# Tangente an Kegelschnitte
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Bestimme Tangenten an Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln aus einem Kurvenpunkt, einer gegebenen Steigung oder einem außerhalb liegenden Punkt.
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## Konzept der Tangenten
Ein Lineal kann so an eine glatte Kurve gelegt werden, dass es sie in der Nähe der Berührstelle nicht schneidet. Die Gerade entlang des Lineals beschreibt dort eine **Tangente**.
Bei den Kegelschnitten dieses Kapitels trifft eine Tangente die Kurve in einem doppelten Schnittpunkt. Eine Sekante schneidet die Kurve dagegen in zwei verschiedenen Punkten.
An der Parabel $$y = x^2$$ ist der Unterschied gut zu sehen: Die Tangente hat einen doppelten Schnittpunkt, die Sekante zwei verschiedene Schnittpunkte.
Visible text: An der Parabel ist der Unterschied gut zu sehen: Die Tangente hat einen doppelten Schnittpunkt, die Sekante zwei verschiedene Schnittpunkte.
Für Kegelschnitte wie Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln gibt es je nach den uns vorliegenden Informationen mehrere Möglichkeiten, die Gleichung ihrer Tangenten zu bestimmen.
## Punkt auf der Kurve
Ist der Berührpunkt bekannt, liefert die implizite Differentiation dort die Steigung. Zusammen mit der Punkt-Steigungs-Form ergibt sich daraus unmittelbar eine Punktform der Tangente.
### Punktform aus impliziter Differentiation
Für einen Punkt $$T(x_1, y_1)$$ auf einem Kegelschnitt ersetzt die entstehende Punktform jede quadrierte Koordinate durch ein Produkt mit der entsprechenden Koordinate des Berührpunkts. Lineare Terme werden symmetrisch auf den allgemeinen Punkt und den Berührpunkt verteilt. Diese Form fasst die Ableitungsrechnung zusammen, ersetzt aber nicht die Prüfung, ob $$T$$ tatsächlich auf der Kurve liegt.
Visible text: Für einen Punkt auf einem Kegelschnitt ersetzt die entstehende Punktform jede quadrierte Koordinate durch ein Produkt mit der entsprechenden Koordinate des Berührpunkts. Lineare Terme werden symmetrisch auf den allgemeinen Punkt und den Berührpunkt verteilt. Diese Form fasst die Ableitungsrechnung zusammen, ersetzt aber nicht die Prüfung, ob tatsächlich auf der Kurve liegt.
Wenn wir beispielsweise eine Parabel $$y^2 = 4px$$ und einen Tangentenpunkt $$T(x_1, y_1)$$ haben, dann lautet die Tangentengleichung:
Visible text: Wenn wir beispielsweise eine Parabel und einen Tangentenpunkt haben, dann lautet die Tangentengleichung:
```math
yy_1 = 2p(x + x_1)
```
Nehmen wir ein Beispiel der Parabel $$y^2 = 8x$$ im Punkt $$(2, 4)$$.
Visible text: Nehmen wir ein Beispiel der Parabel im Punkt .
Aus der Parabel $$y^2 = 8x$$ kennen wir $$4p = 8$$ also $$p = 2$$. Die Tangente am Punkt $$(2, 4)$$ ist:
Visible text: Aus der Parabel kennen wir also . Die Tangente am Punkt ist:
Component: MathContainer
Children:
```math
y \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot (x + 2)
```
```math
4y = 4(x + 2)
```
```math
y = x + 2
```
> Die Punktform gilt erst, nachdem der angegebene Punkt auf dem Kegelschnitt überprüft wurde. Sie fasst die Ableitungsrechnung in einer wiederverwendbaren algebraischen Ersetzung zusammen.
## Vorgegebene Steigung
Manchmal kennen wir den Tangentenpunkt nicht, aber wir kennen die **Steigung** oder den Gradienten der Tangente. In solchen Fällen setzen wir die Geradengleichung mit der Steigung $$m$$ in die Kegelschnittgleichung ein.
Visible text: Manchmal kennen wir den Tangentenpunkt nicht, aber wir kennen die **Steigung** oder den Gradienten der Tangente. In solchen Fällen setzen wir die Geradengleichung mit der Steigung in die Kegelschnittgleichung ein.
Als Beispiel bestimmen wir die Tangenten an $$4x^2 - 9y^2 = 36$$, die senkrecht zu $$x + 4y + 10 = 0$$ stehen.
Visible text: Als Beispiel bestimmen wir die Tangenten an , die senkrecht zu stehen.
Zuerst bestimmen wir die gesuchte Tangentensteigung. Die Gerade $$x + 4y + 10 = 0$$ hat die Steigung $$m_g = -\frac{1}{4}$$. Jede dazu senkrechte Tangente hat daher die Steigung $$m_s = 4$$.
Visible text: Zuerst bestimmen wir die gesuchte Tangentensteigung. Die Gerade hat die Steigung . Jede dazu senkrechte Tangente hat daher die Steigung .
Eine Gerade mit der Steigung $$m$$ hat die Form $$y = mx + c$$. Wir setzen sie in die Hyperbelgleichung ein:
Visible text: Eine Gerade mit der Steigung hat die Form . Wir setzen sie in die Hyperbelgleichung ein:
Component: MathContainer
Children:
```math
4x^2 - 9(4x + c)^2 = 36
```
```math
4x^2 - 9(16x^2 + 8cx + c^2) = 36
```
```math
-140x^2 - 72cx - 9c^2 - 36 = 0
```
Für eine Tangente muss die Diskriminante Null sein:
Component: MathContainer
Children:
```math
D = (-72c)^2 - 4(-140)(-9c^2-36) = 0
```
```math
5184c^2 - 5040c^2 - 20160 = 0
```
```math
144c^2 = 20160
```
```math
c = \pm 2\sqrt{35}
```
Damit lauten die beiden Tangenten $$y = 4x + 2\sqrt{35}$$ und $$y = 4x - 2\sqrt{35}$$.
Visible text: Damit lauten die beiden Tangenten und .
## Tangenten durch einen äußeren Punkt
Je nach Kegelschnitt und Lage des Punktes können durch einen gegebenen Punkt null, eine oder zwei reelle Tangenten verlaufen. Im folgenden Beispiel sind es zwei. Die Konstruktion von einem Punkt außerhalb eines Kreises ist ein vertrauter Spezialfall.
Nehmen wir zum Beispiel die Parabel $$y^2 = 8x$$ mit dem Punkt $$A(2, 5)$$. Von Punkt $$A$$ aus können wir zwei verschiedene Tangenten an die Parabel zeichnen.
Visible text: Nehmen wir zum Beispiel die Parabel mit dem Punkt . Von Punkt aus können wir zwei verschiedene Tangenten an die Parabel zeichnen.
Für einen äußeren Punkt liefert die Polare die **Berührsehne**, also die Verbindung der beiden Berührpunkte. Sie ist nicht selbst eine der Tangenten. Für $$y^2 = 8x$$ und $$A(2,5)$$ lautet die Polare:
Visible text: Für einen äußeren Punkt liefert die Polare die **Berührsehne**, also die Verbindung der beiden Berührpunkte. Sie ist nicht selbst eine der Tangenten. Für und lautet die Polare:
```math
yy_1 = 4(x + x_1)
```
Wir setzen $$x_1 = 2$$ und $$y_1 = 5$$ ein:
Visible text: Wir setzen und ein:
Component: MathContainer
Children:
```math
5y = 4(x + 2)
```
```math
5y = 4x + 8
```
```math
y = \frac{4x + 8}{5}
```
Jetzt setzen wir in die Parabelgleichung ein, um die Tangentenpunkte zu finden:
Component: MathContainer
Children:
```math
\left(\frac{4x + 8}{5}\right)^2 = 8x
```
```math
\frac{16x^2 + 64x + 64}{25} = 8x
```
```math
16x^2 + 64x + 64 = 200x
```
```math
16x^2 - 136x + 64 = 0
```
```math
2x^2 - 17x + 8 = 0
```
Mit der quadratischen Formel erhalten wir $$x_1 = \frac{1}{2}$$ und $$x_2 = 8$$. Die Berührpunkte sind $$(\frac{1}{2}, 2)$$ und $$(8, 8)$$. Die Geraden von diesen Punkten zu $$A(2,5)$$ sind die beiden Tangenten $$y = 2x + 1$$ und $$y = \frac{1}{2}x + 4$$.
Visible text: Mit der quadratischen Formel erhalten wir und . Die Berührpunkte sind und . Die Geraden von diesen Punkten zu sind die beiden Tangenten und .
## Formelzusammenfassung
Die Tabelle fasst die in diesem Kapitel verwendeten Punktformen der Tangentengleichungen zusammen.
| Kegelschnitt | Tangentengleichung |
|---|---|
| $$y^2 = 4px$$ | $$yy_1 = 2p(x + x_1)$$ |
| $$x^2 = 4py$$ | $$xx_1 = 2p(y + y_1)$$ |
| $$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$ | $$(x - h)(x_1 - h) = 2p((y - k) + (y_1 - k))$$ |
| $$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$ | $$(y - k)(y_1 - k) = 2p((x - h) + (x_1 - h))$$ |
| $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ | $$\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$$ |
| $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ | $$\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$$ |
| $$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$$ | $$\frac{yy_1}{a^2} - \frac{xx_1}{b^2} = 1$$ |
| $$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$ | $$\frac{(x-h)(x_1-h)}{a^2} + \frac{(y-k)(y_1-k)}{b^2} = 1$$ |
| $$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$ | $$\frac{(x-h)(x_1-h)}{a^2} - \frac{(y-k)(y_1-k)}{b^2} = 1$$ |
| $$\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$$ | $$\frac{(y-k)(y_1-k)}{a^2} - \frac{(x-h)(x_1-h)}{b^2} = 1$$ |
Visible text: | Kegelschnitt | Tangentengleichung |
|---|---|
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> Diese Formeln sind die ableitungsbasierten Punktformen für häufige Standardkegelschnitte. Prüfe zuerst, ob der angegebene Berührpunkt tatsächlich auf dem Kegelschnitt liegt.
## Übungen
1. Bestimme die Tangentengleichung der Parabel $$y^2 = 12x$$ im Punkt $$(3, 6)$$.
2. Bestimme die Tangenten an $$4x^2 - 9y^2 = 36$$, die senkrecht zur Geraden $$x + 4y + 10 = 0$$ stehen.
3. Bestimme die Tangenten an $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$, die durch $$A(1, 3)$$ verlaufen.
4. Bestimme die Tangenten an $$y^2 = 8x$$, die durch $$A(2, 5)$$ verlaufen.
Visible text: 1. Bestimme die Tangentengleichung der Parabel im Punkt .
2. Bestimme die Tangenten an , die senkrecht zur Geraden stehen.
3. Bestimme die Tangenten an , die durch verlaufen.
4. Bestimme die Tangenten an , die durch verlaufen.
### Ausführliche Lösungen
1. **Lösung**:
Gegeben: Parabel $$y^2 = 12x$$ mit Tangentenpunkt $$(3, 6)$$.
Aus Gleichung $$y^2 = 12x$$ erhalten wir $$4p = 12$$, also $$p = 3$$.
Wir verwenden die Tangentenform der Parabel:
```math
yy_1 = 2p(x + x_1)
```
```math
y \cdot 6 = 2 \cdot 3 \cdot (x + 3)
```
```math
6y = 6(x + 3)
```
```math
6y = 6x + 18
```
```math
y = x + 3
```
Die Tangentengleichung lautet also $$y = x + 3$$.
2. **Lösung**:
Gegeben: Hyperbel $$4x^2 - 9y^2 = 36$$ oder $$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$$.
Die Linie $$x + 4y + 10 = 0$$ hat die Steigung $$m = -\frac{1}{4}$$.
Da die Tangente senkrecht zu dieser Linie verläuft, beträgt der Tangentengradient:
```math
m_s = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{1}{4}} = 4
```
Hyperbel-Tangentenlinienformel mit Steigung $$m$$:
```math
y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}
```
Mit $$a^2 = 9$$, $$b^2 = 4$$ und $$m = 4$$:
```math
y = 4x \pm \sqrt{9 \cdot 16 - 4}
```
```math
y = 4x \pm \sqrt{144 - 4}
```
```math
y = 4x \pm \sqrt{140}
```
```math
y = 4x \pm 2\sqrt{35}
```
Die Tangentengleichungen lauten also $$y = 4x + 2\sqrt{35}$$ oder $$y = 4x - 2\sqrt{35}$$.
3. **Lösung**:
Gegeben: Ellipse $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$ und Punkt $$A(1, 3)$$.
Zuerst prüfen wir, ob $$A(1, 3)$$ auf der Ellipse liegt:
```math
\frac{1^2}{9} + \frac{3^2}{4} = \frac{1}{9} + \frac{9}{4} = \frac{4 + 81}{36} = \frac{85}{36} > 1
```
Da $$\frac{85}{36} > 1$$ liegt der Punkt $$A$$ außerhalb der Ellipse.
Wir schreiben eine Gerade durch $$A(1,3)$$ mit der Steigung $$m$$:
```math
y-3=m(x-1)
```
Einsetzen in die Ellipse und die Bedingung einer verschwindenden Diskriminante ergeben:
```math
4x^2 + 9(mx+3-m)^2 = 36
```
```math
8m^2 + 6m - 5 = 0
```
```math
(4m+5)(2m-1)=0
```
```math
m=-\frac{5}{4} \quad \text{oder} \quad m=\frac{1}{2}
```
Wir setzen beide Steigungen in die Punkt-Steigungs-Form ein:
```math
y-3=-\frac{5}{4}(x-1) \quad \Longrightarrow \quad 5x+4y-17=0
```
```math
y-3=\frac{1}{2}(x-1) \quad \Longrightarrow \quad x-2y+5=0
```
Die beiden Tangenten sind also $$5x+4y-17=0$$ und $$x-2y+5=0$$.
4. **Lösung**:
Gegeben: Parabel $$y^2 = 8x$$ und Punkt $$A(2, 5)$$.
Zuerst prüfen wir, ob $$A(2, 5)$$ auf der Parabel liegt:
```math
5^2 = 25 \neq 8 \cdot 2 = 16
```
Der Punkt $$A$$ liegt außerhalb der Parabel.
Wir verwenden die Polare der Parabel mit $$p = 2$$:
```math
yy_1 = 4(x + x_1)
```
Wir setzen $$x_1 = 2$$ und $$y_1 = 5$$ ein:
```math
5y = 4(x + 2)
```
```math
5y = 4x + 8
```
```math
y = \frac{4x + 8}{5}
```
Einsetzen in die Parabelgleichung ergibt:
```math
\left(\frac{4x + 8}{5}\right)^2 = 8x
```
```math
\frac{(4x + 8)^2}{25} = 8x
```
```math
(4x + 8)^2 = 200x
```
```math
16x^2 + 64x + 64 = 200x
```
```math
16x^2 - 136x + 64 = 0
```
```math
2x^2 - 17x + 8 = 0
```
Mit der quadratischen Formel folgt:
```math
x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4} = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{4} = \frac{17 \pm 15}{4}
```
Also $$x_1 = \frac{1}{2}$$ und $$x_2 = 8$$.
Die Tangentenpunkte liegen bei $$(\frac{1}{2}, 2)$$ und $$(8, 8)$$.
Tangentengleichung durch $$(\frac{1}{2}, 2)$$:
```math
y - 2 = \frac{2 - 5}{\frac{1}{2} - 2}(x - \frac{1}{2}) = \frac{-3}{-\frac{3}{2}}(x - \frac{1}{2}) = 2(x - \frac{1}{2})
```
Also $$y = 2x + 1$$.
Tangentengleichung durch $$(8, 8)$$:
```math
y - 8 = \frac{8 - 5}{8 - 2}(x - 8) = \frac{3}{6}(x - 8) = \frac{1}{2}(x - 8)
```
Also $$y = \frac{1}{2}x + 4$$.
Die Tangentengleichungen lauten $$y = 2x + 1$$ und $$y = \frac{1}{2}x + 4$$.
Visible text: 1. **Lösung**:
Gegeben: Parabel mit Tangentenpunkt .
Aus Gleichung erhalten wir , also .
Wir verwenden die Tangentenform der Parabel:
Die Tangentengleichung lautet also .
2. **Lösung**:
Gegeben: Hyperbel oder .
Die Linie hat die Steigung .
Da die Tangente senkrecht zu dieser Linie verläuft, beträgt der Tangentengradient:
Hyperbel-Tangentenlinienformel mit Steigung :
Mit , und :
Die Tangentengleichungen lauten also oder .
3. **Lösung**:
Gegeben: Ellipse und Punkt .
Zuerst prüfen wir, ob auf der Ellipse liegt:
Da liegt der Punkt außerhalb der Ellipse.
Wir schreiben eine Gerade durch mit der Steigung :
Einsetzen in die Ellipse und die Bedingung einer verschwindenden Diskriminante ergeben:
Wir setzen beide Steigungen in die Punkt-Steigungs-Form ein:
Die beiden Tangenten sind also und .
4. **Lösung**:
Gegeben: Parabel und Punkt .
Zuerst prüfen wir, ob auf der Parabel liegt:
Der Punkt liegt außerhalb der Parabel.
Wir verwenden die Polare der Parabel mit :
Wir setzen und ein:
Einsetzen in die Parabelgleichung ergibt:
Mit der quadratischen Formel folgt:
Also und .
Die Tangentenpunkte liegen bei und .
Tangentengleichung durch :
Also .
Tangentengleichung durch :
Also .
Die Tangentengleichungen lauten und .