# Lage und Gleichung von Kreistangenten
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Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/position-of-a-tangent-line-to-a-circle/de.mdx
Konstruiere Kreistangenten aus einem Berührpunkt, einer Steigung oder einem äußeren Punkt, mit Visualisierungen und vollständigen Lösungen.
---
## Tangenten an Kreise verstehen
Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad auf einer kreisförmigen Bahn. Verlässt du die Bahn, ohne den Lenker zu drehen, folgt deine Richtung in diesem Moment der **Tangente**. Sie ist nicht irgendeine Gerade durch diesen Punkt, sondern die einzige Gerade, die dort senkrecht auf dem Radius steht.
Mathematisch trifft eine Tangente den Kreis in genau einem Punkt, dem **Berührpunkt**. Die Tangente steht immer **senkrecht** auf dem Radius zu diesem Punkt.
Diese senkrechte Beziehung zieht sich durch die ganze Lektion. Wir konstruieren eine Tangente in einem bekannten Punkt, bestimmen Tangenten mit gegebener Steigung und ziehen beide Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises.
## Tangente durch einen Punkt auf dem Kreis
Prüfe zuerst, ob der angegebene Berührpunkt wirklich auf dem Kreis liegt. Sein Radiusvektor wird dann zum Normalenvektor der Tangente.
Component: LineEquation
Props:
- title: Tangente durch einen Punkt auf dem Kreis
- description: Der Radius zum bekannten Berührpunkt ist ein Normalenvektor der Tangente.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 3;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
const angle = Math.PI / 4;
const radius = 3;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$T$$, at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const angle = Math.PI / 4;
const radius = 3;
const tangentPoint = {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
};
const radiusSlope = tangentPoint.y / tangentPoint.x;
const tangentSlope = -1 / radiusSlope;
const xRange = 4;
return {
x: tangentPoint.x + (i - 0.5) * xRange,
y: tangentPoint.y + tangentSlope * (i - 0.5) * xRange,
z: 0,
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Tangente", at: 1, offset: [1, 2, 0] }],
},
{
points: Array. ... [truncated; 1893 chars]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 3;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
const angle = Math.PI / 4;
const radius = 3;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const angle = Math.PI / 4;
const radius = 3;
const tangentPoint = {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
};
const radiusSlope = tangentPoint.y / tangentPoint.x;
const tangentSlope = -1 / radiusSlope;
const xRange = 4;
return {
x: tangentPoint.x + (i - 0.5) * xRange,
y: tangentPoint.y + tangentSlope * (i - 0.5) * xRange,
z: 0,
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Tangente", at: 1, offset: [1, 2, 0] }],
},
{
points: Array. ... [truncated; 1893 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Für den Kreis $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ und den Berührpunkt $$T(x_1,y_1)$$ gehen wir so vor.
Visible text: Für den Kreis und den Berührpunkt gehen wir so vor.
**Schritt** $$1$$: Prüfe, ob $$T$$ auf dem Kreis liegt.
Visible text: **Schritt** : Prüfe, ob auf dem Kreis liegt.
```math
(x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2
```
**Schritt** $$2$$: Der Radiusvektor ist ein Normalenvektor der Tangente.
Visible text: **Schritt** : Der Radiusvektor ist ein Normalenvektor der Tangente.
```math
\vec{OT}=(x_1-a,\,y_1-b)
```
**Schritt** $$3$$: Setze diesen Normalenvektor in die Geradengleichung durch $$T$$ ein.
Visible text: **Schritt** : Setze diesen Normalenvektor in die Geradengleichung durch ein.
```math
(x_1-a)(x-x_1)+(y_1-b)(y-y_1)=0
```
Mit der Punktbedingung aus Schritt $$1$$ erhalten wir die **Berührpunktform**:
Visible text: Mit der Punktbedingung aus Schritt erhalten wir die **Berührpunktform**:
```math
(x - a)(x_1 - a) + (y - b)(y_1 - b) = r^2
```
> Weil diese Herleitung einen Normalenvektor statt einer Steigung verwendet, funktionieren auch vertikale und horizontale Tangenten ohne Sonderfall.
## Tangente mit gegebener Steigung
Ist der Berührpunkt unbekannt, aber die Steigung gegeben, muss der Achsenabschnitt die Gerade genau einen Radius vom Mittelpunkt entfernt platzieren. Dieser Fall tritt etwa auf, wenn die Tangente zu einer anderen Geraden parallel sein soll.
Component: LineEquation
Props:
- title: Tangente mit gegebener Steigung
- description: Eine Steigung bestimmt zwei parallele Tangenten auf beiden Seiten des Mittelpunkts.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2.5;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const m = 1; // given slope
const r = 2.5;
const c1 = r * Math.sqrt(1 + m * m);
const xRange = 6;
return {
x: -xRange/2 + i * xRange,
y: m * (-xRange/2 + i * xRange) + c1,
z: 0,
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Tangente 1", at: 0, offset: [0.5, 2.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const m = 1; // given slope
const r = 2.5;
const c2 = -r * Math.sqrt(1 + m * m);
const xRange = 6;
return {
x: -xRange/2 + i * xRange,
y: m * (-xRange/2 + i * xRange) + c2,
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Tangente 2", at: 1, offset: [0.5, -1.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const xMin = -5;
const xMax = 5;
const y = ... [truncated; 1522 chars]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2.5;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const m = 1; // given slope
const r = 2.5;
const c1 = r * Math.sqrt(1 + m * m);
const xRange = 6;
return {
x: -xRange/2 + i * xRange,
y: m * (-xRange/2 + i * xRange) + c1,
z: 0,
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Tangente 1", at: 0, offset: [0.5, 2.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const m = 1; // given slope
const r = 2.5;
const c2 = -r * Math.sqrt(1 + m * m);
const xRange = 6;
return {
x: -xRange/2 + i * xRange,
y: m * (-xRange/2 + i * xRange) + c2,
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Tangente 2", at: 1, offset: [0.5, -1.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const xMin = -5;
const xMax = 5;
const y = ... [truncated; 1522 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Für den Kreis $$x^2 + y^2 = r^2$$ und die bekannte Steigung $$m$$ setzen wir die Geradengleichung $$y = mx + c$$ in die Kreisgleichung ein:
Visible text: Für den Kreis und die bekannte Steigung setzen wir die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein:
Component: MathContainer
Children:
```math
x^2 + (mx + c)^2 = r^2
```
```math
x^2 + m^2x^2 + 2mcx + c^2 = r^2
```
```math
(1 + m^2)x^2 + 2mcx + (c^2 - r^2) = 0
```
Da die Gerade den Kreis tangiert, muss die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung Null sein:
Component: MathContainer
Children:
```math
\Delta = (2mc)^2 - 4(1 + m^2)(c^2 - r^2) = 0
```
```math
4m^2c^2 - 4(1 + m^2)(c^2 - r^2) = 0
```
```math
m^2c^2 - (1 + m^2)c^2 + (1 + m^2)r^2 = 0
```
```math
-c^2 + (1 + m^2)r^2 = 0
```
```math
c^2 = (1 + m^2)r^2
```
Für den Achsenabschnitt ergibt sich:
```math
c = \pm r\sqrt{1 + m^2}
```
Für jede endliche Steigung $$m$$ besitzt der Kreis um den Ursprung damit **zwei parallele Tangenten**:
Visible text: Für jede endliche Steigung besitzt der Kreis um den Ursprung damit **zwei parallele Tangenten**:
```math
y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}
```
## Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises
Ein Punkt außerhalb des Kreises bestimmt genau **zwei Tangenten**. Ihre beiden Berührpunkte liegen auf einer gemeinsamen Hilfsgeraden, der Polaren des äußeren Punkts.
Component: LineEquation
Props:
- title: Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises
- description: Ein äußerer Punkt bestimmt zwei Berührpunkte und zwei Tangenten.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 4,
y: 2,
z: 0,
};
}),
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P$$, at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
// Erster Berührpunkt (mathematisch berechnet)
const px = 4, py = 2, r = 2;
const d = Math.sqrt(px*px + py*py);
const angle1 = Math.atan2(py, px) - Math.acos(r/d);
return {
x: r * Math.cos(angle1),
y: r * Math.sin(angle1),
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$T_1$$, at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
// Zweiter Berührpunkt (mathematisch berechnet)
const px = 4, py = 2, r = 2;
const d = Math.sqrt(px*px + py*py);
const angle2 = Math.atan2(py, px) + Math.acos(r/d);
return {
x: r * Math.cos(angle2),
y: ... [truncated; 2622 chars]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 4,
y: 2,
z: 0,
};
}),
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
// Erster Berührpunkt (mathematisch berechnet)
const px = 4, py = 2, r = 2;
const d = Math.sqrt(px*px + py*py);
const angle1 = Math.atan2(py, px) - Math.acos(r/d);
return {
x: r * Math.cos(angle1),
y: r * Math.sin(angle1),
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
// Zweiter Berührpunkt (mathematisch berechnet)
const px = 4, py = 2, r = 2;
const d = Math.sqrt(px*px + py*py);
const angle2 = Math.atan2(py, px) + Math.acos(r/d);
return {
x: r * Math.cos(angle2),
y: ... [truncated; 2622 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Der Punkt $$P(x_0,y_0)$$ liege außerhalb des Kreises $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$. Seine **Polare** lautet:
Visible text: Der Punkt liege außerhalb des Kreises . Seine **Polare** lautet:
```math
(x-a)(x_0-a) + (y-b)(y_0-b) = r^2
```
Für einen äußeren Punkt ist die Polare die **Berührsehne**, also die Gerade durch beide Berührpunkte. Die Konstruktion lautet:
1. Stelle die Gleichung der Polaren auf.
2. Schneide sie mit dem Kreis, um beide Berührpunkte zu finden.
3. Konstruiere mit jedem Berührpunkt eine Tangente durch $$P$$.
Visible text: 1. Stelle die Gleichung der Polaren auf.
2. Schneide sie mit dem Kreis, um beide Berührpunkte zu finden.
3. Konstruiere mit jedem Berührpunkt eine Tangente durch .
> Die Polare ist nicht selbst eine der beiden Tangenten. Sie verbindet deren Berührpunkte.
## Beispiel mit vollständigem Rechenweg
Bestimme beide Tangenten von $$B(2,6)$$ an den Kreis $$L \equiv (x+1)^2+(y-2)^2=9$$.
Visible text: Bestimme beide Tangenten von an den Kreis .
**Schritt** $$1$$: Stelle die Polare von $$B(2,6)$$ bezüglich des Kreises auf.
Visible text: **Schritt** : Stelle die Polare von bezüglich des Kreises auf.
Component: MathContainer
Children:
```math
(x-(-1))(2-(-1)) + (y-2)(6-2) = 9
```
```math
(x+1)(3) + (y-2)(4) = 9
```
```math
3x + 3 + 4y - 8 = 9
```
```math
3x + 4y = 14
```
**Schritt** $$2$$: Schneide die Polare $$3x+4y=14$$ mit dem Kreis. Aus der Geradengleichung folgt $$x=\frac{14-4y}{3}$$. Setze diesen Ausdruck in die Kreisgleichung ein.
Visible text: **Schritt** : Schneide die Polare mit dem Kreis. Aus der Geradengleichung folgt . Setze diesen Ausdruck in die Kreisgleichung ein.
Component: MathContainer
Children:
```math
(\frac{14-4y}{3} + 1)^2 + (y-2)^2 = 9
```
```math
(\frac{17-4y}{3})^2 + (y-2)^2 = 9
```
**Schritt** $$3$$: Löse die quadratische Gleichung für die beiden möglichen $$y$$-Koordinaten.
Visible text: **Schritt** : Löse die quadratische Gleichung für die beiden möglichen -Koordinaten.
Component: MathContainer
Children:
```math
(17-4y)^2+9(y-2)^2=81
```
```math
25y^2-172y+244=0
```
```math
y=\frac{172\pm\sqrt{172^2-4(25)(244)}}{50}=\frac{172\pm72}{50}
```
```math
y_1=\frac{122}{25}\quad\text{und}\quad y_2=2
```
**Schritt** $$4$$: Setze beide Werte in die Polare ein, um die Berührpunkte zu erhalten.
Visible text: **Schritt** : Setze beide Werte in die Polare ein, um die Berührpunkte zu erhalten.
Component: MathContainer
Children:
```math
x_1=\frac{14-4\left(\frac{122}{25}\right)}{3}=-\frac{46}{25}
```
```math
x_2=\frac{14-4(2)}{3}=2
```
```math
T_1\left(-\frac{46}{25},\frac{122}{25}\right),\qquad T_2(2,2)
```
**Schritt** $$5$$: Setze jeden Berührpunkt in die Berührpunktform des Kreises ein.
Visible text: **Schritt** : Setze jeden Berührpunkt in die Berührpunktform des Kreises ein.
Component: MathContainer
Children:
```math
-\frac{21}{25}(x+1)+\frac{72}{25}(y-2)=9\quad\Longrightarrow\quad -7x+24y=130
```
```math
3(x+1)=9\quad\Longrightarrow\quad x=2
```
Beide Geraden verlaufen durch $$B(2,6)$$ und berühren den Kreis genau einmal. Damit sind sie die gesuchten Tangenten.
Visible text: Beide Geraden verlaufen durch und berühren den Kreis genau einmal. Damit sind sie die gesuchten Tangenten.
## Übungen
1. Bestimme die Tangente an den Kreis $$x^2 + y^2 = 25$$ im Punkt $$(3, 4)$$.
2. Finde die Tangenten an den Kreis $$x^2 + y^2 = 16$$, die parallel zur Geraden $$y = 2x + 5$$ verlaufen.
3. Bestimme die Tangenten an den Kreis $$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 8$$, die durch den Punkt $$(4, 2)$$ verlaufen.
4. Ein Kreis hat die Gleichung $$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$$. Bestimme die Tangenten, die senkrecht zur Geraden $$x + 2y = 7$$ stehen.
Visible text: 1. Bestimme die Tangente an den Kreis im Punkt .
2. Finde die Tangenten an den Kreis , die parallel zur Geraden verlaufen.
3. Bestimme die Tangenten an den Kreis , die durch den Punkt verlaufen.
4. Ein Kreis hat die Gleichung . Bestimme die Tangenten, die senkrecht zur Geraden stehen.
### Ausführliche Lösungen
1. **Lösung**:
Der Kreis $$x^2 + y^2 = 25$$ hat den Mittelpunkt $$O(0,0)$$ und den Radius $$r=5$$. Der Berührpunkt ist $$T(3,4)$$.
Setze diese Werte in die Berührpunktform $$(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$$ ein.
```math
(x-0)(3-0) + (y-0)(4-0) = 25
```
```math
3x + 4y = 25
```
Daher lautet die Tangentengleichung $$3x + 4y = 25$$.
2. **Lösung**:
Eine Gerade parallel zu $$y = 2x + 5$$ hat die Steigung $$m = 2$$.
Für den Kreis $$x^2 + y^2 = 16$$ mit $$r=4$$ verwenden wir:
```math
y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}
```
```math
y = 2x \pm 4\sqrt{1 + 4}
```
```math
y = 2x \pm 4\sqrt{5}
```
Daher gibt es zwei Tangenten: $$y = 2x + 4\sqrt{5}$$ und $$y = 2x - 4\sqrt{5}$$.
3. **Lösung**:
Kreis $$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 8$$ hat Mittelpunkt $$(1,-2)$$ und $$r^2 = 8$$.
Die Polare des Punkts $$(4,2)$$ lautet:
```math
(x-1)(4-1) + (y-(-2))(2-(-2)) = 8
```
```math
3(x-1) + 4(y+2) = 8
```
```math
3x - 3 + 4y + 8 = 8
```
```math
3x + 4y = 3
```
Verschiebe den Mittelpunkt mit $$u=x-1$$ und $$v=y+2$$ in den Ursprung. Kreis und Polare werden zu:
```math
u^2+v^2=8,\qquad 3u+4v=8
```
```math
u=\frac{8-4v}{3}
```
```math
25v^2-64v-8=0
```
```math
v=\frac{32\pm6\sqrt{34}}{25}
```
Durch Rücksubstitution erhalten wir die beiden Berührpunkte:
```math
T_1\left(\frac{49-8\sqrt{34}}{25},\frac{-18+6\sqrt{34}}{25}\right)
```
```math
T_2\left(\frac{49+8\sqrt{34}}{25},\frac{-18-6\sqrt{34}}{25}\right)
```
Die Steigungen von $$(4,2)$$ zu diesen Punkten sind $$12-2\sqrt{34}$$ und $$12+2\sqrt{34}$$. Damit lauten die gesuchten Tangenten:
```math
y-2=(12-2\sqrt{34})(x-4)
```
```math
y-2=(12+2\sqrt{34})(x-4)
```
4. **Lösung**:
Wandeln Sie die Kreisgleichung in die Standardform um, indem Sie das Quadrat vervollständigen:
```math
x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0
```
```math
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 3 + 4 + 9
```
```math
(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16
```
Mittelpunkt $$(2,-3)$$, Radius $$r = 4$$.
Die Gerade $$x+2y=7$$ lässt sich als $$y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$ schreiben. Ihre Steigung ist daher $$m_1=-\frac{1}{2}$$.
Eine dazu senkrechte Gerade hat die Steigung $$m = 2$$.
Für den Kreis mit Mittelpunkt $$(2,-3)$$ gilt die Tangentengleichung mit Steigung $$2$$:
```math
y - (-3) = 2(x - 2) \pm 4\sqrt{1 + 4}
```
```math
y + 3 = 2x - 4 \pm 4\sqrt{5}
```
```math
y = 2x - 7 \pm 4\sqrt{5}
```
Daher sind die beiden Tangenten: $$y = 2x - 7 + 4\sqrt{5}$$ und $$y = 2x - 7 - 4\sqrt{5}$$.
Visible text: 1. **Lösung**:
Der Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius . Der Berührpunkt ist .
Setze diese Werte in die Berührpunktform ein.
Daher lautet die Tangentengleichung .
2. **Lösung**:
Eine Gerade parallel zu hat die Steigung .
Für den Kreis mit verwenden wir:
Daher gibt es zwei Tangenten: und .
3. **Lösung**:
Kreis hat Mittelpunkt und .
Die Polare des Punkts lautet:
Verschiebe den Mittelpunkt mit und in den Ursprung. Kreis und Polare werden zu:
Durch Rücksubstitution erhalten wir die beiden Berührpunkte:
Die Steigungen von zu diesen Punkten sind und . Damit lauten die gesuchten Tangenten:
4. **Lösung**:
Wandeln Sie die Kreisgleichung in die Standardform um, indem Sie das Quadrat vervollständigen:
Mittelpunkt , Radius .
Die Gerade lässt sich als schreiben. Ihre Steigung ist daher .
Eine dazu senkrechte Gerade hat die Steigung .
Für den Kreis mit Mittelpunkt gilt die Tangentengleichung mit Steigung :
Daher sind die beiden Tangenten: und .