# Dichtefunktion der Normalverteilung > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/datenanalyse-und-wahrscheinlichkeit/normalverteilung Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/data-analysis-probability/normal-distribution-function/de.mdx Verstehe die Normaldichte anhand einer Glockenkurve, standardisiere Werte mit z-Werten und berechne eine Intervallwahrscheinlichkeit. --- ## Normalverteilung verstehen Messwerte wie die Körpergröße von Menschen oder wiederholte Laborergebnisse häufen sich oft um einen Mittelwert. Für manche Populationen und unter passenden Bedingungen kann eine **Normalverteilung** dieses Muster annähern. Ob das Modell geeignet ist, muss dennoch anhand der Daten geprüft werden. Im Jahr $$1733$$ leitete Abraham de Moivre eine Normalapproximation der Binomialverteilung für große $$n$$ her. Pierre-Simon Laplace erweiterte das Ergebnis später. Heute ist es mit dem Satz von de Moivre-Laplace und der Entwicklung des zentralen Grenzwertsatzes verbunden. Visible text: Im Jahr leitete Abraham de Moivre eine Normalapproximation der Binomialverteilung für große her. Pierre-Simon Laplace erweiterte das Ergebnis später. Heute ist es mit dem Satz von de Moivre-Laplace und der Entwicklung des zentralen Grenzwertsatzes verbunden. > Die Normalverteilung ist ein Modell und kein Gesetz, dem jeder Datensatz folgt. Sie ist geeignet, wenn die Beobachtungen ungefähr symmetrisch um einen Mittelwert liegen und das Modell die Daten für die untersuchte Frage ausreichend gut beschreibt. ## Eigenschaften der Normalkurve Die Dichtefunktion der Normalverteilung bildet eine symmetrische Glockenkurve. Die folgende Visualisierung zeigt die Standardnormalverteilung mit $$\mu = 0$$ und $$\sigma = 1$$: Visible text: Die Dichtefunktion der Normalverteilung bildet eine symmetrische Glockenkurve. Die folgende Visualisierung zeigt die Standardnormalverteilung mit und : Component: LineEquation Props: - title: Standardnormalverteilungskurve - description: Die Standardnormaldichte ist bei $$\mu=0$$ zentriert. Die senkrechten Strecken markieren ihre Wendepunkte $$\mu\pm\sigma$$. Visible text: Die Standardnormaldichte ist bei zentriert. Die senkrechten Strecken markieren ihre Wendepunkte . - cameraPosition: [0, 0, 5] - showZAxis: false - data: [ { points: (() => { const points = []; const step = 0.1; for (let x = -3.5; x <= 3.5; x += step) { const y = (1 / Math.sqrt(2 * Math.PI)) * Math.exp(-0.5 * x * x); points.push({ x: x, y: y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#9333ea", smooth: true, showPoints: false, labels: [ { text: $$\mu=0$$, at: 35, offset: [0, 0.5, 0] } ] }, { points: [ { x: -1, y: 0, z: 0 }, { x: -1, y: (1 / Math.sqrt(2 * Math.PI)) * Math.exp(-0.5), z: 0 } ], color: "#ea580c", smooth: false, showPoints: false, labels: [ { text: $$\mu-\sigma$$, at: 0, offset: [0, -0.3, 0] } ] }, { points: [ { x: 1, y: 0, z: 0 }, { x: 1, y: (1 / Math.sqrt(2 * Math.PI)) * Math.exp(-0.5), z: 0 } ], color: "#ea580c", smooth: false, showPoints: false, labels: [ { text: $$\mu+\sigma$$, at: 0, offset: [0, -0.3, 0] } ] }, ] Visible text: [ { points: (() => { const points = []; const step = 0.1; for (let x = -3.5; x <= 3.5; x += step) { const y = (1 / Math.sqrt(2 * Math.PI)) * Math.exp(-0.5 * x * x); points.push({ x: x, y: y, z: 0 }); } return points; })(), color: "#9333ea", smooth: true, showPoints: false, labels: [ { text: , at: 35, offset: [0, 0.5, 0] } ] }, { points: [ { x: -1, y: 0, z: 0 }, { x: -1, y: (1 / Math.sqrt(2 * Math.PI)) * Math.exp(-0.5), z: 0 } ], color: "#ea580c", smooth: false, showPoints: false, labels: [ { text: , at: 0, offset: [0, -0.3, 0] } ] }, { points: [ { x: 1, y: 0, z: 0 }, { x: 1, y: (1 / Math.sqrt(2 * Math.PI)) * Math.exp(-0.5), z: 0 } ], color: "#ea580c", smooth: false, showPoints: false, labels: [ { text: , at: 0, offset: [0, -0.3, 0] } ] }, ] Die Kurve besitzt vier kennzeichnende Eigenschaften: 1. **Form und Symmetrie** Die Kurve ist glockenförmig und symmetrisch zur vertikalen Linie, die durch den Mittelwert ($$\mu$$) verläuft. Das bedeutet, dass der linke und der rechte Teil der Kurve perfekte Spiegelbilder voneinander sind. 2. **Zentraler Punkt** Die Normaldichte ist symmetrisch und besitzt genau einen Gipfel. Daher fallen Mittelwert, Median und Modus bei $$\mu$$ zusammen. 3. **Wendepunkte** Die Kurve hat Wendepunkte bei $$x = \mu \pm \sigma$$, was bedeutet, dass sich die Kurve in einem Abstand von einer Standardabweichung vom Mittelwert von konkav zu konvex (oder umgekehrt) ändert. 4. **Horizontale Asymptote** Die Dichte bleibt für jedes endliche $$x$$ positiv und nähert sich $$0$$, wenn $$x$$ gegen eine der beiden Unendlichkeiten strebt. Visible text: 1. **Form und Symmetrie** Die Kurve ist glockenförmig und symmetrisch zur vertikalen Linie, die durch den Mittelwert () verläuft. Das bedeutet, dass der linke und der rechte Teil der Kurve perfekte Spiegelbilder voneinander sind. 2. **Zentraler Punkt** Die Normaldichte ist symmetrisch und besitzt genau einen Gipfel. Daher fallen Mittelwert, Median und Modus bei zusammen. 3. **Wendepunkte** Die Kurve hat Wendepunkte bei , was bedeutet, dass sich die Kurve in einem Abstand von einer Standardabweichung vom Mittelwert von konkav zu konvex (oder umgekehrt) ändert. 4. **Horizontale Asymptote** Die Dichte bleibt für jedes endliche positiv und nähert sich , wenn gegen eine der beiden Unendlichkeiten strebt. ## Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Die folgende Formel gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an jeder Stelle $$x$$ an. Visible text: Die folgende Formel gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an jeder Stelle an. Ist $$X$$ normalverteilt mit Mittelwert $$\mu$$, Varianz $$\sigma^2$$ und $$\sigma>0$$, lautet die Dichtefunktion: Visible text: Ist normalverteilt mit Mittelwert , Varianz und , lautet die Dichtefunktion: ```math f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} ``` für $$-\infty < x < \infty$$. Visible text: für . Dabei gilt: - $$\pi \approx 3{,}1416$$ ist die Kreiszahl - $$e \approx 2{,}7183$$ ist die Eulersche Zahl - $$\mu$$ ist der Mittelwert der Verteilung - $$\sigma>0$$ ist die Standardabweichung Visible text: - ist die Kreiszahl - ist die Eulersche Zahl - ist der Mittelwert der Verteilung - ist die Standardabweichung > Der Parameter $$\mu$$ verschiebt das Zentrum der Kurve, während $$\sigma$$ ihre Streuung bestimmt. Wahrscheinlichkeiten entsprechen Flächen unter der Dichtekurve, nicht der Höhe $$f(x)$$ an einem einzelnen Punkt. Visible text: > Der Parameter verschiebt das Zentrum der Kurve, während ihre Streuung bestimmt. Wahrscheinlichkeiten entsprechen Flächen unter der Dichtekurve, nicht der Höhe an einem einzelnen Punkt. ## Transformation zur Standardnormalverteilung In der Praxis verwenden wir häufig die **Standardnormalverteilung** mit Mittelwert $$\mu = 0$$ und Standardabweichung $$\sigma = 1$$. Um eine reguläre Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung umzuwandeln, verwenden wir die Transformation: Visible text: In der Praxis verwenden wir häufig die **Standardnormalverteilung** mit Mittelwert und Standardabweichung . Um eine reguläre Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung umzuwandeln, verwenden wir die Transformation: ```math Z = \frac{x - \mu}{\sigma} ``` Die Variable $$Z$$ heißt **Standardwert** oder **z-Wert**. Sie gibt an, wie viele Standardabweichungen $$x$$ über oder unter dem Mittelwert liegt. Dadurch kann dieselbe Standardnormalverteilungstabelle für jede Normalverteilung verwendet werden. Visible text: Die Variable heißt **Standardwert** oder **z-Wert**. Sie gibt an, wie viele Standardabweichungen über oder unter dem Mittelwert liegt. Dadurch kann dieselbe Standardnormalverteilungstabelle für jede Normalverteilung verwendet werden. **Warum z-Werte verwenden?** Mit dieser Transformation lassen sich Werte aus verschiedenen Verteilungen vergleichen. So können etwa Mathematik- und Physikergebnisse trotz unterschiedlicher Mittelwerte und Standardabweichungen auf derselben Skala eingeordnet werden. ## Berechnungsbeispiel Angenommen, $$X$$ ist normalverteilt mit $$\mu = 50$$ und $$\sigma = 10$$. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass $$X$$ zwischen $$45$$ und $$62$$ liegt. Visible text: Angenommen, ist normalverteilt mit und . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen und liegt. **Schritt** $$1$$: In z-Werte umwandeln Visible text: **Schritt** : In z-Werte umwandeln Component: MathContainer Children: ```math z_1 = \frac{45 - 50}{10} = \frac{-5}{10} = -0{,}5 ``` ```math z_2 = \frac{62 - 50}{10} = \frac{12}{10} = 1{,}2 ``` **Schritt** $$2$$: Standardnormalverteilungstabelle verwenden Visible text: **Schritt** : Standardnormalverteilungstabelle verwenden Das standardisierte Intervall lautet $$P(-0{,}5 < Z < 1{,}2)$$. Von der kumulierten Wahrscheinlichkeit an der oberen Grenze wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit an der unteren Grenze abgezogen: Visible text: Das standardisierte Intervall lautet . Von der kumulierten Wahrscheinlichkeit an der oberen Grenze wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit an der unteren Grenze abgezogen: ```math P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a) ``` Aus der Standardnormalverteilungstabelle: - $$P(Z < -0{,}5) = 0{,}3085$$ - $$P(Z < 1{,}2) = 0{,}8849$$ Visible text: - - **Schritt** $$3$$: Endgültige Wahrscheinlichkeit berechnen Visible text: **Schritt** : Endgültige Wahrscheinlichkeit berechnen ```math P(45 < X < 62) = P(-0{,}5 < Z < 1{,}2) = 0{,}8849 - 0{,}3085 = 0{,}5764 ``` Die Wahrscheinlichkeit, dass $$X$$ zwischen $$45$$ und $$62$$ liegt, beträgt also $$0{,}5764$$ oder ungefähr $$57{,}64\%$$. Visible text: Die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen und liegt, beträgt also oder ungefähr .