# Arithmetische Folge
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Verstehe arithmetische Folgen anhand vollständiger Beispiele, leite das allgemeine Glied her und wende die Formel auf Sachaufgaben an.
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## Arithmetische Folgen verstehen
Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. Diese gemeinsame Differenz wird mit $$b$$ bezeichnet.
Visible text: Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. Diese gemeinsame Differenz wird mit bezeichnet.
## Beispiele für arithmetische Folgen
Betrachten wir die Zahlenfolge:
$$4, 6, 8, 10, ...$$
Die aufeinanderfolgenden Differenzen sind:
- Differenz zwischen dem zweiten und dem ersten Glied: $$6 - 4 = 2$$
- Differenz zwischen dem dritten und dem zweiten Glied: $$8 - 6 = 2$$
- Differenz zwischen dem vierten und dem dritten Glied: $$10 - 8 = 2$$
Visible text: - Differenz zwischen dem zweiten und dem ersten Glied:
- Differenz zwischen dem dritten und dem zweiten Glied:
- Differenz zwischen dem vierten und dem dritten Glied:
Da die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern immer $$2$$ beträgt, ist dies eine arithmetische Folge mit der gemeinsamen Differenz $$b = 2$$.
Visible text: Da die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern immer beträgt, ist dies eine arithmetische Folge mit der gemeinsamen Differenz .
## Gemeinsame Differenz
Die gemeinsame Differenz $$b$$ wird bestimmt, indem man jeweils ein Glied vom folgenden Glied abzieht:
Visible text: Die gemeinsame Differenz wird bestimmt, indem man jeweils ein Glied vom folgenden Glied abzieht:
```math
b = U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = U_4 - U_3 = ... = U_n - U_{n-1}
```
Dabei gilt:
- $$U_n$$ ist das $$n$$-te Glied.
- $$U_{n-1}$$ ist das vorherige Glied, also das Glied an Position $$n-1$$.
Visible text: - ist das -te Glied.
- ist das vorherige Glied, also das Glied an Position .
## Formel für das n-te Glied
### Allgemeine Formel
Das $$n$$-te Glied einer arithmetischen Folge lässt sich mit folgender Formel bestimmen:
Visible text: Das -te Glied einer arithmetischen Folge lässt sich mit folgender Formel bestimmen:
```math
U_n = a + (n-1)b
```
Dabei gilt:
- $$U_n$$ = $$n$$-tes Glied
- $$a$$ = erstes Glied
- $$n$$ = Gliednummer
- $$b$$ = gemeinsame Differenz
Visible text: - = -tes Glied
- = erstes Glied
- = Gliednummer
- = gemeinsame Differenz
### Ableitung der Formel
Schreiben wir die ersten Glieder einer arithmetischen Folge aus:
- $$1$$. Glied: $$U_1 = a$$
- $$2$$. Glied: $$U_2 = a + b$$
- $$3$$. Glied: $$U_3 = a + 2b$$
- $$4$$. Glied: $$U_4 = a + 3b$$
- $$5$$. Glied: $$U_5 = a + 4b$$
Visible text: - . Glied:
- . Glied:
- . Glied:
- . Glied:
- . Glied:
Das Muster führt für das $$n$$-te Glied zur allgemeinen Formel:
Visible text: Das Muster führt für das -te Glied zur allgemeinen Formel:
```math
U_n = a + (n-1)b
```
### Rekursive Form
Dieselbe arithmetische Folge kann auch durch ihr erstes Glied und eine Regel für das jeweils nächste Glied definiert werden:
Component: MathContainer
Children:
```math
U_1=a
```
```math
U_{n+1}=U_n+b
```
Die explizite Formel liefert jedes Glied direkt. Die rekursive Form baut die Folge dagegen Glied für Glied auf.
## Anwendungen arithmetischer Folgen
### Sitzreihen in einem Theater
Die Sitzreihen eines Theaters haben unterschiedlich viele Plätze:
- Reihe $$1$$ hat $$20$$ Sitzplätze.
- Reihe $$2$$ hat $$24$$ Sitzplätze.
- Reihe $$3$$ hat $$28$$ Sitzplätze.
- Reihe $$4$$ hat $$32$$ Sitzplätze.
- Reihe $$5$$ hat $$36$$ Sitzplätze.
Visible text: - Reihe hat Sitzplätze.
- Reihe hat Sitzplätze.
- Reihe hat Sitzplätze.
- Reihe hat Sitzplätze.
- Reihe hat Sitzplätze.
Um die Zahl der Plätze in einer beliebigen Reihe zu bestimmen, suchen wir zunächst die gemeinsame Differenz.
**Schritt** $$1$$: Gemeinsame Differenz zwischen benachbarten Sitzreihen bestimmen
Visible text: **Schritt** : Gemeinsame Differenz zwischen benachbarten Sitzreihen bestimmen
- $$\text{Reihe}2 - \text{Reihe}1$$: $$24 - 20 = 4$$
- $$\text{Reihe}3 - \text{Reihe}2$$: $$28 - 24 = 4$$
- $$\text{Reihe}4 - \text{Reihe}3$$: $$32 - 28 = 4$$
- $$\text{Reihe}5 - \text{Reihe}4$$: $$36 - 32 = 4$$
Visible text: - :
- :
- :
- :
Die Zahl der Sitzplätze steigt von einer Reihe zur nächsten stets um $$4$$. Damit bilden die Sitzplatzanzahlen eine arithmetische Folge mit:
Visible text: Die Zahl der Sitzplätze steigt von einer Reihe zur nächsten stets um . Damit bilden die Sitzplatzanzahlen eine arithmetische Folge mit:
- erstem Glied $$a = 20$$
- gemeinsamer Differenz $$b = 4$$
Visible text: - erstem Glied
- gemeinsamer Differenz
**Schritt** $$2$$: Zahl der Sitzplätze in Reihe $$15$$ berechnen
Visible text: **Schritt** : Zahl der Sitzplätze in Reihe berechnen
Component: MathContainer
Children:
```math
U_{15} = a + (n-1)b
```
```math
U_{15} = 20 + (15-1)4
```
```math
U_{15} = 20 + (14)4
```
```math
U_{15} = 20 + 56
```
```math
U_{15} = 76
```
Es gibt also $$76$$ Sitzplätze in Reihe $$15$$.
Visible text: Es gibt also Sitzplätze in Reihe .
Dieses Ergebnis beschreibt nur die $$15$$. Sitzreihe. Für die Gesamtzahl der Plätze in den ersten fünfzehn Reihen müsste stattdessen die zugehörige arithmetische Reihe summiert werden.
Visible text: Dieses Ergebnis beschreibt nur die . Sitzreihe. Für die Gesamtzahl der Plätze in den ersten fünfzehn Reihen müsste stattdessen die zugehörige arithmetische Reihe summiert werden.
## Steigende, fallende und konstante Folgen
Eine arithmetische Folge steigt für $$b>0$$, fällt für $$b<0$$ und bleibt für $$b=0$$ konstant. Zum Beispiel:
Visible text: Eine arithmetische Folge steigt für , fällt für und bleibt für konstant. Zum Beispiel:
```math
12,9,6,3,\ldots\qquad b=-3
```
Das Vorzeichen der gemeinsamen Differenz zeigt somit, wie sich die Folge entwickelt.
## Erste Übung
In einer arithmetischen Folge ist das $$3$$. Glied gleich $$9$$ und das $$6$$. Glied gleich $$18$$. Bestimme eine Formel für das $$n$$-te Glied.
Visible text: In einer arithmetischen Folge ist das . Glied gleich und das . Glied gleich . Bestimme eine Formel für das -te Glied.
### Lösung zur ersten Übung
Für die allgemeine Formel benötigen wir das erste Glied $$(a)$$ und die gemeinsame Differenz $$(b)$$.
Visible text: Für die allgemeine Formel benötigen wir das erste Glied und die gemeinsame Differenz .
Component: MathContainer
Children:
```math
U_3 = a + 2b = 9
```
```math
U_6 = a + 5b = 18
```
Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten und bestimmen so $$b$$:
Visible text: Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten und bestimmen so :
Component: MathContainer
Children:
```math
U_6 - U_3 = (a + 5b) - (a + 2b)
```
```math
18 - 9 = 3b
```
```math
9 = 3b
```
```math
b = 3
```
Anschließend setzen wir $$b$$ in die erste Gleichung ein und bestimmen $$a$$:
Visible text: Anschließend setzen wir in die erste Gleichung ein und bestimmen :
Component: MathContainer
Children:
```math
a + 2b = 9
```
```math
a + 2(3) = 9
```
```math
a + 6 = 9
```
```math
a = 9 - 6 = 3
```
Mit $$a = 3$$ und $$b = 3$$ erhalten wir das $$n$$-te Glied:
Visible text: Mit und erhalten wir das -te Glied:
Component: MathContainer
Children:
```math
U_n = a + (n-1)b
```
```math
U_n = 3 + (n-1)3
```
```math
U_n = 3 + 3n - 3
```
```math
U_n = 3n
```
Die Formel lautet also $$U_n = 3n$$.
Visible text: Die Formel lautet also .
Zur Kontrolle setzen wir $$n=3$$ und $$n=6$$ ein. Dabei müssen die beiden gegebenen Glieder wieder entstehen:
Visible text: Zur Kontrolle setzen wir und ein. Dabei müssen die beiden gegebenen Glieder wieder entstehen:
Component: MathContainer
Children:
```math
U_3=3(3)=9
```
```math
U_6=3(6)=18
```
## Zweite Übung
Rudi zahlt jeden Monat einen Betrag auf sein Bankkonto ein. Der Einzahlungsbetrag steigt monatlich um einen konstanten Wert. Im $$5$$. Monat zahlt er $$\text{Rp}70{.}000{,}00$$ ein, im $$9$$. Monat $$\text{Rp}90{.}000{,}00$$.
Visible text: Rudi zahlt jeden Monat einen Betrag auf sein Bankkonto ein. Der Einzahlungsbetrag steigt monatlich um einen konstanten Wert. Im . Monat zahlt er ein, im . Monat .
1. Um welchen Betrag steigt die monatliche Einzahlung?
2. Wie hoch war die Einzahlung im ersten Monat?
### Lösung zur zweiten Übung
Die monatlichen Einzahlungen bilden eine arithmetische Folge, weil ihre Zunahme konstant ist.
1. **Monatliche Zunahme bestimmen**
```math
U_5 = 70{.}000
```
```math
a + (5-1)b = 70{.}000
```
```math
a + 4b = 70{.}000 \text{... (Gleichung 1)}
```
```math
U_9 = 90{.}000
```
```math
a + (9-1)b = 90{.}000
```
```math
a + 8b = 90{.}000 \text{... (Gleichung 2)}
```
Wir subtrahieren Gleichung $$1$$ von Gleichung $$2$$:
```math
4b = 20{.}000
```
```math
b = 5{.}000
```
Die monatliche Einzahlung steigt also um $$\text{Rp}5{.}000{,}00$$.
2. **Einzahlung im ersten Monat bestimmen**
Nun setzen wir $$b = 5{.}000$$ in Gleichung $$(1)$$ ein und bestimmen $$a$$:
```math
a + 4b = 70{.}000
```
```math
a + 4(5{.}000) = 70{.}000
```
```math
a + 20{.}000 = 70{.}000
```
```math
a = 70{.}000 - 20{.}000
```
```math
a = 50{.}000
```
Im ersten Monat zahlte Rudi somit $$\text{Rp}50{.}000{,}00$$ ein.
Visible text: 1. **Monatliche Zunahme bestimmen**
Wir subtrahieren Gleichung von Gleichung :
Die monatliche Einzahlung steigt also um .
2. **Einzahlung im ersten Monat bestimmen**
Nun setzen wir in Gleichung ein und bestimmen :
Im ersten Monat zahlte Rudi somit ein.