# Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Binomialverteilung
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/datenanalyse-und-wahrscheinlichkeit/binomialverteilung
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/data-analysis-probability/binomial-distribution-function/de.mdx
Lerne die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Binomialverteilung kennen, prüfe ihre Voraussetzungen und berechne exakte Wahrscheinlichkeiten in Beispielen und Übungen.
---
## Jacob Bernoulli kennenlernen
Jacob Bernoullis *Ars Conjectandi* erschien nach seinem Tod im Jahr $$1713$$. Das Buch entwickelte grundlegende Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung, darunter Bernoullis Gesetz der großen Zahlen, und untersuchte wiederholte Erfolgs-Misserfolgs-Versuche, die heute seinen Namen tragen.
Visible text: Jacob Bernoullis *Ars Conjectandi* erschien nach seinem Tod im Jahr . Das Buch entwickelte grundlegende Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung, darunter Bernoullis Gesetz der großen Zahlen, und untersuchte wiederholte Erfolgs-Misserfolgs-Versuche, die heute seinen Namen tragen.
## Kombination und Basiswahrscheinlichkeit
Bevor wir uns mit der Binomialverteilung befassen, müssen wir zunächst einige grundlegende Formeln lernen.
Zunächst die Kombinationsformel zum Auswählen von Objekten:
```math
C_k^n = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
```
Zweitens Fakultät (sequentielle Multiplikation):
```math
n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1
```
Nach Definition gilt $$0!=1$$.
Visible text: Nach Definition gilt .
Und drittens die Beziehung zwischen der Ereigniswahrscheinlichkeit und ihrem Komplement:
```math
P(A) + P(A^c) = 1
```
Dabei ist $$P(A)$$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, und $$P(A^c)$$ die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt.
Visible text: Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, und die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt.
## Binomialverteilungskonzept
Eine binomialverteilte Zufallsvariable zählt Erfolge in wiederholten Versuchen. Jeder Versuch hat zwei einander ausschließende Ergebnisse, etwa Kopf oder Zahl bei einer Münze. Das als **Erfolg** bezeichnete Ergebnis wird gezählt.
Das Modell gilt nur bei einer festen Versuchszahl, unabhängigen Versuchen und gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit. Unabhängigkeit bedeutet, dass ein früheres Ergebnis die Wahrscheinlichkeit in einem späteren Versuch nicht verändert.
**Anforderungen für Binomialexperimente:**
- Es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse: Erfolg oder Misserfolg
- Die Anzahl der Experimente ist vorgegeben und festgelegt
- Die einzelnen Versuche sind voneinander unabhängig
- Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist für jedes Experiment gleich
## Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Binomialverteilung
Für ein Binomialexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $$p$$ und Misserfolgswahrscheinlichkeit $$q = 1-p$$ gibt die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion die Wahrscheinlichkeit für genau $$x$$ Erfolge in $$n$$ unabhängigen Versuchen an:
Visible text: Für ein Binomialexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit und Misserfolgswahrscheinlichkeit gibt die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion die Wahrscheinlichkeit für genau Erfolge in unabhängigen Versuchen an:
```math
P(X=x) = \binom{n}{x}p^xq^{n-x}, \qquad x=0{,}1{,}2{,}\ldots{,}n
```
Wo:
- $$n$$ = feste Anzahl der Versuche
- $$x$$ = Anzahl der gezählten Erfolge
- $$p$$ = Erfolgswahrscheinlichkeit in einem Versuch
- $$q = 1-p$$ = Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs in einem Versuch
Visible text: - = feste Anzahl der Versuche
- = Anzahl der gezählten Erfolge
- = Erfolgswahrscheinlichkeit in einem Versuch
- = Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs in einem Versuch
Prüfe vor dem Einsetzen alle vier Binomialbedingungen. Andernfalls beschreibt dieses Wahrscheinlichkeitsmodell den Versuch möglicherweise nicht.
## Münzexperiment
Betrachten wir eine faire Münze. Ihr Ergebnisraum enthält Kopf und Zahl:
```math
S = \{\text{Kopf},\text{Zahl}\}
```
Wenn „Zahl“ als Erfolg gilt, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit $$p = \frac{1}{2}$$. Für den Misserfolg „Kopf“ gilt entsprechend $$q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$.
Visible text: Wenn „Zahl“ als Erfolg gilt, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit . Für den Misserfolg „Kopf“ gilt entsprechend .
**Aufgabe:** Wir werfen die Münze $$7$$-mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau $$5$$-mal Zahl zu erhalten?
Visible text: **Aufgabe:** Wir werfen die Münze -mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau -mal Zahl zu erhalten?
**Lösung:**
Zuerst ordnen wir die Parameter zu:
- $$n = 7$$ (Anzahl der Würfe)
- $$x = 5$$ (gewünschte Anzahl von „Zahl“)
- $$p = \frac{1}{2}$$ (Wahrscheinlichkeit, Zahl zu bekommen)
- $$q = \frac{1}{2}$$ (Wahrscheinlichkeit für Kopf)
Visible text: - (Anzahl der Würfe)
- (gewünschte Anzahl von „Zahl“)
- (Wahrscheinlichkeit, Zahl zu bekommen)
- (Wahrscheinlichkeit für Kopf)
Nun verwenden wir die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion:
Component: MathContainer
Children:
```math
P(X=5) = \binom{7}{5} \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^{7-5}
```
```math
= \binom{7}{5} \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^2
```
```math
= \binom{7}{5} \left(\frac{1}{2}\right)^7
```
Berechnen wir zunächst $$\binom{7}{5}$$:
Visible text: Berechnen wir zunächst :
Component: MathContainer
Children:
```math
\binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!}
```
```math
= \frac{7 \times 6 \times 5!}{5! \times 2 \times 1} = \frac{7 \times 6}{2} = \frac{42}{2} = 21
```
Die vollständige Berechnung lautet also:
Component: MathContainer
Children:
```math
P(X=5) = 21 \times \frac{1}{2^7} = 21 \times \frac{1}{128} = \frac{21}{128}
```
Die Wahrscheinlichkeit, bei $$7$$ Münzwürfen genau $$5$$-mal Zahl zu erhalten, beträgt somit $$\frac{21}{128}$$ oder ungefähr $$16{,}4\%$$.
Visible text: Die Wahrscheinlichkeit, bei Münzwürfen genau -mal Zahl zu erhalten, beträgt somit oder ungefähr .
## Übungsaufgaben
1. In einer Tüte befinden sich $$10$$ Kugeln, die bis auf die Farbe genau gleich sind: $$6$$ rote und $$4$$ blaue Kugeln. Wir ziehen $$5$$ Kugeln nacheinander mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau $$3$$ rote Kugeln zu ziehen?
2. Ein Bogenschütze trifft sein Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von $$80\%$$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei $$6$$ Schüssen genau $$4$$-mal trifft?
3. Für jede Frage gibt es eine Multiple-Choice-Prüfung mit $$4$$ Antwortmöglichkeiten. Ein Schüler errät zufällig alle Antworten auf $$8$$-Fragen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau $$2$$ Fragen richtig beantwortet?
Visible text: 1. In einer Tüte befinden sich Kugeln, die bis auf die Farbe genau gleich sind: rote und blaue Kugeln. Wir ziehen Kugeln nacheinander mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau rote Kugeln zu ziehen?
2. Ein Bogenschütze trifft sein Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei Schüssen genau -mal trifft?
3. Für jede Frage gibt es eine Multiple-Choice-Prüfung mit Antwortmöglichkeiten. Ein Schüler errät zufällig alle Antworten auf -Fragen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau Fragen richtig beantwortet?
### Lösungen
1. **Antwort zum Red-Ball-Problem**
**Schritt** $$1$$: Parameter identifizieren.
- $$n = 5$$ (Anzahl der Ziehungen)
- $$x = 3$$ (Anzahl der gewünschten roten Kugeln)
- $$p = \frac{6}{10} = 0{,}6$$ (Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen)
- $$q = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$$ (Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen)
**Schritt** $$2$$: Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.
```math
P(X=3) = \binom{5}{3} (0{,}6)^3 (0{,}4)^2
```
Berechnen wir zunächst $$\binom{5}{3}$$:
```math
\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
```
Dann:
```math
= 10 \times (0{,}6)^3 \times (0{,}4)^2
```
```math
= 10 \times 0{,}216 \times 0{,}16 = 0{,}3456
```
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, genau $$3$$ rote Kugeln zu ziehen, $$0{,}3456$$ oder ungefähr $$34{,}6\%$$.
2. **Antwort zum Archer-Problem**
**Schritt** $$1$$: Parameter identifizieren.
- $$n = 6$$ (Anzahl der Schüsse)
- $$x = 4$$ (Anzahl der gewünschten Ziele)
- $$p = 0{,}8$$ (Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen)
- $$q = 0{,}2$$ (Wahrscheinlichkeit des Fehlens)
**Schritt** $$2$$: Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.
```math
P(X=4) = \binom{6}{4} (0{,}8)^4 (0{,}2)^2
```
Berechnen wir zunächst $$\binom{6}{4}$$:
```math
\binom{6}{4} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
```
Dann:
```math
= 15 \times (0{,}8)^4 \times (0{,}2)^2
```
```math
= 15 \times 0{,}4096 \times 0{,}04 = 0{,}24576 \approx 0{,}2458
```
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Bogenschütze genau $$4$$-mal trifft, beträgt somit $$0{,}2458$$ oder ungefähr $$24{,}6\%$$.
3. **Lösung zur Multiple-Choice-Prüfungsaufgabe**
**Schritt** $$1$$: Parameter identifizieren.
- $$n = 8$$ (Anzahl der Fragen)
- $$x = 2$$ (Anzahl der gewünschten richtigen Antworten)
- $$p = \frac{1}{4} = 0{,}25$$ (Wahrscheinlichkeit der richtigen Antwort durch Raten)
- $$q = \frac{3}{4} = 0{,}75$$ (Wahrscheinlichkeit einer falschen Antwort)
**Schritt** $$2$$: Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.
```math
P(X=2) = \binom{8}{2} (0{,}25)^2 (0{,}75)^6
```
Berechnen wir zunächst $$\binom{8}{2}$$:
```math
\binom{8}{2} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28
```
Dann:
```math
= 28 \times (0{,}25)^2 \times (0{,}75)^6
```
```math
= 28 \times 0{,}0625 \times 0{,}177978515625 = 0{,}31146240234375 \approx 0{,}3115
```
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler genau $$2$$ Fragen richtig beantwortet, ungefähr $$0{,}3115$$ oder $$31{,}15\%$$.
Visible text: 1. **Antwort zum Red-Ball-Problem**
**Schritt** : Parameter identifizieren.
- (Anzahl der Ziehungen)
- (Anzahl der gewünschten roten Kugeln)
- (Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen)
- (Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen)
**Schritt** : Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.
Berechnen wir zunächst :
Dann:
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, genau rote Kugeln zu ziehen, oder ungefähr .
2. **Antwort zum Archer-Problem**
**Schritt** : Parameter identifizieren.
- (Anzahl der Schüsse)
- (Anzahl der gewünschten Ziele)
- (Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen)
- (Wahrscheinlichkeit des Fehlens)
**Schritt** : Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.
Berechnen wir zunächst :
Dann:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Bogenschütze genau -mal trifft, beträgt somit oder ungefähr .
3. **Lösung zur Multiple-Choice-Prüfungsaufgabe**
**Schritt** : Parameter identifizieren.
- (Anzahl der Fragen)
- (Anzahl der gewünschten richtigen Antworten)
- (Wahrscheinlichkeit der richtigen Antwort durch Raten)
- (Wahrscheinlichkeit einer falschen Antwort)
**Schritt** : Mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen.
Berechnen wir zunächst :
Dann:
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler genau Fragen richtig beantwortet, ungefähr oder .