# Arithmetische Reihe
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Leite die Summenformel einer arithmetischen Reihe mit der Gaußschen Paarungsmethode her und wende sie in vollständigen Beispielen an.
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## Arithmetische Reihen verstehen
Eine bekannte Schulanekdote über Carl Friedrich Gauß veranschaulicht eine nützliche Summenidee. Darin soll seine Klasse alle Zahlen von $$1$$ bis $$100$$ addieren: $$1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$$.
Visible text: Eine bekannte Schulanekdote über Carl Friedrich Gauß veranschaulicht eine nützliche Summenidee. Darin soll seine Klasse alle Zahlen von bis addieren: .
Gauß addiert die Zahlen nicht einzeln, sondern paart geschickt den Anfang mit dem Ende. Eine Summe aus den Gliedern einer _arithmetischen Folge_ heißt **arithmetische Reihe**.
Beispielsweise ist $$1, 2, 3, \dots, 100$$ eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied $$a=1$$ und der gemeinsamen Differenz $$b=1$$. Die zugehörige arithmetische Reihe lautet $$1 + 2 + 3 + \dots + 100$$.
Visible text: Beispielsweise ist eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied und der gemeinsamen Differenz . Die zugehörige arithmetische Reihe lautet .
### Wie funktioniert die Paarung?
Gauß nutzt folgendes Muster:
- Das erste Glied $$(1)$$ und das letzte Glied $$(100)$$ ergeben zusammen $$101$$.
- Das zweite Glied $$(2)$$ und das vorletzte Glied $$(99)$$ ergeben ebenfalls $$101$$.
- Das dritte Glied $$(3)$$ und das drittletzte Glied $$(98)$$ ergeben wieder $$101$$.
- Das Muster setzt sich bis zur Mitte fort.
Visible text: - Das erste Glied und das letzte Glied ergeben zusammen .
- Das zweite Glied und das vorletzte Glied ergeben ebenfalls .
- Das dritte Glied und das drittletzte Glied ergeben wieder .
- Das Muster setzt sich bis zur Mitte fort.
Component: MathContainer
Children:
```math
\underbrace{1+100}_{101}, \underbrace{2+99}_{101}, \underbrace{3+98}_{101}, \dots, \underbrace{50+51}_{101}
```
Es gibt $$50$$ Zahlenpaare, die jeweils $$101$$ ergeben. Damit beträgt die Gesamtsumme $$50 \times 101 = 5050$$.
Visible text: Es gibt Zahlenpaare, die jeweils ergeben. Damit beträgt die Gesamtsumme .
## Finden der allgemeinen Formel
Mit derselben Idee lässt sich eine allgemeine Formel für die Summe der ersten $$n$$ Glieder herleiten. Diese Summe wird mit $$S_n$$ bezeichnet.
Visible text: Mit derselben Idee lässt sich eine allgemeine Formel für die Summe der ersten Glieder herleiten. Diese Summe wird mit bezeichnet.
Ausgangspunkt ist eine arithmetische Reihe:
```math
S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dots + U_{n-1} + U_n
```
Mit dem ersten Glied $$(a)$$ und der gemeinsamen Differenz $$(b)$$ ausgeschrieben ergibt sich:
Visible text: Mit dem ersten Glied und der gemeinsamen Differenz ausgeschrieben ergibt sich:
```math
S_n = a + (a+b) + (a+2b) + \dots + (a+(n-2)b) + (a+(n-1)b)
```
Nun schreiben wir dieselbe Summe $$S_n$$ in umgekehrter Reihenfolge:
Visible text: Nun schreiben wir dieselbe Summe in umgekehrter Reihenfolge:
```math
S_n = U_n + U_{n-1} + \dots + U_2 + U_1
```
Ausgeschrieben:
```math
S_n = (a+(n-1)b) + (a+(n-2)b) + \dots + (a+b) + a
```
Anschließend addieren wir beide Darstellungen von $$S_n$$ gliedweise:
Visible text: Anschließend addieren wir beide Darstellungen von gliedweise:
Component: MathContainer
Children:
```math
S_n = a + (a+b) + \dots + (a+(n-2)b) + (a+(n-1)b)
```
```math
S_n = (a+(n-1)b) + (a+(n-2)b) + \dots + (a+b) + a
```
```math
2S_n = [2a+(n-1)b] + [2a+(n-1)b] + \dots + [2a+(n-1)b] + [2a+(n-1)b]
```
Jedes übereinanderstehende Gliedpaar hat dieselbe Summe $$2a + (n-1)b$$. Da jede Zeile $$n$$ Glieder enthält, entstehen $$n$$ identische Paarsummen.
Visible text: Jedes übereinanderstehende Gliedpaar hat dieselbe Summe . Da jede Zeile Glieder enthält, entstehen identische Paarsummen.
Daraus folgt:
```math
2S_n = n \times (2a + (n-1)b)
```
Nach Division durch $$2$$ erhalten wir die Summe der ersten $$n$$ Glieder:
Visible text: Nach Division durch erhalten wir die Summe der ersten Glieder:
```math
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b)
```
Die Herleitung gilt für gerade und ungerade Werte von $$n$$. Bei ungeradem $$n$$ wird das mittlere Glied korrekt erfasst, weil zwei vollständige Kopien der Reihe addiert und die Summe anschließend halbiert wird.
Visible text: Die Herleitung gilt für gerade und ungerade Werte von . Bei ungeradem wird das mittlere Glied korrekt erfasst, weil zwei vollständige Kopien der Reihe addiert und die Summe anschließend halbiert wird.
## Praktische Formeln für arithmetische Reihen
Für $$S_n$$ sind zwei gleichwertige Formen besonders praktisch:
Visible text: Für sind zwei gleichwertige Formen besonders praktisch:
1. Wenn das **erste Glied $$(a)$$** und die **gemeinsame Differenz $$(b)$$** bekannt sind:
```math
S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)b)
```
2. Wenn das **erste Glied $$(a)$$** und das **$$(n)$$-te Glied $$(U_n)$$** bekannt sind:
Für das $$n$$-te Glied gilt $$U_n = a + (n-1)b$$. Setzen wir diesen Ausdruck in die erste Formel ein:
```math
S_n = \frac{n}{2}(a + a + (n - 1)b)
```
```math
S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)
```
Diese Form entspricht der Gaußschen Paarung: Man multipliziert die Summe aus erstem und letztem Glied mit $$(\frac{n}{2})$$.
Visible text: 1. Wenn das **erste Glied ** und die **gemeinsame Differenz ** bekannt sind:
2. Wenn das **erste Glied ** und das **-te Glied ** bekannt sind:
Für das -te Glied gilt . Setzen wir diesen Ausdruck in die erste Formel ein:
Diese Form entspricht der Gaußschen Paarung: Man multipliziert die Summe aus erstem und letztem Glied mit .
**Notation:**
- $$S_n$$ = Summe der ersten $$n$$ Glieder
- $$n$$ = Anzahl der Glieder
- $$a$$ = erstes Glied $$U_1$$
- $$b$$ = gemeinsame Differenz
- $$U_n$$ = $$n$$-tes Glied
Visible text: - = Summe der ersten Glieder
- = Anzahl der Glieder
- = erstes Glied
- = gemeinsame Differenz
- = -tes Glied
## Beispiele
### Erstes Problem
Berechnen wir die Summe $$1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$$ nun mit der Formel.
Visible text: Berechnen wir die Summe nun mit der Formel.
Gegeben:
- Erstes Glied $$a = 1$$
- Letztes Glied $$U_n = U_{100} = 100$$
- Anzahl der Glieder $$n = 100$$
Visible text: - Erstes Glied
- Letztes Glied
- Anzahl der Glieder
Da $$a$$ und $$U_n$$ bekannt sind, bietet sich die zweite Formel an:
Visible text: Da und bekannt sind, bietet sich die zweite Formel an:
Component: MathContainer
Children:
```math
S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)
```
```math
S_{100} = \frac{100}{2}(1 + 100)
```
```math
S_{100} = 50(101)
```
```math
S_{100} = 5050
```
Das Ergebnis stimmt mit der Paarungsmethode überein.
### Zweites Problem
Gegeben ist die arithmetische Reihe $$13 + 16 + 19 + 22 + \dots$$. Gesucht ist die Summe der ersten $$30$$ Glieder $$(S_{30})$$.
Visible text: Gegeben ist die arithmetische Reihe . Gesucht ist die Summe der ersten Glieder .
Gegeben:
- Erstes Glied $$a = 13$$
- Gemeinsame Differenz $$b = 16 - 13 = 3$$
- Anzahl der Glieder $$n = 30$$
Visible text: - Erstes Glied
- Gemeinsame Differenz
- Anzahl der Glieder
Da $$a$$ und $$b$$ bekannt sind, verwenden wir die erste Formel:
Visible text: Da und bekannt sind, verwenden wir die erste Formel:
Component: MathContainer
Children:
```math
S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)b)
```
```math
S_{30} = \frac{30}{2}[2(13) + (30 - 1)(3)]
```
```math
S_{30} = 15[26 + (29)(3)]
```
```math
S_{30} = 15(26 + 87)
```
```math
S_{30} = 15(113)
```
```math
S_{30} = 1695
```
Die Summe der ersten $$30$$ Glieder beträgt $$1695$$.
Visible text: Die Summe der ersten Glieder beträgt .
## Anwendung: Theaterbestuhlung
Ein Theater hat $$20$$ Sitzplätze in der ersten Reihe und $$4$$ weitere Sitzplätze in jeder folgenden Reihe. Die Anzahl der Sitzplätze in Reihe $$15$$ und die Gesamtzahl in den ersten fünfzehn Reihen betragen:
Visible text: Ein Theater hat Sitzplätze in der ersten Reihe und weitere Sitzplätze in jeder folgenden Reihe. Die Anzahl der Sitzplätze in Reihe und die Gesamtzahl in den ersten fünfzehn Reihen betragen:
Component: MathContainer
Children:
```math
U_{15}=20+14\cdot4=76
```
```math
S_{15}=\frac{15}{2}(20+76)=720
```
Das erste Ergebnis beschreibt nur die $$15$$. Sitzreihe. Das zweite zählt alle Plätze in den ersten fünfzehn Reihen. Ein Folgenglied und eine Reihensumme beantworten also unterschiedliche Fragen.
Visible text: Das erste Ergebnis beschreibt nur die . Sitzreihe. Das zweite zählt alle Plätze in den ersten fünfzehn Reihen. Ein Folgenglied und eine Reihensumme beantworten also unterschiedliche Fragen.
## Übung
Berechne die endliche arithmetische Reihe:
```math
8+13+18+\dots+103
```
### Lösung
Bestimme zunächst die Anzahl der Glieder. Die gemeinsame Differenz beträgt $$5$$:
Visible text: Bestimme zunächst die Anzahl der Glieder. Die gemeinsame Differenz beträgt :
Component: MathContainer
Children:
```math
103=8+(n-1)5
```
```math
n=20
```
```math
S_{20}=\frac{20}{2}(8+103)=1110
```
Die Summe ist somit $$1110$$.
Visible text: Die Summe ist somit .