# Lage eines Punktes relativ zu einem Kreis
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Bestimme mit der Punktpotenz, ob ein Punkt innerhalb, auf oder außerhalb eines Kreises liegt, und übe das Verfahren an vollständigen Beispielen.
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## Die Lage eines Punktes relativ zu einem Kreis
Für einen Kreis und einen Punkt gibt es genau drei Möglichkeiten: Der Punkt liegt innerhalb des Kreises, auf seiner Kreislinie oder außerhalb des Kreises.
Der gleiche Vergleich tritt in vereinfachten Reichweitenmodellen auf, etwa wenn geprüft wird, ob ein Ort innerhalb eines kreisförmig modellierten Funk- oder Radarbereichs liegt. Sobald das Kreismodell feststeht, liefert die Koordinatengeometrie eine eindeutige Antwort.
Kreisgleichung und Punktkoordinaten liefern eine mathematisch eindeutige Einordnung.
## Potenz eines Punktes
Zur Einordnung verwenden wir die **Potenz eines Punktes bezüglich des Kreises**. Sie ist eine vorzeichenbehaftete algebraische Größe und kein gewöhnlicher Abstand. Für einen Kreis mit Mittelpunkt $$(a,b)$$ und Radius $$r$$ gilt:
Visible text: Zur Einordnung verwenden wir die **Potenz eines Punktes bezüglich des Kreises**. Sie ist eine vorzeichenbehaftete algebraische Größe und kein gewöhnlicher Abstand. Für einen Kreis mit Mittelpunkt und Radius gilt:
```math
K_A = (x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 - r^2
```
Wenn wir Punkt $$A(x_0, y_0)$$ und einen Kreis mit der allgemeinen Gleichung $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$ haben, dann ist die Potenz von Punkt $$A$$ definiert als:
Visible text: Wenn wir Punkt und einen Kreis mit der allgemeinen Gleichung haben, dann ist die Potenz von Punkt definiert als:
```math
K_A = x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F
```
Einmaliges Einsetzen der Koordinaten liefert einen Wert, dessen Vorzeichen die Lage bestimmt.
## Drei mögliche Lagen
Der Wert der Punktpotenz unterscheidet drei mögliche Lagen:
1. **Der Punkt liegt innerhalb des Kreises**, wenn $$K_A < 0$$.
2. **Der Punkt liegt auf dem Kreis**, wenn $$K_A = 0$$.
3. **Der Punkt liegt außerhalb des Kreises**, wenn $$K_A > 0$$.
Visible text: 1. **Der Punkt liegt innerhalb des Kreises**, wenn .
2. **Der Punkt liegt auf dem Kreis**, wenn .
3. **Der Punkt liegt außerhalb des Kreises**, wenn .
Die drei Fälle sind in der folgenden Grafik dargestellt:
Component: LineEquation
Props:
- title: Lage eines Punktes relativ zum Kreis
- description: Darstellung der drei möglichen Lagen des Punktes $$A$$ relativ zum Kreis.
Visible text: Darstellung der drei möglichen Lagen des Punktes relativ zum Kreis.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: $$P(0,0)$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 1.5,
y: 1,
z: 0,
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [
{ text: <>$$A$$ (innen), at: 0, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
const angle = Math.PI / 6;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: <>$$B$$ (auf), at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 4.5,
y: 2,
z: 0,
};
}),
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [
{ text: <>$$C$$ (außen), at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const xMin = -5;
const xMax = 5;
const y = 0;
return {
x: xMin + i * (xMax - xMin),
y: y,
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: fals ... [truncated; 1428 chars]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 0,
y: 0,
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 1.5,
y: 1,
z: 0,
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [
{ text: <> (innen), at: 0, offset: [0, -0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
const angle = Math.PI / 6;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [
{ text: <> (auf), at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] },
],
},
{
points: Array.from({ length: 1 }, () => {
return {
x: 4.5,
y: 2,
z: 0,
};
}),
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [
{ text: <> (außen), at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] },
],
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{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const xMin = -5;
const xMax = 5;
const y = 0;
return {
x: xMin + i * (xMax - xMin),
y: y,
z: 0,
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: fals ... [truncated; 1428 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
## So wird die Lage bestimmt
Zuerst werden Kreisgleichung und Punktkoordinaten bestimmt. Danach setzen wir die Koordinaten in die Gleichung ein und prüfen das Vorzeichen des Ergebnisses.
Ist das Ergebnis negativ, liegt der Punkt im Inneren. Bei null liegt der Punkt auf dem Kreis. Ist es positiv, liegt der Punkt außerhalb des Kreises.
Versuchen wir es anhand eines konkreten Beispiels. Angenommen, wir haben den Punkt $$A(1, -2)$$ und den Kreis $$x^2 + y^2 = 25$$.
Visible text: Versuchen wir es anhand eines konkreten Beispiels. Angenommen, wir haben den Punkt und den Kreis .
Zuerst berechnen wir das Abstandsquadrat zum Mittelpunkt und ziehen dann $$r^2$$ ab:
Visible text: Zuerst berechnen wir das Abstandsquadrat zum Mittelpunkt und ziehen dann ab:
Component: MathContainer
Children:
```math
d_A^2 = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5
```
```math
K_A = d_A^2-r^2 = 5-25 = -20
```
Wegen $$K_A = -20 < 0$$ liegt $$A(1, -2)$$ innerhalb des Kreises.
Visible text: Wegen liegt innerhalb des Kreises.
> Für $$x^2 + y^2 = r^2$$ ist der Vergleich von $$d_A^2$$ mit $$r^2$$ gleichbedeutend mit der Vorzeichenprüfung von $$K_A=d_A^2-r^2$$.
Visible text: > Für ist der Vergleich von mit gleichbedeutend mit der Vorzeichenprüfung von .
## Anwendung auf die allgemeine Form
Hat der Kreis die allgemeine Form $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$, bleibt das Verfahren gleich. Wir setzen die Punktkoordinaten in die gesamte linke Seite ein und prüfen das Vorzeichen.
Visible text: Hat der Kreis die allgemeine Form , bleibt das Verfahren gleich. Wir setzen die Punktkoordinaten in die gesamte linke Seite ein und prüfen das Vorzeichen.
Zum Beispiel für Punkt $$A(1, -2)$$ und Kreis $$x^2 + y^2 - 8x - 2y - 8 = 0$$:
Visible text: Zum Beispiel für Punkt und Kreis :
Component: MathContainer
Children:
```math
K_A = 1^2 + (-2)^2 - 8(1) - 2(-2) - 8
```
```math
K_A = 1 + 4 - 8 + 4 - 8 = -7
```
Da $$K_A = -7 < 0$$, liegt der Punkt $$A(1, -2)$$ innerhalb des Kreises.
Visible text: Da , liegt der Punkt innerhalb des Kreises.
## Übungsaufgaben
1. Bestimme die Lage des Punktes $$A(3, 4)$$ relativ zum Kreis $$x^2 + y^2 = 16$$.
2. Untersuche, ob der Punkt $$B(6, -8)$$ auf dem Kreis $$x^2 + y^2 = 100$$ liegt.
3. Bestimme die Lage des Punktes $$C(2, 1)$$ relativ zum Kreis $$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$$.
4. Ein Kreis hat die Gleichung $$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$$. Bestimme die Lage von $$D(7, 2)$$ relativ zu diesem Kreis.
Visible text: 1. Bestimme die Lage des Punktes relativ zum Kreis .
2. Untersuche, ob der Punkt auf dem Kreis liegt.
3. Bestimme die Lage des Punktes relativ zum Kreis .
4. Ein Kreis hat die Gleichung . Bestimme die Lage von relativ zu diesem Kreis.
### Ausführliche Lösungen
1. **Lösung**:
Setze die Koordinaten des Punktes $$A(3, 4)$$ in die Kreisgleichung $$x^2 + y^2 = 16$$ ein:
```math
d_A^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
```
```math
K_A = d_A^2-r^2 = 25-16 = 9
```
Da $$K_A = 9 > 0$$, liegt $$A(3, 4)$$ außerhalb des Kreises.
2. **Lösung**:
Setze die Koordinaten des Punktes $$B(6, -8)$$ in die Kreisgleichung $$x^2 + y^2 = 100$$ ein:
```math
d_B^2 = 6^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100
```
```math
K_B = d_B^2-r^2 = 100-100 = 0
```
Da $$K_B = 0$$, liegt $$B(6, -8)$$ genau auf dem Kreis.
3. **Lösung**:
Setze die Koordinaten des Punktes $$C(2, 1)$$ in die Kreisgleichung $$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$$ ein:
```math
K_C = 2^2 + 1^2 - 4(2) + 6(1) - 12
```
```math
K_C = 4 + 1 - 8 + 6 - 12 = -9
```
Da $$K_C = -9 < 0$$, liegt der Punkt $$C(2, 1)$$ innerhalb des Kreises.
4. **Lösung**:
Der Kreis $$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$$ hat den Mittelpunkt $$(3, -2)$$ und den Radius $$r = 5$$.
Wir setzen $$D(7, 2)$$ ein:
```math
d_D^2 = (7-3)^2 + (2-(-2))^2 = 4^2 + 4^2
```
```math
d_D^2 = 16 + 16 = 32
```
```math
K_D = d_D^2-r^2 = 32-25 = 7
```
Da $$K_D = 7 > 0$$, liegt $$D(7, 2)$$ außerhalb des Kreises.
Visible text: 1. **Lösung**:
Setze die Koordinaten des Punktes in die Kreisgleichung ein:
Da , liegt außerhalb des Kreises.
2. **Lösung**:
Setze die Koordinaten des Punktes in die Kreisgleichung ein:
Da , liegt genau auf dem Kreis.
3. **Lösung**:
Setze die Koordinaten des Punktes in die Kreisgleichung ein:
Da , liegt der Punkt innerhalb des Kreises.
4. **Lösung**:
Der Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius .
Wir setzen ein:
Da , liegt außerhalb des Kreises.