# Gleichung einer Tangente an einen Kreis
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Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/analytic-geometry/equation-of-a-tangent-line-to-a-circle/de.mdx
Konstruiere Kreistangenten aus einem Berührpunkt, einer Steigung oder einem äußeren Punkt, mit vollständigen Rechenwegen.
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## Tangentengleichungen verstehen
Stell dir ein Fahrrad vor, dessen Rad auf einer ebenen Straße steht. In diesem Moment berührt die Straße den kreisförmigen Reifen genau an einem Punkt. Die Straße selbst dient als Modell für die **Tangente**. Der Radius zum Berührpunkt steht senkrecht auf ihr.
Wir bestimmen die Gleichung dieser Geraden in drei Situationen: Der Berührpunkt ist bekannt, die Steigung ist bekannt oder die Tangente soll durch einen Punkt außerhalb des Kreises verlaufen.
Die geometrische Idee bleibt dabei gleich. Eine Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt. Der Radius zu diesem Punkt liefert entweder die senkrechte Richtung oder den benötigten Abstand.
## Tangente in einem bekannten Punkt
Ist der Berührpunkt bekannt, prüfe zuerst, ob er wirklich auf dem Kreis liegt. Danach dient der Radius zu diesem Punkt als Normalenvektor der Tangente.
Component: LineEquation
Props:
- title: Tangente in einem bekannten Punkt
- description: Die Tangentengleichung entsteht aus dem bekannten Berührpunkt.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 4;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
},
{
points: [
{
x: 0,
y: 0,
z: 0,
}
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: "Mittelpunkt", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle = Math.PI * 5/6; // 150 degrees
const radius = 4;
return [{
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
}];
})(),
color: "#65a30d",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$M$$, at: 0, offset: [-0.8, 0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle = Math.PI * 5/6;
const radius = 4;
const pointX = radius * Math.cos(angle);
const pointY = radius * Math.sin(angle);
// Direction perpendicular to radius (negative reciprocal gradient)
const perpSlope = -pointX / pointY;
const range = 5;
return [
{
x: pointX - range,
y: pointY + perpSlope * (-range),
z: 0,
},
{
x: pointX + range,
y: pointY + perpSlope * range,
z: 0,
}
];
})(),
color: "#059669",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Tangente", at: 0, offset: [4, 3.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle = Math.PI * ... [truncated; 1709 chars]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 4;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
},
{
points: [
{
x: 0,
y: 0,
z: 0,
}
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: "Mittelpunkt", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle = Math.PI * 5/6; // 150 degrees
const radius = 4;
return [{
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0,
}];
})(),
color: "#65a30d",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.8, 0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle = Math.PI * 5/6;
const radius = 4;
const pointX = radius * Math.cos(angle);
const pointY = radius * Math.sin(angle);
// Direction perpendicular to radius (negative reciprocal gradient)
const perpSlope = -pointX / pointY;
const range = 5;
return [
{
x: pointX - range,
y: pointY + perpSlope * (-range),
z: 0,
},
{
x: pointX + range,
y: pointY + perpSlope * range,
z: 0,
}
];
})(),
color: "#059669",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Tangente", at: 0, offset: [4, 3.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const angle = Math.PI * ... [truncated; 1709 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Für den Kreis $$x^2+y^2=r^2$$ und einen Berührpunkt $$M(p,q)$$ auf dem Kreis gilt die **Berührpunktform**:
Visible text: Für den Kreis und einen Berührpunkt auf dem Kreis gilt die **Berührpunktform**:
```math
px + qy = r^2
```
Warum funktioniert diese Formel? Der Radius $$OM$$ hat den Richtungsvektor $$(p,q)$$. Da die Tangente senkrecht auf $$OM$$ steht, ist derselbe Vektor ein Normalenvektor der Tangente. Setzt man $$M$$ ein, erhält man $$p^2+q^2=r^2$$. Die Gerade verläuft also tatsächlich durch den Berührpunkt.
Visible text: Warum funktioniert diese Formel? Der Radius hat den Richtungsvektor . Da die Tangente senkrecht auf steht, ist derselbe Vektor ein Normalenvektor der Tangente. Setzt man ein, erhält man . Die Gerade verläuft also tatsächlich durch den Berührpunkt.
Für den Kreis $$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$ mit Berührpunkt $$M(p,q)$$ wenden wir dieselbe Idee auf den Mittelpunkt $$(h,k)$$ an:
Visible text: Für den Kreis mit Berührpunkt wenden wir dieselbe Idee auf den Mittelpunkt an:
```math
(p-h)(x-h) + (q-k)(y-k) = r^2
```
> Diese Form nutzt den Radius direkt als Normalenvektor. Sie funktioniert auch bei einer vertikalen Tangente, für die keine endliche Steigung existiert.
## Abstandsmethode bei gegebener Steigung
Ist die Steigung bekannt, aber der Achsenabschnitt noch nicht, hilft die Abstandsbedingung: Der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zur Tangente ist gleich dem Radius.
Component: LineEquation
Props:
- title: Tangenten mit gegebener Steigung
- description: Der Abstand vom Mittelpunkt zur Geraden bestimmt die beiden Achsenabschnitte.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 3.5;
const h = 1, k = -0.5;
return {
x: h + radius * Math.cos(angle),
y: k + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 1, y: -0.5, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: "Mittelpunkt", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
const m = -0.75; // desired gradient
const h = 1, k = -0.5, r = 3.5;
const c1 = k - m*h + r * Math.sqrt(1 + m * m);
const xRange = 8;
const xStart = -2;
return [
{ x: xStart, y: m * xStart + c1, z: 0 },
{ x: xStart + xRange, y: m * (xStart + xRange) + c1, z: 0 }
];
})(),
color: "#0284c7",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Obere Tangente", at: 1, offset: [1, 1, 0] }],
},
{
points: (() => {
const m = -0.75; // desired gradient
const h = 1, k = -0.5, r = 3.5;
const c2 = k - m*h - r * Math.sqrt(1 + m * m);
const xRange = 8;
const xStart = -2;
return [
{ x: xStart, y: m * xStart + c2, z: 0 },
{ x: xStart + xRange, y: m * (xStart + xRange) + c2, z: 0 }
];
})(),
color: "#059669",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: "Untere Tangente", at: 0, o ... [truncated; 2051 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
Der Kreis sei $$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$ und die Tangente habe die Steigung $$m$$. Wir schreiben die Gerade als $$y=mx+c$$.
Visible text: Der Kreis sei und die Tangente habe die Steigung . Wir schreiben die Gerade als .
Die **Punkt-Geraden-Abstandsformel** liefert den Abstand des Mittelpunkts $$(h,k)$$ von der Geraden $$mx-y+c=0$$:
Visible text: Die **Punkt-Geraden-Abstandsformel** liefert den Abstand des Mittelpunkts von der Geraden :
```math
d = \frac{|mh - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}}
```
Bei einer Tangente muss dieser Abstand gleich dem Radius sein:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{|mh - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = r
```
```math
|mh - k + c| = r\sqrt{m^2 + 1}
```
```math
mh - k + c = \pm r\sqrt{m^2 + 1}
```
Aus der Betragsgleichung ergeben sich zwei Achsenabschnitte:
```math
c = k - mh \pm r\sqrt{m^2 + 1}
```
Damit lauten die beiden parallelen Tangenten:
```math
y = mx + k - mh \pm r\sqrt{m^2 + 1}
```
## Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises
Von einem Punkt außerhalb eines Kreises lassen sich genau zwei Tangenten ziehen. Haben beide eine endliche Steigung, können wir ihre Steigungen mit einer quadratischen Gleichung bestimmen.
Component: LineEquation
Props:
- title: Tangenten durch einen Punkt außerhalb
- description: Die Bedingung eines doppelten Schnittpunkts bestimmt die beiden Steigungen.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI) / 180;
const radius = 2.8;
const h = -1, k = 1.5;
return {
x: h + radius * Math.cos(angle),
y: k + radius * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -1, y: 1.5, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: "Mittelpunkt", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3.5, y: 4, z: 0 }
],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: "Äußerer Punkt", at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: (() => {
// Erster Berührpunkt: Schnittpunkt der Tangente mit dem Kreis
const px = 3.5, py = 4, h = -1, k = 1.5, r = 2.8;
// Steigung der ersten Tangente berechnen
const a = (h - px)*(h - px) - r*r;
const b = -2*(h - px)*(k - py);
const c = (k - py)*(k - py) - r*r;
const discriminant = b*b - 4*a*c;
const m1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2*a);
// Gleichung der Tangente: y = m1*x + c1
const c1 = py - m1*px;
// Substitute y = m1*x + c1 into (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
// (x-h)^2 + (m1*x + c1 - k)^2 = r^2
const A = 1 + m1*m1;
const B = 2*m1*(c1 - k) - 2*h;
const C = (c1 - k)*(c1 - k) + h*h - r*r;
const discX = B*B - 4*A*C;
// Von d ... [truncated; 4294 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
Der äußere Punkt sei $$P(x_0,y_0)$$ und der Kreis habe die Gleichung $$x^2+y^2=r^2$$. Eine nicht vertikale Gerade durch $$P$$ hat die Steigung $$m$$.
Visible text: Der äußere Punkt sei und der Kreis habe die Gleichung . Eine nicht vertikale Gerade durch hat die Steigung .
Ihre Gleichung lautet $$y-y_0=m(x-x_0)$$ oder $$y=mx-mx_0+y_0$$.
Visible text: Ihre Gleichung lautet oder .
Setze diesen Ausdruck in die Kreisgleichung ein. Eine Tangente schneidet den Kreis in einem doppelten Punkt. Deshalb muss die entstehende quadratische Gleichung in $$x$$ die Diskriminante null haben:
Visible text: Setze diesen Ausdruck in die Kreisgleichung ein. Eine Tangente schneidet den Kreis in einem doppelten Punkt. Deshalb muss die entstehende quadratische Gleichung in die Diskriminante null haben:
Component: MathContainer
Children:
```math
x^2 + (mx - mx_0 + y_0)^2 = r^2
```
```math
(1 + m^2)x^2 + 2m(y_0 - mx_0)x + (y_0 - mx_0)^2 - r^2 = 0
```
Nach dem Vereinfachen ergibt sich aus der Diskriminantenbedingung:
```math
(x_0^2 - r^2)m^2 - 2x_0y_0m + (y_0^2 - r^2) = 0
```
Die Lösungen sind die Steigungen der beiden nicht vertikalen Tangenten. Falls eine vertikale Tangente möglich ist, muss $$x=x_0$$ getrennt geprüft werden, denn sie lässt sich nicht als $$y=mx+c$$ schreiben.
Visible text: Die Lösungen sind die Steigungen der beiden nicht vertikalen Tangenten. Falls eine vertikale Tangente möglich ist, muss getrennt geprüft werden, denn sie lässt sich nicht als schreiben.
## Beispiel mit vollständigem Rechenweg
Bestimme die beiden Tangenten an den Kreis $$x^2+y^2=25$$, die durch $$A(7,1)$$ verlaufen.
Visible text: Bestimme die beiden Tangenten an den Kreis , die durch verlaufen.
**Schritt** $$1$$: Prüfe, ob $$A$$ außerhalb des Kreises liegt.
Visible text: **Schritt** : Prüfe, ob außerhalb des Kreises liegt.
```math
7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50 > 25 \quad \checkmark
```
**Schritt** $$2$$: Setze $$x_0=7$$, $$y_0=1$$ und $$r^2=25$$ in die quadratische Gleichung für $$m$$ ein:
Visible text: **Schritt** : Setze , und in die quadratische Gleichung für ein:
Component: MathContainer
Children:
```math
(49 - 25)m^2 - 2(7)(1)m + (1 - 25) = 0
```
```math
24m^2 - 14m - 24 = 0
```
```math
12m^2 - 7m - 12 = 0
```
**Schritt** $$3$$: Löse die quadratische Gleichung.
Visible text: **Schritt** : Löse die quadratische Gleichung.
```math
m = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 576}}{24} = \frac{7 \pm \sqrt{625}}{24} = \frac{7 \pm 25}{24}
```
Also $$m_1 = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$$ und $$m_2 = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$$.
Visible text: Also und .
**Schritt** $$4$$: Setze jede Steigung in die Punkt-Steigungs-Form durch $$A$$ ein.
Visible text: **Schritt** : Setze jede Steigung in die Punkt-Steigungs-Form durch ein.
Component: MathContainer
Children:
```math
y - 1 = \frac{4}{3}(x - 7) \Rightarrow 4x - 3y = 25
```
```math
y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 7) \Rightarrow 3x + 4y = 25
```
## Übungen
1. Bestimme die Tangentengleichung für den Kreis $$x^2 + y^2 = 16$$ im Punkt $$(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$$.
2. Finde die Tangentengleichungen für den Kreis $$x^2 + y^2 = 9$$ mit der Steigung $$-\frac{1}{2}$$.
3. Bestimme die Tangentengleichungen für den Kreis $$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$$, die durch den Punkt $$(11, 10)$$ verlaufen.
4. Ein Kreis hat die Gleichung $$x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$$. Bestimme die Tangentengleichungen, die parallel zur Geraden $$3x + 4y = 7$$ verlaufen.
Visible text: 1. Bestimme die Tangentengleichung für den Kreis im Punkt .
2. Finde die Tangentengleichungen für den Kreis mit der Steigung .
3. Bestimme die Tangentengleichungen für den Kreis , die durch den Punkt verlaufen.
4. Ein Kreis hat die Gleichung . Bestimme die Tangentengleichungen, die parallel zur Geraden verlaufen.
### Ausführliche Lösungen
1. **Lösung**:
Für den Kreis $$x^2 + y^2 = 16$$ und den Berührpunkt $$(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$$ verwenden wir die Berührpunktform:
```math
x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2
```
**Schritt** $$1$$: Setze die Koordinaten des Berührpunkts ein.
```math
x \cdot 2\sqrt{2} + y \cdot 2\sqrt{2} = 16
```
```math
2\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y = 16
```
**Schritt** $$2$$: Teile beide Seiten durch $$2\sqrt{2}$$.
```math
x + y = \frac{16}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}
```
Die Tangentengleichung lautet also $$x + y = 4\sqrt{2}$$.
2. **Lösung**:
Für die Steigung $$m = -\frac{1}{2}$$ und den Radius $$r = 3$$ gilt:
```math
y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}
```
**Schritt** $$1$$: Berechne $$\sqrt{1 + m^2}$$.
```math
\sqrt{1 + m^2} = \sqrt{1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}
```
**Schritt** $$2$$: Setze das Ergebnis in die Tangentenformel ein.
```math
y = -\frac{1}{2}x \pm 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{2}x \pm \frac{3\sqrt{5}}{2}
```
Die beiden Tangentengleichungen lauten also: $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{5}}{2}$$ und $$y = -\frac{1}{2}x - \frac{3\sqrt{5}}{2}$$.
3. **Lösung**:
Der Kreis $$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$$ hat den Mittelpunkt $$(3,4)$$ und den Radius $$r = 5$$.
**Schritt** $$1$$: Prüfe die Lage von $$(11,10)$$.
```math
(11-3)^2 + (10-4)^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 > 25
```
Der Punkt liegt außerhalb des Kreises.
**Schritt** $$2$$: Verschiebe den Mittelpunkt gedanklich in den Ursprung. Relativ zum Mittelpunkt hat der äußere Punkt $$(11,10)$$ die Koordinaten $$(8,6)$$.
**Schritt** $$3$$: Stelle die quadratische Gleichung für die Steigungen von $$(8,6)$$ an den Kreis $$x^2 + y^2 = 25$$ auf.
```math
(8^2 - 25)m^2 - 2(8)(6)m + (6^2 - 25) = 0
```
```math
39m^2 - 96m + 11 = 0
```
**Schritt** $$4$$: Löse sie mit der quadratischen Formel.
```math
m = \frac{96 \pm \sqrt{96^2 - 4(39)(11)}}{2(39)} = \frac{96 \pm \sqrt{9216 - 1716}}{78}
```
```math
m = \frac{96 \pm \sqrt{7500}}{78} = \frac{96 \pm 50\sqrt{3}}{78}
```
**Schritt** $$5$$: Vereinfache die Steigungen und setze sie in die Punkt-Steigungs-Form durch $$(11,10)$$ ein.
```math
m_1 = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} \quad \text{und} \quad m_2 = \frac{48 - 25\sqrt{3}}{39}
```
```math
y-10=\frac{48+25\sqrt{3}}{39}(x-11)
```
```math
y-10=\frac{48-25\sqrt{3}}{39}(x-11)
```
Das sind die beiden Tangenten durch $$(11,10)$$.
4. **Lösung**:
**Schritt** $$1$$: Bringe die Kreisgleichung durch quadratische Ergänzung in die Standardform.
```math
x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0
```
```math
(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = 9 + 16
```
```math
(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25
```
Der Mittelpunkt ist $$(3,4)$$, der Radius ist $$r=5$$.
**Schritt** $$2$$: Lies die Steigung der vorgegebenen Geraden ab. Da $$3x + 4y = 7$$ die Form $$y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$$ hat, besitzt jede parallele Gerade die Steigung $$m = -\frac{3}{4}$$.
**Schritt** $$3$$: Setze den Mittelpunkt $$(3,4)$$, den Radius und die Steigung in die Tangentenformel ein.
```math
y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \pm 5\sqrt{1 + \frac{9}{16}}
```
```math
y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \pm 5 \cdot \frac{5}{4}
```
```math
y = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4} + 4 \pm \frac{25}{4}
```
**Schritt** $$4$$: Vereinfache beide Gleichungen.
```math
y = -\frac{3}{4}x + \frac{50}{4} = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{2}
```
```math
y = -\frac{3}{4}x
```
Die beiden Tangentengleichungen lauten also: $$y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{2}$$ und $$y = -\frac{3}{4}x$$.
Visible text: 1. **Lösung**:
Für den Kreis und den Berührpunkt verwenden wir die Berührpunktform:
**Schritt** : Setze die Koordinaten des Berührpunkts ein.
**Schritt** : Teile beide Seiten durch .
Die Tangentengleichung lautet also .
2. **Lösung**:
Für die Steigung und den Radius gilt:
**Schritt** : Berechne .
**Schritt** : Setze das Ergebnis in die Tangentenformel ein.
Die beiden Tangentengleichungen lauten also: und .
3. **Lösung**:
Der Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius .
**Schritt** : Prüfe die Lage von .
Der Punkt liegt außerhalb des Kreises.
**Schritt** : Verschiebe den Mittelpunkt gedanklich in den Ursprung. Relativ zum Mittelpunkt hat der äußere Punkt die Koordinaten .
**Schritt** : Stelle die quadratische Gleichung für die Steigungen von an den Kreis auf.
**Schritt** : Löse sie mit der quadratischen Formel.
**Schritt** : Vereinfache die Steigungen und setze sie in die Punkt-Steigungs-Form durch ein.
Das sind die beiden Tangenten durch .
4. **Lösung**:
**Schritt** : Bringe die Kreisgleichung durch quadratische Ergänzung in die Standardform.
Der Mittelpunkt ist , der Radius ist .
**Schritt** : Lies die Steigung der vorgegebenen Geraden ab. Da die Form hat, besitzt jede parallele Gerade die Steigung .
**Schritt** : Setze den Mittelpunkt , den Radius und die Steigung in die Tangentenformel ein.
**Schritt** : Vereinfache beide Gleichungen.
Die beiden Tangentengleichungen lauten also: und .