkt. Deshalb ergeben sich drei Fälle: Visible text: Jede reelle Lösung für gehört zu einem Schnittpunkt. Deshalb ergeben sich drei Fälle: 1. Bei **positiver Diskriminante** ($$\Delta > 0$$) hat die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen. Die Gerade ist eine Sekante und **schneidet den Kreis in zwei Punkten**. 2. Bei **Diskriminante null** ($$\Delta = 0$$) gibt es eine doppelte reelle Lösung. Die Gerade ist eine Tangente und **berührt den Kreis in einem Punkt**. 3. Bei **negativer Diskriminante** ($$\Delta < 0$$) gibt es keine reelle Lösung. Die Gerade ist eine Passante und **schneidet den Kreis nicht**. Visible text: 1. Bei **positiver Diskriminante** () hat die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen. Die Gerade ist eine Sekante und **schneidet den Kreis in zwei Punkten**. 2. Bei **Diskriminante null** () gibt es eine doppelte reelle Lösung. Die Gerade ist eine Tangente und **berührt den Kreis in einem Punkt**. 3. Bei **negativer Diskriminante** () gibt es keine reelle Lösung. Die Gerade ist eine Passante und **schneidet den Kreis nicht**. ## Beispielrechnung Betrachten wir die Gerade $$y = 2x - 1$$ und den Kreis $$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$$. Visible text: Betrachten wir die Gerade und den Kreis . Wir setzen $$y = 2x - 1$$ in die Kreisgleichung ein: Visible text: Wir setzen in die Kreisgleichung ein: Component: MathContainer Children: ```math x^2 + (2x - 1)^2 - 4x + 2(2x - 1) - 4 = 0 ``` ```math x^2 + 4x^2 - 4x + 1 - 4x + 4x - 2 - 4 = 0 ``` ```math 5x^2 - 4x - 5 = 0 ``` Aus $$5x^2 - 4x - 5 = 0$$ lesen wir $$a = 5$$, $$b = -4$$ und $$c = -5$$ ab. Visible text: Aus lesen wir , und ab. Damit folgt für die Diskriminante: Component: MathContainer Children: ```math \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(5)(-5) ``` ```math \Delta = 16 + 100 = 116 ``` Weil $$\Delta = 116 > 0$$ gilt, schneidet die Gerade $$y = 2x - 1$$ **den Kreis in zwei Punkten**. Visible text: Weil gilt, schneidet die Gerade **den Kreis in zwei Punkten**. > Das Vorzeichen der Diskriminante bestimmt die Zahl der Schnittpunkte. Ihre Größe allein ist jedoch kein geometrischer Abstand der Geraden von der Tangente, denn sie hängt auch von der Skalierung der Gleichung ab. ## Sonderfall: Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung Für einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung, $$x^2 + y^2 = r^2$$, und eine Gerade $$y = mx + c$$ wird die Rechnung kürzer. Visible text: Für einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung, , und eine Gerade wird die Rechnung kürzer. Wir setzen die Gerade in die Kreisgleichung ein: Component: MathContainer Children: ```math x^2 + (mx + c)^2 = r^2 ``` ```math x^2 + m^2x^2 + 2mcx + c^2 = r^2 ``` ```math (1 + m^2)x^2 + 2mcx + (c^2 - r^2) = 0 ``` Die Diskriminante für diesen Fall ist: ```math \Delta = (2mc)^2 - 4(1 + m^2)(c^2 - r^2) ``` Nach der Vereinfachung: ```math \Delta = 4[r^2(1 + m^2) - c^2] ``` Das Vorzeichen wird genauso gedeutet wie zuvor: positiv für zwei, null für einen und negativ für keinen Schnittpunkt. ## Übungen mit vollständigen Lösungen 1. Bestimme die Lage der Geraden $$y = x + 3$$ zum Kreis $$x^2 + y^2 = 8$$. 2. Untersuche die Lage der Geraden $$y = -2x + 5$$ zum Kreis $$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$$. 3. Gegeben sind die Gerade $$2x + y - 4 = 0$$ und der Kreis $$x^2 + y^2 = 5$$. Welche Lagebeziehung haben sie? 4. Bestimme $$k$$ so, dass die Gerade $$y = x + k$$ den Kreis $$x^2 + y^2 = 18$$ berührt. Visible text: 1. Bestimme die Lage der Geraden zum Kreis . 2. Untersuche die Lage der Geraden zum Kreis . 3. Gegeben sind die Gerade und der Kreis . Welche Lagebeziehung haben sie? 4. Bestimme so, dass die Gerade den Kreis berührt. ### Lösungen 1. **Lösung**: Setze $$y = x + 3$$ in $$x^2 + y^2 = 8$$ ein: ```math x^2 + (x + 3)^2 = 8 ``` ```math x^2 + x^2 + 6x + 9 = 8 ``` ```math 2x^2 + 6x + 1 = 0 ``` Diskriminante: $$\Delta = 6^2 - 4(2)(1) = 36 - 8 = 28$$ Weil $$\Delta = 28 > 0$$ gilt, **schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten**. 2. **Lösung**: Setze $$y = -2x + 5$$ in $$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$$ ein: ```math x^2 + (-2x + 5)^2 - 6x + 4(-2x + 5) + 9 = 0 ``` ```math x^2 + 4x^2 - 20x + 25 - 6x - 8x + 20 + 9 = 0 ``` ```math 5x^2 - 34x + 54 = 0 ``` Diskriminante: $$\Delta = (-34)^2 - 4(5)(54) = 1156 - 1080 = 76$$ Weil $$\Delta = 76 > 0$$ gilt, **schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten**. 3. **Lösung**: Stelle die Gerade $$2x + y - 4 = 0$$ nach $$y$$ um. Dadurch entsteht $$y = -2x + 4$$. Setze diese Form in $$x^2 + y^2 = 5$$ ein: ```math x^2 + (-2x + 4)^2 = 5 ``` ```math x^2 + 4x^2 - 16x + 16 = 5 ``` ```math 5x^2 - 16x + 11 = 0 ``` Diskriminante: $$\Delta = (-16)^2 - 4(5)(11) = 256 - 220 = 36$$ Weil $$\Delta = 36 > 0$$ gilt, **schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten**. 4. **Lösung**: Damit die Gerade den Kreis tangiert, muss die Diskriminante gleich Null sein. Setze $$y = x + k$$ in $$x^2 + y^2 = 18$$ ein: ```math x^2 + (x + k)^2 = 18 ``` ```math x^2 + x^2 + 2kx + k^2 = 18 ``` ```math 2x^2 + 2kx + (k^2 - 18) = 0 ``` Diskriminante: $$\Delta = (2k)^2 - 4(2)(k^2 - 18) = 4k^2 - 8k^2 + 144 = -4k^2 + 144$$ Für $$\Delta = 0$$: ```math -4k^2 + 144 = 0 ``` ```math 4k^2 = 144 ``` ```math k^2 = 36 ``` ```math k = \pm 6 ``` Damit sind $$k = 6$$ und $$k = -6$$ die beiden möglichen Werte. Visible text: 1. **Lösung**: Setze in ein: Diskriminante: Weil gilt, **schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten**. 2. **Lösung**: Setze in ein: Diskriminante: Weil gilt, **schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten**. 3. **Lösung**: Stelle die Gerade nach um. Dadurch entsteht . Setze diese Form in ein: Diskriminante: Weil gilt, **schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten**. 4. **Lösung**: Damit die Gerade den Kreis tangiert, muss die Diskriminante gleich Null sein. Setze in ein: Diskriminante: Für : Damit sind und die beiden möglichen Werte.