# Erwartungswert der Binomialverteilung > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/datenanalyse-und-wahrscheinlichkeit/erwartungswert-der-binomialverteilung Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/data-analysis-probability/expected-value-of-binomial-distribution/de.mdx Verstehe den Erwartungswert einer Binomialverteilung und berechne die mittlere Anzahl der Erfolge bei wiederholten Versuchen. --- ## Den Erwartungswert verstehen Angenommen, jeder Freiwurf trifft unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit $$p=0{,}8$$, und $$X$$ zählt die Treffer bei $$n=10$$ Versuchen. Dann gilt $$E(X)=8$$: Über viele Serien mit je zehn Würfen nähert sich die mittlere Trefferzahl dem Wert $$8$$. Visible text: Angenommen, jeder Freiwurf trifft unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit , und zählt die Treffer bei Versuchen. Dann gilt : Über viele Serien mit je zehn Würfen nähert sich die mittlere Trefferzahl dem Wert . Der Erwartungswert ist der mit Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittelwert einer Zufallsvariablen. Er beschreibt einen langfristigen Durchschnitt, kein garantiertes Ergebnis in einer einzelnen Serie. Ein Erwartungswert kann außerdem nicht ganzzahlig sein, obwohl die Zufallsvariable selbst nur ganzzahlige Werte annimmt. ## Erwartungswert einer Binomialverteilung Eine binomialverteilte Zufallsvariable zählt Erfolge in einer festen Anzahl unabhängiger Versuche mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit. Ihr Erwartungswert gibt die langfristige mittlere Zahl der Erfolge an. Er muss nicht mit der wahrscheinlichsten Erfolgszahl übereinstimmen, denn diese wird durch den Modus beschrieben. Für die Binomialverteilung $$b(x;n,p)$$ gilt: Visible text: Für die Binomialverteilung gilt: ```math E(X) = np ``` Dabei ist $$n$$ die Zahl der Versuche und $$p$$ die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs. Visible text: Dabei ist die Zahl der Versuche und die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs. Ist die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Versuch $$p$$, dann beträgt die erwartete Zahl der Erfolge in $$n$$ Versuchen: Visible text: Ist die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Versuch , dann beträgt die erwartete Zahl der Erfolge in Versuchen: ```math E(X) = n \times p ``` ## Woher kommt die Formel? Die Formel folgt direkt daraus, dass jeder einzelne Versuch entweder null oder einen Erfolg beiträgt. Wir beschreiben den $$k$$-ten Versuch durch die Zufallsvariable $$I_k$$. Sie hat den Wert $$1$$ bei **Erfolg** und $$0$$ bei **Misserfolg**. Visible text: Wir beschreiben den -ten Versuch durch die Zufallsvariable . Sie hat den Wert bei **Erfolg** und bei **Misserfolg**. Der erwartete Wert für einen einzelnen Versuch ist: ```math E(I_k) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p ``` Die Gesamtzahl der Erfolge $$X$$ ist die Summe dieser einzelnen Variablen: Visible text: Die Gesamtzahl der Erfolge ist die Summe dieser einzelnen Variablen: ```math X = I_1 + I_2 + ... + I_n ``` Erwartungswerte addieren sich. Daher gilt: Component: MathContainer Children: ```math E(X) = E(I_1) + E(I_2) + ... + E(I_n) ``` ```math E(X) = \underbrace{p + p + ... + p}_{n\text{-mal}} = np ``` Der Erwartungswert ist somit das Produkt aus Versuchszahl und Erfolgswahrscheinlichkeit. ## Fallbeispiel: Würfeln Betrachten wir dazu ein Beispiel. **Aufgabe:** Ein fairer Würfel wird $$7$$-mal geworfen. Wie oft ist dabei im Mittel eine Fünf zu erwarten? Visible text: Ein fairer Würfel wird -mal geworfen. Wie oft ist dabei im Mittel eine Fünf zu erwarten? **Lösung:** Zunächst prüfen wir die Voraussetzungen: - Es gibt nur zwei Möglichkeiten: **Erfolg** (Würfeln eines $$5$$) oder **Misserfolg** (Würfeln einer anderen Zahl als $$5$$) - Feste Anzahl von Versuchen: $$7$$ Würfe - Jeder Wurf ist unabhängig: Das Ergebnis vorheriger Würfe hat keinen Einfluss auf nachfolgende Würfe - Gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit: $$p = \frac{1}{6}$$ bei jedem Wurf Visible text: - Es gibt nur zwei Möglichkeiten: **Erfolg** (Würfeln eines ) oder **Misserfolg** (Würfeln einer anderen Zahl als ) - Feste Anzahl von Versuchen: Würfe - Jeder Wurf ist unabhängig: Das Ergebnis vorheriger Würfe hat keinen Einfluss auf nachfolgende Würfe - Gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit: bei jedem Wurf Jetzt identifizieren wir die Parameter: Component: MathContainer Children: ```math S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} ``` ```math p = \frac{1}{6} ``` ```math n = 7 ``` Jetzt können wir den Erwartungswert direkt mit der Formel berechnen: ```math E(X) = np = 7 \times \frac{1}{6} = \frac{7}{6} \approx 1{,}167 ``` **Was bedeutet die Zahl $$1{,}167$$?** Visible text: **Was bedeutet die Zahl ?** Der Erwartungswert $$1{,}167$$ bedeutet nicht, dass die Augenzahl $$5$$ in einer einzelnen Serie genau $$1{,}167$$-mal fallen kann. Wiederholt man jedoch sehr viele Serien mit jeweils $$7$$ Würfen, erscheint die $$5$$ langfristig im Mittel etwa $$1{,}167$$-mal pro Serie. Visible text: Der Erwartungswert bedeutet nicht, dass die Augenzahl in einer einzelnen Serie genau -mal fallen kann. Wiederholt man jedoch sehr viele Serien mit jeweils Würfen, erscheint die langfristig im Mittel etwa -mal pro Serie. In einer konkreten Serie von $$7$$ Würfen kann die $$5$$ $$0$$-, $$1$$-, $$2$$- oder auch $$3$$-mal fallen. Erst der Durchschnitt über viele Serien nähert sich $$1{,}167$$. Visible text: In einer konkreten Serie von Würfen kann die -, -, - oder auch -mal fallen. Erst der Durchschnitt über viele Serien nähert sich .