# Arithmetische und geometrische Folgen im Vergleich > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/folgen-und-reihen/arithmetische-und-geometrische-folgen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/sequence-series/difference-arithmetic-geometric-sequence/de.mdx Unterscheide arithmetische und geometrische Folgen anhand konstanter Differenzen und Quotienten und wende beide Modelle gezielt an. --- ## Zahlenfolgen verstehen Eine Zahlenfolge ordnet jedem Index ein Glied zu. Zwei häufige Typen sind [arithmetische Folgen](./arithmetische-folge) und [geometrische Folgen](./geometrische-folge). ## Arithmetische Folgen ### Definition arithmetischer Folgen Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant. Für die Folge $$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$$ gilt also: Visible text: Für die Folge gilt also: ```math a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = ... = a_n - a_{n-1} = b ``` Dabei bezeichnet $$b$$ die gemeinsame Differenz. Visible text: Dabei bezeichnet die gemeinsame Differenz. ### Allgemeines Glied einer arithmetischen Folge Für eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied $$a$$ und der gemeinsamen Differenz $$b$$ lautet das allgemeine Glied: Visible text: Für eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied und der gemeinsamen Differenz lautet das allgemeine Glied: ```math U_n = a + (n-1)b ``` ## Geometrische Folgen ### Definition geometrischer Folgen Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant. Für die Folge $$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$$ gilt, sofern die Nenner nicht null sind: Visible text: Für die Folge gilt, sofern die Nenner nicht null sind: ```math \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = ... = \frac{a_n}{a_{n-1}} = r ``` Dabei bezeichnet $$r$$ den gemeinsamen Quotienten. Die gleichwertige Multiplikationsregel $$a_{n+1}=ra_n$$ bleibt auch für ein Nullglied sinnvoll. Visible text: Dabei bezeichnet den gemeinsamen Quotienten. Die gleichwertige Multiplikationsregel bleibt auch für ein Nullglied sinnvoll. ### Allgemeines Glied einer geometrischen Folge Für eine geometrische Folge mit dem ersten Glied $$a$$ und dem Quotienten $$r$$ lautet das allgemeine Glied: Visible text: Für eine geometrische Folge mit dem ersten Glied und dem Quotienten lautet das allgemeine Glied: ```math U_n = a \times r^{n-1} ``` ## Hauptunterschiede ### So wird der Folgentyp bestimmt Prüfe nacheinander Differenzen und Quotienten: 1. **Arithmetische Folge**: Berechne die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder. Sind sie konstant, ist die Folge arithmetisch. ```math b = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = ... ``` 2. **Geometrische Folge**: Berechne die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder, sofern die Nenner nicht null sind. Sind sie konstant, ist die Folge geometrisch. ```math r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = ... ``` Visible text: 1. **Arithmetische Folge**: Berechne die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder. Sind sie konstant, ist die Folge arithmetisch. 2. **Geometrische Folge**: Berechne die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder, sofern die Nenner nicht null sind. Sind sie konstant, ist die Folge geometrisch. ### Vergleichstabelle | Aspekt | Arithmetische Folge | Geometrische Folge | | ------------------------ | -------------------------------------- | -------------------------------------------- | | Muster | Konstante Differenz | Konstanter Quotient | | Allgemeines Glied | $$U_n = a + (n-1)b$$ | $$U_n = a \times r^{n-1}$$ | | Bildung des nächsten Glieds | Eine Konstante addieren | Mit einer Konstanten multiplizieren | Visible text: | Aspekt | Arithmetische Folge | Geometrische Folge | | ------------------------ | -------------------------------------- | -------------------------------------------- | | Muster | Konstante Differenz | Konstanter Quotient | | Allgemeines Glied | | | | Bildung des nächsten Glieds | Eine Konstante addieren | Mit einer Konstanten multiplizieren | ### Ausführliche Klassifizierungsbeispiele Die Folge $$7,11,15,19,\ldots$$ hat konstante Differenzen: Visible text: Die Folge hat konstante Differenzen: ```math 11-7=15-11=19-15=4 ``` Sie ist daher arithmetisch. Für die Folge $$5,10,20,40,\ldots$$ gilt: Visible text: Sie ist daher arithmetisch. Für die Folge gilt: ```math 10=2\cdot5,\qquad20=2\cdot10,\qquad40=2\cdot20 ``` Sie ist geometrisch mit $$r=2$$. Die Folge $$1,2,4,7,\ldots$$ ist weder arithmetisch noch geometrisch: Ihre Differenzen $$1,2,3$$ sind nicht konstant, und auch die Quotienten stimmen nicht überein. Visible text: Sie ist geometrisch mit . Die Folge ist weder arithmetisch noch geometrisch: Ihre Differenzen sind nicht konstant, und auch die Quotienten stimmen nicht überein. ### Lineare und exponentielle Modelle Eine nichtkonstante arithmetische Folge hängt linear von ihrem Index ab. Eine geometrische Folge mit einem positiven Quotienten ungleich eins hängt exponentiell vom Index ab. Diese Begriffe beschreiben die mathematische Form. Sie bedeuten nicht, dass ein realer Vorgang unbegrenzt nach demselben Modell weiterläuft. Wenn man jeden Monat denselben Betrag addiert, entsteht ein arithmetisches Modell. Eine monatliche Änderung um denselben Prozentsatz führt dagegen zu einem geometrischen Modell. ### Sonderfälle Die konstante Nullfolge ist arithmetisch mit $$b=0$$ und erfüllt zugleich $$a_{n+1}=ra_n$$ für jeden Wert von $$r$$. Eine konstante Folge ungleich Null ist arithmetisch mit $$b=0$$ und geometrisch mit $$r=1$$. Visible text: Die konstante Nullfolge ist arithmetisch mit und erfüllt zugleich für jeden Wert von . Eine konstante Folge ungleich Null ist arithmetisch mit und geometrisch mit . Daher überschneiden sich in diesen Spezialfällen die arithmetischen und geometrischen Kategorien. ## Anwendungen im Alltag ### Beispiele für arithmetische Folgen 1. **Regelmäßiges Sparen**: Ein Schüler zahlt im ersten Monat $$\text{Rp}5{.}000$$, im zweiten $$\text{Rp}7{.}000$$ und im dritten $$\text{Rp}9{.}000$$ in die Schülergenossenschaft ein. Bei der Differenz $$\text{Rp}2{.}000$$ lässt sich der Einzahlungsbetrag im $$10$$. Monat mit der Formel für arithmetische Folgen berechnen. 2. **Pflanzenwachstum**: In einem vereinfachten Modell wächst eine Pflanze jede Woche um $$3 \text{ cm}$$ und ist anfangs $$15 \text{ cm}$$ hoch. Die modellierte Höhe bildet dann eine arithmetische Folge. Visible text: 1. **Regelmäßiges Sparen**: Ein Schüler zahlt im ersten Monat , im zweiten und im dritten in die Schülergenossenschaft ein. Bei der Differenz lässt sich der Einzahlungsbetrag im . Monat mit der Formel für arithmetische Folgen berechnen. 2. **Pflanzenwachstum**: In einem vereinfachten Modell wächst eine Pflanze jede Woche um und ist anfangs hoch. Die modellierte Höhe bildet dann eine arithmetische Folge. ### Beispiele für geometrische Folgen 1. **Anlage mit Zinseszins**: Werden $$\text{Rp}1{.}000{.}000$$ ohne Einzahlungen oder Entnahmen angelegt und die Zinsen von $$10\%$$ jährlich gutgeschrieben, bildet der Wert am Ende jedes Jahres eine geometrische Folge mit dem Quotienten $$1{,}1$$. 2. **Idealisiertes Populationswachstum**: Verdoppelt sich eine modellierte Bakterienpopulation stündlich, entsteht eine geometrische Folge mit dem Quotienten $$2$$. Reale Populationen stoßen irgendwann an Grenzen, die dieses einfache Modell nicht abbildet. Visible text: 1. **Anlage mit Zinseszins**: Werden ohne Einzahlungen oder Entnahmen angelegt und die Zinsen von jährlich gutgeschrieben, bildet der Wert am Ende jedes Jahres eine geometrische Folge mit dem Quotienten . 2. **Idealisiertes Populationswachstum**: Verdoppelt sich eine modellierte Bakterienpopulation stündlich, entsteht eine geometrische Folge mit dem Quotienten . Reale Populationen stoßen irgendwann an Grenzen, die dieses einfache Modell nicht abbildet. ## Übung Klassifiziere jede Folge und bestimme, sofern möglich, $$b$$ oder $$r$$: Visible text: Klassifiziere jede Folge und bestimme, sofern möglich, oder : 1. $$18,12,6,0,\ldots$$ 2. $$81,-27,9,-3,\ldots$$ 3. $$2,4,8,14,\ldots$$ Visible text: 1. 2. 3. ### Lösung 1. Die erste Folge ist arithmetisch mit $$b=-6$$. 2. Die zweite Folge ist geometrisch mit $$r=-1/3$$. 3. Die dritte Folge ist weder arithmetisch noch geometrisch, da weder ihre Differenzen noch ihre Quotienten konstant sind. Visible text: 1. Die erste Folge ist arithmetisch mit . 2. Die zweite Folge ist geometrisch mit . 3. Die dritte Folge ist weder arithmetisch noch geometrisch, da weder ihre Differenzen noch ihre Quotienten konstant sind.