# Parabel

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/analytische-geometrie/parabel
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/parabola/de.mdx

Verstehe Parabeln über Scheitelpunkt, Brennpunkt und Leitlinie und leite ihre Gleichungen in vollständig gelösten Beispielen her.

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## Parabel verstehen

Wenn wir den Luftwiderstand vernachlässigen und die Erdbeschleunigung als konstant annehmen, verläuft die Flugbahn eines Basketballs **parabelförmig**. Der Wasserbogen eines Springbrunnens vermittelt ein ähnliches erstes Bild.

Ihre Form ist auch technisch nützlich. Parabolantennen bündeln Signale, Scheinwerferreflektoren lenken Licht und parabolische Bögen erscheinen in Brücken und moderner Architektur.

Besonders wichtig ist die **Reflexionseigenschaft**. Strahlen, die parallel zur Symmetrieachse eintreffen, werden durch einen parabolischen Spiegel zum **Brennpunkt** reflektiert. Umgekehrt verlassen Strahlen aus dem Brennpunkt den Spiegel parallel zur Achse. Deshalb eignen sich Parabeln zum Sammeln oder gezielten Aussenden von Energie.

Component: LineEquation
Props:
- title: Die Parabel $$y = ax^2$$ in Anwendungen
  Visible text: Die Parabel in Anwendungen
- description: Darstellung einer Parabel mit Brennpunkt $$F(0, \frac{1}{4a})$$ und Leitlinie $$y = -\frac{1}{4a}$$.
  Visible text: Darstellung einer Parabel mit Brennpunkt und Leitlinie .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const x = (i - 50) / 10; // x from -5 to 5
const y = 0.2 * x * x; // parabola y = 0.2x²
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [{ text: "Parabel", at: 80, offset: [1, 1, 0] }],
},
{
points: [{ x: 0, y: 1.25, z: 0 }], // focus at (0, 1/(4*0.2)) = (0, 1.25)
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: "Brennpunkt", at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }], // vertex of parabola
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: "Scheitelpunkt", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const x = -6 + i * 12;
const y = -1.25; // directrix at y = -1/(4*0.2) = -1.25
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Leitlinie", at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const xMin = -6;
const xMax = 6;
const y = 0;
return {
x: xMin + i * (xMax - xMin),
y: y,
z: 0,
};
}),
color: "#e11d48",
showPoints: false,
smooth: false,
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -2;
const yMax = 6;
const x = 0;
return {
x: x,
y: yMi ... [truncated; 1292 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

## Mathematische Definition

Mathematisch ist eine Parabel **die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt und einer festen Geraden den gleichen Abstand haben**. Der feste Punkt heißt **Brennpunkt**, die feste Gerade **Leitlinie**.

Beginnen wir also mit einem Brennpunkt und einer Leitlinie. Jeder Punkt, dessen Abstand zum Brennpunkt genauso groß ist wie sein senkrechter Abstand zur Leitlinie, liegt auf der Parabel.

Diese Definition gilt unabhängig davon, wo die Kurve liegt und in welche Richtung sie geöffnet ist. Entscheidend bleibt allein die Gleichheit der beiden Abstände.

> Für jeden Parabelpunkt ist der Abstand zum Brennpunkt genauso groß wie der senkrechte Abstand zur Leitlinie.

## Standardparabelgleichungen

Zunächst betrachten wir eine Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung $$O(0,0)$$. Je nach Öffnungsrichtung entstehen vier Standardformen.

Visible text: Zunächst betrachten wir eine Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung . Je nach Öffnungsrichtung entstehen vier Standardformen.

Component: LineEquation
Props:
- title: Vier Standardparabelformen mit Scheitelpunkt $$O(0,0)$$
  Visible text: Vier Standardparabelformen mit Scheitelpunkt
- description: Standardparabeln $$x^2 = 4py$$ (vertikal) und $$y^2 = 4px$$ (horizontal).
  Visible text: Standardparabeln (vertikal) und (horizontal).
- data: [
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const x = (i - 30) / 10; // x from -3 to 3
const y = 0.25 * x * x; // Parabel x² = 4py mit p=1
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [{ text: <>$$x^2=4py$$ (aufwärts)</>, at: 11, offset: [-3, 2, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const x = (i - 30) / 10; // x from -3 to 3
const y = -0.25 * x * x; // Parabel x² = -4py mit p=1
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [{ text: <>$$x^2=-4py$$ (nach unten)</>, at: 50, offset: [3, -2.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const y = (i - 30) / 10; // y from -3 to 3
const x = 0.25 * y * y; // Parabel y² = 4px mit p=1
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: <>$$y^2=4px$$ (nach rechts)</>, at: 50, offset: [3, 1.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const y = (i - 30) / 10; // y from -3 to 3
const x = -0.25 * y * y; // Parabel y² = -4px mit p=1
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
labels: [{ text: <>$$y^2=-4px$$ (nach links)</>, at: 11, offset: [-3, -1.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: ... [truncated; 1760 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const x = (i - 30) / 10; // x from -3 to 3
const y = 0.25 * x * x; // Parabel x² = 4py mit p=1
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [{ text: <> (aufwärts)</>, at: 11, offset: [-3, 2, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const x = (i - 30) / 10; // x from -3 to 3
const y = -0.25 * x * x; // Parabel x² = -4py mit p=1
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [{ text: <> (nach unten)</>, at: 50, offset: [3, -2.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const y = (i - 30) / 10; // y from -3 to 3
const x = 0.25 * y * y; // Parabel y² = 4px mit p=1
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: <> (nach rechts)</>, at: 50, offset: [3, 1.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const y = (i - 30) / 10; // y from -3 to 3
const x = -0.25 * y * y; // Parabel y² = -4px mit p=1
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
labels: [{ text: <> (nach links)</>, at: 11, offset: [-3, -1.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: ... [truncated; 1760 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

Die beiden achsenparallelen Standardgleichungen verwenden einen vorzeichenbehafteten Parameter $$p$$:

Visible text: Die beiden achsenparallelen Standardgleichungen verwenden einen vorzeichenbehafteten Parameter :

Component: MathContainer
Children:

```math
y^2 = 4px \quad \text{(horizontale Achse)}
```

```math
x^2 = 4py \quad \text{(vertikale Achse)}
```

Für $$p > 0$$ öffnet sich die Parabel nach rechts oder oben, für $$p < 0$$ nach links oder unten. Der **Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt** ist $$|p|$$. Je größer $$|p|$$ ist, desto weiter öffnet sich die Parabel.

Visible text: Für öffnet sich die Parabel nach rechts oder oben, für nach links oder unten. Der **Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt** ist . Je größer ist, desto weiter öffnet sich die Parabel.

Für die nach rechts geöffnete Parabel $$y^2 = 4px$$ gilt beispielsweise:

Visible text: Für die nach rechts geöffnete Parabel gilt beispielsweise:

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Scheitelpunkt:} (0, 0)
```

```math
\text{Brennpunkt:} (p, 0)
```

```math
\text{Leitlinie:} x = -p
```

```math
\text{Symmetrieachse: } y = 0
```

## Parabel mit beliebigem Scheitelpunkt

Eine Parabel muss nicht im Ursprung liegen. Befindet sich ihr Scheitelpunkt bei $$(h, k)$$, verwenden wir die **verschobene Standardform**.

Visible text: Eine Parabel muss nicht im Ursprung liegen. Befindet sich ihr Scheitelpunkt bei , verwenden wir die **verschobene Standardform**.

Component: LineEquation
Props:
- title: Parabel $$(x-h)^2 = 4p(y-k)$$ mit Scheitelpunkt $$(h,k)$$
  Visible text: Parabel mit Scheitelpunkt
- description: Parabel mit Scheitelpunkt $$(2, 1)$$ und Parameter $$p = 0{,}5$$.
  Visible text: Parabel mit Scheitelpunkt und Parameter .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 81 }, (_, i) => {
const x = (i - 40) / 10; // x from -4 to 4
const h = 2, k = 1, p = 0.5;
const y = k + (1/(4*p)) * Math.pow(x - h, 2); // parabola with vertex (h,k)
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
labels: [{ text: "Parabel", at: 60, offset: [3, 1, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 1, z: 0 }], // vertex
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Scheitelpunkt $$(2,1)$$</>, at: 0, offset: [-1, -0.2, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 1.5, z: 0 }], // focus at (h, k+p) = (2, 1+0.5)
color: "#65a30d",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Fokus $$(2;1{,}5)$$</>, at: 0, offset: [0.5, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 8;
const y = 0.5; // directrix at y = k-p = 1-0.5 = 0.5
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: <>Leitlinie $$y=0{,}5$$</>, at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -1;
const yMax = 5;
const x = 2; // axis of symmetry
return { x, y: yMin + i * (yMax - yMin), z: 0 };
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
smooth: false,
cone: { position: "both" },
la ... [truncated; 1691 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 81 }, (_, i) => {
const x = (i - 40) / 10; // x from -4 to 4
const h = 2, k = 1, p = 0.5;
const y = k + (1/(4*p)) * Math.pow(x - h, 2); // parabola with vertex (h,k)
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
labels: [{ text: "Parabel", at: 60, offset: [3, 1, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 1, z: 0 }], // vertex
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Scheitelpunkt </>, at: 0, offset: [-1, -0.2, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 1.5, z: 0 }], // focus at (h, k+p) = (2, 1+0.5)
color: "#65a30d",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Fokus </>, at: 0, offset: [0.5, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 8;
const y = 0.5; // directrix at y = k-p = 1-0.5 = 0.5
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: <>Leitlinie </>, at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -1;
const yMax = 5;
const x = 2; // axis of symmetry
return { x, y: yMin + i * (yMax - yMin), z: 0 };
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
smooth: false,
cone: { position: "both" },
la ... [truncated; 1691 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

Für einen Scheitelpunkt $$(h, k)$$ lauten die beiden Grundformen:

Visible text: Für einen Scheitelpunkt lauten die beiden Grundformen:

Component: MathContainer
Children:

```math
(y-k)^2 = 4p(x-h) \quad \text{(horizontal)}
```

```math
(x-h)^2 = 4p(y-k) \quad \text{(vertikal)}
```

Für die vertikale Parabel $$(x-h)^2 = 4p(y-k)$$ gilt:

Visible text: Für die vertikale Parabel gilt:

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Scheitelpunkt:} (h, k)
```

```math
\text{Brennpunkt:} (h, k+p)
```

```math
\text{Leitlinie:} y = k-p
```

```math
\text{Symmetrieachse:} x = h
```

Für die horizontale Parabel $$(y-k)^2 = 4p(x-h)$$ gilt:

Visible text: Für die horizontale Parabel gilt:

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Scheitelpunkt:} (h, k)
```

```math
\text{Brennpunkt:} (h+p, k)
```

```math
\text{Leitlinie:} x = h-p
```

```math
\text{Symmetrieachse:} y = k
```

> Das Vorzeichen von $$p$$ bestimmt die Öffnungsrichtung. In der horizontalen Form bedeutet ein positives Vorzeichen rechts und ein negatives links. In der vertikalen Form bedeutet ein positives Vorzeichen oben und ein negatives unten.

Visible text: > Das Vorzeichen von bestimmt die Öffnungsrichtung. In der horizontalen Form bedeutet ein positives Vorzeichen rechts und ein negatives links. In der vertikalen Form bedeutet ein positives Vorzeichen oben und ein negatives unten.

## Bestimmung von Parabelelementen

Aus einer Parabelgleichung lassen sich Scheitelpunkt, Brennpunkt, Leitlinie und Öffnungsrichtung systematisch bestimmen. Zuerst erkennen wir **die Ausrichtung der Parabel**:

- Ist $$x$$ quadriert, ist die Parabel **vertikal** und öffnet sich nach oben oder unten.
- Ist $$y$$ quadriert, ist die Parabel **horizontal** und öffnet sich nach links oder rechts.

Visible text: - Ist quadriert, ist die Parabel **vertikal** und öffnet sich nach oben oder unten.
- Ist quadriert, ist die Parabel **horizontal** und öffnet sich nach links oder rechts.

Das folgende Beispiel zeigt das vollständige Vorgehen.

**Beispiel**: Gegeben sei eine Parabel mit der Gleichung $$x^2 - 4x - 8y + 12 = 0$$

Visible text: **Beispiel**: Gegeben sei eine Parabel mit der Gleichung

Durch quadratische Ergänzung bringen wir die Gleichung in Standardform:

Component: MathContainer
Children:

```math
x^2 - 4x - 8y + 12 = 0
```

```math
x^2 - 4x = 8y - 12
```

```math
x^2 - 4x + 4 = 8y - 12 + 4
```

```math
(x-2)^2 = 8y - 8
```

```math
(x-2)^2 = 8(y-1)
```

Aus $$(x-2)^2 = 8(y-1)$$ lesen wir ab:

Visible text: Aus lesen wir ab:

- $$h = 2$$, $$k = 1$$
- $$4p = 8$$, also $$p = 2$$

Visible text: - , 
- , also

Damit stehen die Parabelelemente fest:

Component: LineEquation
Props:
- title: Parabelanalyse $$(x-2)^2 = 8(y-1)$$
  Visible text: Parabelanalyse
- description: Scheitelpunkt $$(2,1)$$, Brennpunkt $$(2,3)$$, Leitlinie $$y = -1$$ und $$p = 2$$.
  Visible text: Scheitelpunkt , Brennpunkt , Leitlinie und .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 81 }, (_, i) => {
const x = (i - 40) / 8; // x from -5 to 5
const h = 2, k = 1, p = 2;
const y = k + (1/(4*p)) * Math.pow(x - h, 2); // (x-h)² = 4p(y-k)
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$(x-2)^2=8(y-1)$$, at: 60, offset: [2, 1.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 1, z: 0 }], // vertex (h,k)
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Scheitelpunkt $$(2,1)$$</>, at: 0, offset: [-1, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }], // focus (h, k+p) = (2, 1+2)
color: "#65a30d",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Fokus $$(2,3)$$</>, at: 0, offset: [0.8, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 8;
const y = -1; // directrix y = k-p = 1-2 = -1
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: <>Leitlinie $$y=-1$$</>, at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -2;
const yMax = 6;
const x = 2; // axis of symmetry x = h = 2
return { x, y: yMin + i * (yMax - yMin), z: 0 };
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
smooth: false,
cone: { position: "both" },
labels ... [truncated; 1687 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 81 }, (_, i) => {
const x = (i - 40) / 8; // x from -5 to 5
const h = 2, k = 1, p = 2;
const y = k + (1/(4*p)) * Math.pow(x - h, 2); // (x-h)² = 4p(y-k)
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 60, offset: [2, 1.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 1, z: 0 }], // vertex (h,k)
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Scheitelpunkt </>, at: 0, offset: [-1, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }], // focus (h, k+p) = (2, 1+2)
color: "#65a30d",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>Fokus </>, at: 0, offset: [0.8, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 8;
const y = -1; // directrix y = k-p = 1-2 = -1
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: <>Leitlinie </>, at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const yMin = -2;
const yMax = 6;
const x = 2; // axis of symmetry x = h = 2
return { x, y: yMin + i * (yMax - yMin), z: 0 };
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
smooth: false,
cone: { position: "both" },
labels ... [truncated; 1687 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false

Aus dieser Analyse erhalten wir:

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Scheitelpunkt:} (2, 1)
```

```math
\text{Brennpunkt:} (2, 3)
```

```math
\text{Leitlinie:} y = -1
```

```math
\text{Symmetrieachse:} x = 2
```

```math
\text{Öffnungsrichtung: nach oben, da } p = 2 > 0\text{ gilt}
```

## Beispiele mit vollständiger Lösung

Zwei Aufgaben verbinden nun die Standardform mit Scheitelpunkt und Brennpunkt.

**Aufgabe** $$1$$: Bestimme die Gleichung einer Parabel mit Scheitelpunkt $$(1, -2)$$ und Brennpunkt $$(4, -2)$$.

Visible text: **Aufgabe** : Bestimme die Gleichung einer Parabel mit Scheitelpunkt und Brennpunkt .

**Lösung**:

Da Scheitelpunkt und Fokus die gleiche $$y$$-Koordinate haben, ist diese Parabel **horizontal**.

Visible text: Da Scheitelpunkt und Fokus die gleiche -Koordinate haben, ist diese Parabel **horizontal**.

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Scheitelpunkt:} (h, k) = (1, -2)
```

```math
\text{Fokus:} (h+p, k) = (4, -2)
```

Aus der Brennpunktbedingung folgt $$h + p = 4$$. Mit $$h = 1$$ erhalten wir:

Visible text: Aus der Brennpunktbedingung folgt . Mit erhalten wir:

```math
1 + p = 4 \Rightarrow p = 3
```

Die Gleichung für eine horizontale Parabel lautet $$(y-k)^2 = 4p(x-h)$$:

Visible text: Die Gleichung für eine horizontale Parabel lautet :

Component: MathContainer
Children:

```math
(y-(-2))^2 = 4(3)(x-1)
```

```math
(y+2)^2 = 12(x-1)
```

**Aufgabe** $$2$$: Bestimme für die Parabel $$y^2 - 6y - 4x + 13 = 0$$ die Koordinaten von Scheitelpunkt und Brennpunkt.

Visible text: **Aufgabe** : Bestimme für die Parabel die Koordinaten von Scheitelpunkt und Brennpunkt.

**Lösung**:

Wir ergänzen den Term in $$y$$ zu einem vollständigen Quadrat:

Visible text: Wir ergänzen den Term in zu einem vollständigen Quadrat:

Component: MathContainer
Children:

```math
y^2 - 6y - 4x + 13 = 0
```

```math
y^2 - 6y = 4x - 13
```

```math
y^2 - 6y + 9 = 4x - 13 + 9
```

```math
(y-3)^2 = 4x - 4
```

```math
(y-3)^2 = 4(x-1)
```

Aus $$(y-3)^2 = 4(x-1)$$ lesen wir ab:

Visible text: Aus lesen wir ab:

Component: MathContainer
Children:

```math
h = 1, \quad k = 3
```

```math
4p = 4 \Rightarrow p = 1
```

Damit folgt:

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Scheitelpunkt:} (h, k) = (1, 3)
```

```math
\text{Brennpunkt:} (h+p, k) = (1+1, 3) = (2, 3)
```