# Erwartungswert der Normalverteilung > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/datenanalyse-und-wahrscheinlichkeit/erwartungswert-der-normalverteilung Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/data-analysis-probability/expected-value-of-normal-distribution/de.mdx Verstehe den Erwartungswert einer Normalverteilung und deute den Mittelwert in statistischen Aufgaben. --- ## Grundkonzept des Erwartungswerts Der **Erwartungswert** ist der mit Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittelwert einer Zufallsvariablen. Er beschreibt auch den langfristigen Durchschnitt vieler unabhängiger Beobachtungen. Im Allgemeinen muss er nicht mit dem häufigsten Wert übereinstimmen. Bei einer Normalverteilung liegen Mittelwert, Median, Modus und Erwartungswert jedoch im selben Zentrum. Aus dieser Symmetrie folgt eine einfache Regel für den Erwartungswert. > Gilt $$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$ mit $$\sigma>0$$, dann entspricht der Erwartungswert dem Mittelwertparameter $$\mu$$. Visible text: > Gilt mit , dann entspricht der Erwartungswert dem Mittelwertparameter . Mathematisch können wir schreiben: ```math E(X) = \mu ``` Dabei ist $$X$$ eine Zufallsvariable, die der Normalverteilung folgt, und $$\mu$$ der Mittelwertparameter dieser Verteilung. Visible text: Dabei ist eine Zufallsvariable, die der Normalverteilung folgt, und der Mittelwertparameter dieser Verteilung. Die folgende Rechnung zeigt, warum das gilt. ## Mathematischer Beweis Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen ist definiert als: ```math E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx ``` Für eine Normalverteilung mit $$\sigma>0$$ lautet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion: Visible text: Für eine Normalverteilung mit lautet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion: ```math f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} ``` Wir setzen diese Funktion in die Erwartungswertformel ein: ```math E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \, dx ``` Nun verwenden wir die Substitution $$t = \frac{x-\mu}{\sigma}$$. Dann gilt $$x = \sigma t + \mu$$ und $$dx = \sigma \, dt$$. Visible text: Nun verwenden wir die Substitution . Dann gilt und . Component: MathContainer Children: ```math E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma t + \mu) \cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} \cdot \sigma \, dt ``` ```math E(X) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma t + \mu) e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt ``` ```math E(X) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} t e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt ``` Für die beiden Integrale gilt: - **Erstes Integral:** $$\int_{-\infty}^{\infty} t e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt = 0$$, weil $$g(t)=t e^{-\frac{1}{2}t^2}$$ ungerade ist. Aus $$g(-t) = -g(t)$$ folgt, dass sich die vorzeichenbehafteten Flächen über dem symmetrischen Intervall $$(-\infty, \infty)$$ aufheben. - **Zweites Integral:** $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt = \sqrt{2\pi}$$ ist das Gaußsche Integral. Multipliziert mit dem Normierungsfaktor $$1/\sqrt{2\pi}$$ ergibt es die Gesamtwahrscheinlichkeit $$1$$ der Standardnormaldichte. Visible text: - **Erstes Integral:** , weil ungerade ist. Aus folgt, dass sich die vorzeichenbehafteten Flächen über dem symmetrischen Intervall aufheben. - **Zweites Integral:** ist das Gaußsche Integral. Multipliziert mit dem Normierungsfaktor ergibt es die Gesamtwahrscheinlichkeit der Standardnormaldichte. Deshalb: Component: MathContainer Children: ```math E(X) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \cdot 0 + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi} ``` ```math E(X) = 0 + \mu = \mu ``` Damit ist gezeigt, dass **der Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen ihrem Mittelwertparameter entspricht**. > Für jede Normalverteilung $$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$ gilt $$E(X) = \mu$$. Das bedeutet, dass wir nicht jedes Mal eine Integration durchführen müssen, wenn wir den Erwartungswert einer Normalverteilung berechnen; wir verwenden einfach den Parameterwert $$\mu$$. Visible text: > Für jede Normalverteilung gilt . Das bedeutet, dass wir nicht jedes Mal eine Integration durchführen müssen, wenn wir den Erwartungswert einer Normalverteilung berechnen; wir verwenden einfach den Parameterwert . ## Praktische Interpretation Das Ergebnis hat eine direkte statistische Bedeutung: Für eine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert $$\mu$$ und Standardabweichung $$\sigma$$ ist der **Erwartungswert** genau $$\mu$$. Bei vielen unabhängigen Beobachtungen aus dieser Verteilung nähert sich der Stichprobenmittelwert nach dem Gesetz der großen Zahlen dem Wert $$\mu$$. Visible text: Für eine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert und Standardabweichung ist der **Erwartungswert** genau . Bei vielen unabhängigen Beobachtungen aus dieser Verteilung nähert sich der Stichprobenmittelwert nach dem Gesetz der großen Zahlen dem Wert . **Beispiel:** Wenn die Körpergröße der Schüler Ihrer Schule normalverteilt ist und der Mittelwert $$165 \text{ cm}$$ beträgt, beträgt der erwartete Wert der Körpergröße eines zufällig ausgewählten Schülers $$165 \text{ cm}$$. Visible text: Wenn die Körpergröße der Schüler Ihrer Schule normalverteilt ist und der Mittelwert beträgt, beträgt der erwartete Wert der Körpergröße eines zufällig ausgewählten Schülers . ## Anwendungsbeispiele **Beispiel** $$1$$ Visible text: **Beispiel** Angenommen, die Ergebnisse einer Mathematikprüfung werden durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert $$\mu = 75$$ und der Standardabweichung $$\sigma = 10$$ modelliert. Wie hoch ist der Erwartungswert der Punktzahl eines zufällig ausgewählten Schülers? Visible text: Angenommen, die Ergebnisse einer Mathematikprüfung werden durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Standardabweichung modelliert. Wie hoch ist der Erwartungswert der Punktzahl eines zufällig ausgewählten Schülers? **Lösung:** Da für die Normalverteilung $$E(X) = \mu$$ gilt, beträgt der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl: Visible text: Da für die Normalverteilung gilt, beträgt der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl: ```math E(X) = 75 ``` Der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl beträgt daher $$75$$. Visible text: Der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl beträgt daher . **Beispiel** $$2$$ Visible text: **Beispiel** Angenommen, die Gewichte von Neugeborenen in einem Krankenhaus werden durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert $$3{.}200 \text{Gramm}$$ und der Standardabweichung $$400 \text{Gramm}$$ modelliert. Bestimme das erwartete Gewicht eines zufällig ausgewählten Neugeborenen. Visible text: Angenommen, die Gewichte von Neugeborenen in einem Krankenhaus werden durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Standardabweichung modelliert. Bestimme das erwartete Gewicht eines zufällig ausgewählten Neugeborenen. **Lösung:** Gegeben seien $$\mu = 3{.}200 \text{Gramm}$$ und $$\sigma = 400 \text{Gramm}$$. Visible text: Gegeben seien und . Das erwartete Gewicht entspricht dem Mittelwertparameter: ```math E(X) = \mu = 3{.}200 \text{Gramm} ``` ## Übungen 1. Die Fahrzeit von zu Hause zur Schule wird durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert $$25 \text{Minuten}$$ und der Standardabweichung $$5 \text{Minuten}$$ modelliert. Bestimme die erwartete Fahrzeit. 2. Die tägliche Lufttemperatur in Jakarta im Juni wird durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert $$28^\circ\text{C}$$ und der Standardabweichung $$3^\circ\text{C}$$ modelliert. Wie hoch ist die erwartete Temperatur an einem zufällig ausgewählten Tag? 3. Die Physikprüfungsergebnisse der Jahrgangsstufe $$12$$ werden durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert $$78$$ und der Standardabweichung $$12$$ modelliert. Wie hoch ist der Erwartungswert für einen zufällig ausgewählten Schüler? Visible text: 1. Die Fahrzeit von zu Hause zur Schule wird durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Standardabweichung modelliert. Bestimme die erwartete Fahrzeit. 2. Die tägliche Lufttemperatur in Jakarta im Juni wird durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Standardabweichung modelliert. Wie hoch ist die erwartete Temperatur an einem zufällig ausgewählten Tag? 3. Die Physikprüfungsergebnisse der Jahrgangsstufe werden durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Standardabweichung modelliert. Wie hoch ist der Erwartungswert für einen zufällig ausgewählten Schüler? ### Lösungen 1. **Lösung zu Aufgabe** $$1$$: Gegeben: $$\mu = 25 \text{Minuten}$$, $$\sigma = 5 \text{Minuten}$$ Da die Normalverteilung die Eigenschaft $$E(X) = \mu$$ hat, gilt: ```math E(X) = 25 \text{Minuten} ``` **Antwort:** Der Erwartungswert der Reisezeit beträgt $$25 \text{Minuten}$$. 2. **Lösung zu Aufgabe** $$2$$: Gegeben: $$\mu = 28^\circ\text{C}$$, $$\sigma = 3^\circ\text{C}$$ Verwendung der Grundeigenschaft der Normalverteilung: ```math E(X) = \mu = 28^\circ\text{C} ``` **Antwort:** Der erwartete Wert der Lufttemperatur beträgt $$28^\circ\text{C}$$. 3. **Lösung zu Aufgabe** $$3$$: Gegeben: $$\mu = 78$$, $$\sigma = 12$$ Mit der grundlegenden Eigenschaft der Normalverteilung gilt: ```math E(X) = \mu = 78 ``` **Antwort:** Der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl beträgt $$78$$. Visible text: 1. **Lösung zu Aufgabe** : Gegeben: , Da die Normalverteilung die Eigenschaft hat, gilt: **Antwort:** Der Erwartungswert der Reisezeit beträgt . 2. **Lösung zu Aufgabe** : Gegeben: , Verwendung der Grundeigenschaft der Normalverteilung: **Antwort:** Der erwartete Wert der Lufttemperatur beträgt . 3. **Lösung zu Aufgabe** : Gegeben: , Mit der grundlegenden Eigenschaft der Normalverteilung gilt: **Antwort:** Der Erwartungswert der Prüfungspunktzahl beträgt .