# Diskrete Gleichverteilung > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/datenanalyse-und-wahrscheinlichkeit/gleichverteilung Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/data-analysis-probability/uniform-distribution/de.mdx Lerne die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der diskreten Gleichverteilung anhand gleich wahrscheinlicher Würfel- und Kartenergebnisse kennen. --- ## Einfache Wahrscheinlichkeit verstehen Im Alltag begegnen uns häufig Situationen mit ungewissem Ausgang. Eine faire Münze kann zum Beispiel Kopf oder Zahl zeigen, und beide Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Besteht ein endlicher Ergebnisraum aus gleich wahrscheinlichen Ergebnissen, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $$A$$ gleich der Anzahl der Ergebnisse in $$A$$ geteilt durch die Gesamtzahl der Ergebnisse im Ergebnisraum $$S$$. Visible text: Besteht ein endlicher Ergebnisraum aus gleich wahrscheinlichen Ergebnissen, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Anzahl der Ergebnisse in geteilt durch die Gesamtzahl der Ergebnisse im Ergebnisraum . ```math P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} ``` ## Konzept der gleichmäßigen Verteilung Bei einer diskreten Gleichverteilung hat **jedes mögliche Ergebnis genau dieselbe Wahrscheinlichkeit**. Diese Lektion behandelt das diskrete Modell auf einer endlichen Menge; eine stetige Gleichverteilung verwendet dagegen eine Dichte auf einem Intervall. Bei einem fairen sechsseitigen Würfel sind die möglichen Ergebnisse $$1, 2, 3, 4, 5, 6$$. Eine $$1$$ ist genauso wahrscheinlich wie eine $$6$$. Da sechs Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, hat jedes die Wahrscheinlichkeit $$\frac{1}{6}$$. Visible text: Bei einem fairen sechsseitigen Würfel sind die möglichen Ergebnisse . Eine ist genauso wahrscheinlich wie eine . Da sechs Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, hat jedes die Wahrscheinlichkeit . ## Mathematische Formel Die Zufallsvariable $$X$$ besitze eine endliche Menge $$S$$ aus $$k$$ gleich wahrscheinlichen Werten. Dann lautet ihre Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion: Visible text: Die Zufallsvariable besitze eine endliche Menge aus gleich wahrscheinlichen Werten. Dann lautet ihre Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion: ```math P(X=x) = \frac{1}{k}, \qquad x \in S ``` Dabei gilt: - $$P(X=x)$$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $$X$$ den Wert $$x$$ annimmt - $$x$$ ist eines der möglichen Ergebnisse (zum Beispiel die Zahl $$3$$ auf einem Würfel) - $$k$$ ist die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse (zum Beispiel $$6$$ für einen Würfel) Visible text: - ist die Wahrscheinlichkeit, dass den Wert annimmt - ist eines der möglichen Ergebnisse (zum Beispiel die Zahl auf einem Würfel) - ist die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse (zum Beispiel für einen Würfel) > Jedes Ergebnis erhält denselben Anteil an der Gesamtwahrscheinlichkeit: eins geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse. ## Praktische Anwendungen Die folgenden Beispiele wenden die Definition auf endliche Ergebnisräume an. ### Würfeln Ein fairer sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Wie bestimmen wir seine diskrete Gleichverteilung? - **Mögliche Ergebnisse:** Der Ergebnisraum ist $$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$ - **Gesamtzahl der Ergebnisse:** Es gibt $$6$$ mögliche Ergebnisse, also $$k=6$$ - **Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion:** ```math P(X=x) = \frac{1}{6}, \qquad x \in \{1,2,3,4,5,6\} ``` - **Bedeutung:** Die Wahrscheinlichkeit, die Zahlen $$1, 2, 3, 4, 5, 6$$ zu erhalten, beträgt jeweils $$\frac{1}{6}$$ oder ungefähr $$16{,}67\%$$ Visible text: - **Mögliche Ergebnisse:** Der Ergebnisraum ist - **Gesamtzahl der Ergebnisse:** Es gibt mögliche Ergebnisse, also - **Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion:** - **Bedeutung:** Die Wahrscheinlichkeit, die Zahlen zu erhalten, beträgt jeweils oder ungefähr ### Preisrad Ein faires Glücksrad sei in $$8$$ gleich große Abschnitte mit den Nummern $$1$$ bis $$8$$ geteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei $$5$$ stehen bleibt? Visible text: Ein faires Glücksrad sei in gleich große Abschnitte mit den Nummern bis geteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei stehen bleibt? - **Mögliche Ergebnisse:** $$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$$ - **Gesamtzahl der Ergebnisse:** Es gibt $$8$$ Abschnitte, also $$k=8$$ - **Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion:** ```math P(X=x) = \frac{1}{8}, \qquad x \in \{1,2,3,4,5,6,7,8\} ``` - **Bedeutung:** Die Wahrscheinlichkeit, dass das Rad bei der Zahl $$5$$ (oder einer anderen Zahl) stoppt, beträgt $$\frac{1}{8}$$ oder $$12{,}5\%$$ Visible text: - **Mögliche Ergebnisse:** - **Gesamtzahl der Ergebnisse:** Es gibt Abschnitte, also - **Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion:** - **Bedeutung:** Die Wahrscheinlichkeit, dass das Rad bei der Zahl (oder einer anderen Zahl) stoppt, beträgt oder ## Übungen 1. Ein Beutel enthält $$10$$ Kugeln, die sich nur in ihrer Farbe unterscheiden: $$1 \text{ rote Kugel}$$, $$1 \text{ blaue Kugel}$$, $$1 \text{ grüne Kugel}$$ und so weiter, insgesamt $$10$$ verschiedene Farben. Wie groß ist bei einer zufälligen Ziehung die Wahrscheinlichkeit für eine gelbe Kugel? Gib auch die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion an. 2. In einem Standard-Bridge-Kartensatz mit $$52$$ Karten hat jede Karte die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden. Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt das Ziehen einer Karte? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Herzkönig zu ziehen? Visible text: 1. Ein Beutel enthält Kugeln, die sich nur in ihrer Farbe unterscheiden: , , und so weiter, insgesamt verschiedene Farben. Wie groß ist bei einer zufälligen Ziehung die Wahrscheinlichkeit für eine gelbe Kugel? Gib auch die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion an. 2. In einem Standard-Bridge-Kartensatz mit Karten hat jede Karte die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden. Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt das Ziehen einer Karte? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Herzkönig zu ziehen? ### Lösungen 1. **Lösung zur Aufgabe mit farbigen Kugeln** - **Schritt** $$1$$: Die Gesamtzahl der Möglichkeiten bestimmen. Es gibt $$10$$ Kugeln mit unterschiedlichen Farben. Daher beträgt die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse $$k=10$$. - **Schritt** $$2$$: Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion bestimmen. Da die Kugeln bis auf ihre Farbe identisch sind, ist jede gleich wahrscheinlich. Wir verwenden die Formel der diskreten Gleichverteilung: ```math P(X=x) = \frac{1}{10}, \qquad x \in S ``` Dabei steht $$x$$ für eine der $$10$$ vorhandenen Kugelfarben. - **Schritt** $$3$$: Die Wahrscheinlichkeit für die gelbe Kugel berechnen. Die gelbe Kugel ist eine von $$10$$ Kugeln. Ihre Wahrscheinlichkeit ist daher dieselbe wie die jeder anderen Kugel: ```math P(\text{Gelber Ball}) = \frac{1}{10} ``` Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen, **$$\frac{1}{10}$$** oder **$$10\%$$**. 2. **Lösung zur Aufgabe mit der Bridge-Karte** - **Schritt** $$1$$: Die Art der Verteilung bestimmen. Da jede Karte dieselbe Wahrscheinlichkeit hat, gezogen zu werden, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung eine **diskrete Gleichverteilung**. - **Schritt** $$2$$: Die Gesamtzahl der Möglichkeiten bestimmen. Ein Standard-Bridge-Kartensatz besteht aus $$52$$ verschiedenen Karten, also $$k=52$$ - **Schritt** $$3$$: Die Wahrscheinlichkeit für den Herzkönig berechnen. Der Herzkönig ist eine der $$52$$ Karten. Nach dem Gleichverteilungsprinzip gilt daher: ```math P(\text{König der Herzen}) = \frac{1}{52} ``` Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, den König der Herzen zu ziehen, **$$\frac{1}{52}$$** oder ungefähr **$$1{,}92\%$$** Visible text: 1. **Lösung zur Aufgabe mit farbigen Kugeln** - **Schritt** : Die Gesamtzahl der Möglichkeiten bestimmen. Es gibt Kugeln mit unterschiedlichen Farben. Daher beträgt die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse . - **Schritt** : Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion bestimmen. Da die Kugeln bis auf ihre Farbe identisch sind, ist jede gleich wahrscheinlich. Wir verwenden die Formel der diskreten Gleichverteilung: Dabei steht für eine der vorhandenen Kugelfarben. - **Schritt** : Die Wahrscheinlichkeit für die gelbe Kugel berechnen. Die gelbe Kugel ist eine von Kugeln. Ihre Wahrscheinlichkeit ist daher dieselbe wie die jeder anderen Kugel: Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen, **** oder ****. 2. **Lösung zur Aufgabe mit der Bridge-Karte** - **Schritt** : Die Art der Verteilung bestimmen. Da jede Karte dieselbe Wahrscheinlichkeit hat, gezogen zu werden, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung eine **diskrete Gleichverteilung**. - **Schritt** : Die Gesamtzahl der Möglichkeiten bestimmen. Ein Standard-Bridge-Kartensatz besteht aus verschiedenen Karten, also - **Schritt** : Die Wahrscheinlichkeit für den Herzkönig berechnen. Der Herzkönig ist eine der Karten. Nach dem Gleichverteilungsprinzip gilt daher: Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, den König der Herzen zu ziehen, **** oder ungefähr ****