# Position zweier Kreise

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Lagebeziehungen zweier Kreise anhand von Mittelpunktabstand und Radien bestimmen: schneidend, berührend, getrennt oder konzentrisch.

---

## Lagebeziehungen zweier Kreise

Zwei Seifenblasen liefern ein anschauliches Bild: Manchmal überlappen sie sich, manchmal berühren sie sich nur, und manchmal bleiben sie vollständig voneinander getrennt. Ganz ähnlich beschreiben wir in der Mathematik die **Lage zweier Kreise**.

In der analytischen Geometrie reichen die Mittelpunkte und Radien aus, um die Lage eindeutig zu bestimmen. Entscheidend ist der Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten.

Mit demselben Vergleich lässt sich prüfen, ob sich zwei kreisförmige Bereiche überlappen, berühren oder einen Abstand voneinander haben, etwa in Abdeckungskarten oder geometrischen Entwürfen.

## Sich schneidende Kreise

Zwei Kreise **schneiden sich**, wenn sie genau zwei gemeinsame Punkte haben. Anschaulich sieht das aus wie zwei Ringe, die sich überlappen.

Component: LineEquation
Props:
- title: Zwei sich schneidende Kreise
- description: Die beiden Kreislinien haben genau zwei gemeinsame Punkte.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 3;
const centerX = -1;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#2563eb",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2.5;
const centerX = 1.5;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -1, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P_1$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 1.5, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P_2$$, at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
// Schnittpunkte exakt berechnen
const r1 = 3, r2 = 2.5;
const x1 = -1, y1 = 0, x2 = 1.5, y2 = 0;
const d = Math.sqrt((x2-x1)**2 + (y2-y1)**2); // d = 2.5

// Abstand von Mittelpunkt 1 zur Potenzgeraden
const a = (r1**2 - r2**2 + d**2) / (2*d); // a = (9 - 6.25 + 6.25) / 5 = 1.8

// Höhe des Schnittpunkts über der Verbindungslinie der M ... [truncated; 1884 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 3;
const centerX = -1;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#2563eb",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2.5;
const centerX = 1.5;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -1, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 1.5, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
// Schnittpunkte exakt berechnen
const r1 = 3, r2 = 2.5;
const x1 = -1, y1 = 0, x2 = 1.5, y2 = 0;
const d = Math.sqrt((x2-x1)**2 + (y2-y1)**2); // d = 2.5

// Abstand von Mittelpunkt 1 zur Potenzgeraden
const a = (r1**2 - r2**2 + d**2) / (2*d); // a = (9 - 6.25 + 6.25) / 5 = 1.8

// Höhe des Schnittpunkts über der Verbindungslinie der M ... [truncated; 1884 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Für zwei Kreise mit den Radien $$r_1$$ und $$r_2$$ sowie dem Mittelpunktabstand $$d$$ gilt die Schnittbedingung:

Visible text: Für zwei Kreise mit den Radien und sowie dem Mittelpunktabstand gilt die Schnittbedingung:

```math
|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2
```

Die beiden strengen Grenzen erklären diese Bedingung:

- **Obergrenze**: Bei $$r_1 + r_2$$ berühren sich die Kreise von außen
- **Untere Grenze**: Bei $$|r_1 - r_2|$$ berührt der kleinere Kreis den größeren von innen
- **Zwischen den Grenzen**: Die Kreislinien schneiden sich in zwei Punkten

Visible text: - **Obergrenze**: Bei berühren sich die Kreise von außen
- **Untere Grenze**: Bei berührt der kleinere Kreis den größeren von innen
- **Zwischen den Grenzen**: Die Kreislinien schneiden sich in zwei Punkten

## Sich berührende Kreise

Zwei Kreise berühren sich tangential, wenn sie **genau einen gemeinsamen Punkt** haben. Zwei Zahnräder, die sich an einem Punkt berühren, liefern dafür ein anschauliches Bild.

Component: LineEquation
Props:
- title: Von außen berührende Kreise
- description: Die beiden Kreislinien haben genau einen gemeinsamen Punkt.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2.5;
const centerX = -2.5;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#059669",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2;
const centerX = 2;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -2.5, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P_1$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P_2$$, at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$T$$, at: 0, offset: [0, 0.8, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -6, y: 0, z: 0 },
{ x: 6, y: 0, z: 0 }
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: -4, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 }
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
}, ... [truncated; 1202 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2.5;
const centerX = -2.5;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#059669",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2;
const centerX = 2;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -2.5, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0, 0.8, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -6, y: 0, z: 0 },
{ x: 6, y: 0, z: 0 }
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: -4, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 }
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
}, ... [truncated; 1202 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Für zwei nicht identische Kreise gibt es zwei Berührungsfälle:

1. **Äußere Berührung** liegt vor, wenn $$d = r_1 + r_2$$ gilt. Die Kreise liegen außerhalb voneinander und berühren sich in einem Punkt.

2. **Innere Berührung** liegt vor, wenn $$d = |r_1 - r_2| > 0$$ gilt. Der kleinere Kreis liegt im größeren und berührt ihn in einem Punkt.

Visible text: 1. **Äußere Berührung** liegt vor, wenn gilt. Die Kreise liegen außerhalb voneinander und berühren sich in einem Punkt.

2. **Innere Berührung** liegt vor, wenn gilt. Der kleinere Kreis liegt im größeren und berührt ihn in einem Punkt.

Das nächste Diagramm zeigt eine innere Berührung:

Component: LineEquation
Props:
- title: Von innen berührende Kreise
- description: Der kleinere Kreis liegt im größeren und beide Kreislinien haben einen gemeinsamen Punkt.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 4;
const centerX = 0;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 1.5;
const centerX = 2.5;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P_1$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2.5, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P_2$$, at: 0, offset: [0, -0.8, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 }
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$T$$, at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -5, y: 0, z: 0 },
{ x: 5, y: 0, z: 0 }
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: -5, z: 0 },
{ x: 0, y: 5, z: 0 }
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 4;
const centerX = 0;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 1.5;
const centerX = 2.5;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2.5, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0, -0.8, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4, y: 0, z: 0 }
],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -5, y: 0, z: 0 },
{ x: 5, y: 0, z: 0 }
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: -5, z: 0 },
{ x: 0, y: 5, z: 0 }
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

## Getrennte Kreise

Zwei Kreise liegen außen getrennt, wenn sich weder ihre Kreislinien noch ihre Kreisflächen treffen.

Component: LineEquation
Props:
- title: Zwei getrennte Kreise
- description: Beide Kreise liegen weit auseinander und berühren sich nicht.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2;
const centerX = -3;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 1.5;
const centerX = 3;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#e11d48",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P_1$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P_2$$, at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ca8a04",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$d$$, at: 1, offset: [0, 0.8, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -6, y: 0, z: 0 },
{ x: 6, y: 0, z: 0 }
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: -4, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 }
],
color: "#d97706",
s ... [truncated; 1237 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2;
const centerX = -3;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 1.5;
const centerX = 3;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#e11d48",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ca8a04",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, 0.8, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -6, y: 0, z: 0 },
{ x: 6, y: 0, z: 0 }
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: -4, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 }
],
color: "#d97706",
s ... [truncated; 1237 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Der getrennte Zustand liegt vor, wenn der Abstand zwischen den Mittelpunkten größer ist als die Summe beider Radien:

```math
d > r_1 + r_2
```

In diesem Fall gehört kein Punkt zu beiden Kreisflächen.

## Konzentrische und zusammenfallende Kreise

**Konzentrische Kreise** haben denselben Mittelpunkt, aber unterschiedliche Radien, wie die Kreislinien auf einer Zielscheibe.

Component: LineEquation
Props:
- title: Konzentrische Kreise
- description: Zwei Kreise mit demselben Mittelpunkt, aber unterschiedlichen Radien.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 3.5;
const centerX = 0;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0284c7",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2;
const centerX = 0;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#65a30d",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ca8a04",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$r_1$$, at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3.5, y: 0, z: 0 }
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$r_2$$, at: 1, offset: [0, 0.8, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -5, y: 0, z: 0 },
{ x: 5, y: 0, z: 0 }
],
color: "#c026d3",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: -5, z: 0 },
{ x: 0, ... [truncated; 1272 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 3.5;
const centerX = 0;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#0284c7",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2;
const centerX = 0;
const centerY = 0;
return {
x: centerX + radius * Math.cos(angle),
y: centerY + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#65a30d",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 0, z: 0 }
],
color: "#ca8a04",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3.5, y: 0, z: 0 }
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, 0.8, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -5, y: 0, z: 0 },
{ x: 5, y: 0, z: 0 }
],
color: "#c026d3",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: -5, z: 0 },
{ x: 0, ... [truncated; 1272 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

Bei konzentrischen Kreisen beträgt der Abstand zwischen den Mittelpunkten Null ($$d = 0$$), aber die Radien sind unterschiedlich ($$r_1 \ne r_2$$).

Visible text: Bei konzentrischen Kreisen beträgt der Abstand zwischen den Mittelpunkten Null (), aber die Radien sind unterschiedlich ().

**Identische Kreise** sind ein Sonderfall: Beide Kreise haben denselben Mittelpunkt und denselben Radius. Deshalb liegen sie vollständig aufeinander und erscheinen als ein einziger Kreis.

Zwei Kreise sind identisch, wenn:

Component: MathContainer
Children:

```math
d = 0
```

```math
r_1 = r_2
```

## Die Lage bestimmen

Um zwei Kreise einzuordnen, berechnen wir ihren Mittelpunktabstand und vergleichen ihn mit der Summe und dem absoluten Unterschied der Radien.

Der erste Kreis habe den Mittelpunkt $$(x_1, y_1)$$ und den Radius $$r_1$$. Der zweite Kreis habe den Mittelpunkt $$(x_2, y_2)$$ und den Radius $$r_2$$.

Visible text: Der erste Kreis habe den Mittelpunkt und den Radius . Der zweite Kreis habe den Mittelpunkt und den Radius .

Der Abstand zwischen den Mittelpunkten wird nach folgender Formel berechnet:

```math
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
```

Unter der Annahme positiver Radien erfassen die folgenden Bedingungen alle Möglichkeiten, ohne sich zu überschneiden:

- **Identisch**: $$d = 0$$ und $$r_1 = r_2$$ (dieselbe Kreislinie)
- **Konzentrisch, aber verschieden**: $$d = 0$$ und $$r_1 \ne r_2$$ (gleicher Mittelpunkt, unterschiedliche Radien)
- **Ineinanderliegend, ohne Berührung und nicht konzentrisch**: $$0 < d < |r_1-r_2|$$ (ein Kreis liegt vollständig im anderen)
- **Innerlich tangential**: $$d = |r_1-r_2| > 0$$ (ein innerer Berührpunkt)
- **Sich schneidend**: $$|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$$ (zwei gemeinsame Punkte)
- **Äußerlich tangential**: $$d = r_1+r_2$$ (ein äußerer Berührpunkt)
- **Äußerlich getrennt**: $$d > r_1+r_2$$ (die beiden Kreisscheiben treffen sich nicht)

Visible text: - **Identisch**: und (dieselbe Kreislinie)
- **Konzentrisch, aber verschieden**: und (gleicher Mittelpunkt, unterschiedliche Radien)
- **Ineinanderliegend, ohne Berührung und nicht konzentrisch**: (ein Kreis liegt vollständig im anderen)
- **Innerlich tangential**: (ein innerer Berührpunkt)
- **Sich schneidend**: (zwei gemeinsame Punkte)
- **Äußerlich tangential**: (ein äußerer Berührpunkt)
- **Äußerlich getrennt**: (die beiden Kreisscheiben treffen sich nicht)

### Ausführliches Beispiel

Wir bestimmen die Lage der Kreise mit den Gleichungen $$x^2 + y^2 = 9$$ und $$x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$$.

Visible text: Wir bestimmen die Lage der Kreise mit den Gleichungen und .

**Schritt** $$1$$: Mittelpunkt und Radius beider Kreise bestimmen.

Visible text: **Schritt** : Mittelpunkt und Radius beider Kreise bestimmen.

Erster Kreis: Mittelpunkt $$(0, 0)$$, Radius $$r_1 = 3$$

Visible text: Erster Kreis: Mittelpunkt , Radius

Für den zweiten Kreis vervollständigen wir das Quadrat:

Component: MathContainer
Children:

```math
x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0
```

```math
(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = 9 + 16
```

```math
(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25
```

Zweiter Kreis: Mittelpunkt $$(3, 4)$$, Radius $$r_2 = 5$$

Visible text: Zweiter Kreis: Mittelpunkt , Radius

**Schritt** $$2$$: Abstand zwischen den Mittelpunkten berechnen.

Visible text: **Schritt** : Abstand zwischen den Mittelpunkten berechnen.

```math
d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
```

**Schritt** $$3$$: Mit Positionsbedingungen vergleichen.

Visible text: **Schritt** : Mit Positionsbedingungen vergleichen.

Component: MathContainer
Children:

```math
r_1 + r_2 = 3 + 5 = 8
```

```math
|r_1 - r_2| = |3 - 5| = 2
```

Da $$2 < 5 < 8$$ gilt, **schneiden sich die beiden Kreise**.

Visible text: Da gilt, **schneiden sich die beiden Kreise**.

Zur Kontrolle setzen wir die drei Werte in $$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$$ ein:

Visible text: Zur Kontrolle setzen wir die drei Werte in ein:

- $$|3 - 5| = 2$$
- $$3 + 5 = 8$$
- $$2 < 5 < 8$$ $$\checkmark$$ (Schnittbedingung erfüllt)

Visible text: - 
- 
- (Schnittbedingung erfüllt)