# Arithmetische und geometrische Reihen im Vergleich > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/folgen-und-reihen/arithmetische-und-geometrische-reihen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/sequence-series/difference-arithmetic-geometric-series/de.mdx Unterscheide arithmetische und geometrische Reihen anhand ihrer Glieder und wähle die passende Summenformel für vollständige Rechnungen. --- ## Arithmetische Reihe **Grundkonzept:** Eine arithmetische Reihe ist die **Summe** der Glieder einer **arithmetischen Folge**. Zwischen den aufeinanderfolgenden Gliedern dieser Folge liegt die **konstante gemeinsame Differenz** $$b$$. Visible text: Eine arithmetische Reihe ist die **Summe** der Glieder einer **arithmetischen Folge**. Zwischen den aufeinanderfolgenden Gliedern dieser Folge liegt die **konstante gemeinsame Differenz** . Summiert werden also Glieder mit dem Muster $$a, a+b, a+2b, a+3b, \dots$$. Visible text: Summiert werden also Glieder mit dem Muster . Die Summe der ersten $$n$$ Glieder wird mit $$S_n$$ bezeichnet und lässt sich so berechnen: Visible text: Die Summe der ersten Glieder wird mit bezeichnet und lässt sich so berechnen: ```math S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) ``` oder ```math S_n = \frac{n}{2}(a + U_n) ``` Dabei ist $$a$$ das erste Glied und $$U_n$$ das $$n$$-te Glied. Visible text: Dabei ist das erste Glied und das -te Glied. Ein Stapel bestehe in der ersten Schicht aus $$1$$ Stein, in der zweiten aus $$3$$ Steinen und in der dritten aus $$5$$ Steinen. Die gemeinsame Differenz beträgt $$= 2$$. Die arithmetische Reihe gibt die **Gesamtzahl** der Steine in den ersten $$n$$ Schichten an. Visible text: Ein Stapel bestehe in der ersten Schicht aus Stein, in der zweiten aus Steinen und in der dritten aus Steinen. Die gemeinsame Differenz beträgt . Die arithmetische Reihe gibt die **Gesamtzahl** der Steine in den ersten Schichten an. ## Geometrische Reihe **Grundkonzept:** Eine geometrische Reihe ist die **Summe** der Glieder einer **geometrischen Folge**. Der **konstante gemeinsame Quotient** aufeinanderfolgender Glieder wird mit $$r$$ bezeichnet. Visible text: Eine geometrische Reihe ist die **Summe** der Glieder einer **geometrischen Folge**. Der **konstante gemeinsame Quotient** aufeinanderfolgender Glieder wird mit bezeichnet. Summiert werden also Glieder mit dem Muster $$a, ar, ar^2, ar^3, \dots$$. Visible text: Summiert werden also Glieder mit dem Muster . Für die Summe der ersten $$n$$ Glieder $$S_n$$ gilt: Visible text: Für die Summe der ersten Glieder gilt: ```math S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} ``` Diese Formel gilt für $$r \neq 1$$. Dabei ist $$a$$ das erste Glied und $$r$$ der Quotient. Visible text: Diese Formel gilt für . Dabei ist das erste Glied und der Quotient. Für $$r=1$$ sind alle Glieder gleich $$a$$. Dann gilt der Sonderfall: Visible text: Für sind alle Glieder gleich . Dann gilt der Sonderfall: ```math S_n=na ``` Eine Werkstatt fertige in aufeinanderfolgenden Stunden $$1$$, dann $$2$$ und anschließend $$4$$ neue Bauteile. Die Stundenproduktion hat den Quotienten $$r=2$$. Die geometrische Reihe beschreibt die **kumulative** Produktion über $$n \text{Stunden}$$. In den ersten $$3 \text{Stunden}$$ entstehen insgesamt $$1+2+4=7 \text{Komponenten}$$. Visible text: Eine Werkstatt fertige in aufeinanderfolgenden Stunden , dann und anschließend neue Bauteile. Die Stundenproduktion hat den Quotienten . Die geometrische Reihe beschreibt die **kumulative** Produktion über . In den ersten entstehen insgesamt . ## Hauptunterschiede | Merkmal | Arithmetische Reihe | Geometrische Reihe | | ----------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------ | | **Grundlage** | Summe der Glieder einer arithmetischen Folge mit gemeinsamer Differenz $$b$$ | Summe der Glieder einer geometrischen Folge mit Quotient $$r$$ | | **Summenformel $$S_n$$** | $$\frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$$ | $$\frac{a(r^n - 1)}{r-1}$$ | | **Muster** | Konstante Addition/Subtraktion | Konstante Multiplikation/Division | Visible text: | Merkmal | Arithmetische Reihe | Geometrische Reihe | | ----------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------ | | **Grundlage** | Summe der Glieder einer arithmetischen Folge mit gemeinsamer Differenz | Summe der Glieder einer geometrischen Folge mit Quotient | | **Summenformel ** | | | | **Muster** | Konstante Addition/Subtraktion | Konstante Multiplikation/Division | ## Ausführliche Beispiele Für die arithmetische Reihe: ```math 5+8+11+14+17 ``` Die gemeinsame Differenz ist $$b=3$$. Daher: Visible text: Die gemeinsame Differenz ist . Daher: ```math S_5=\frac52(5+17)=55 ``` Für die geometrische Reihe: ```math 5+10+20+40+80 ``` Der gemeinsame Quotient ist $$r=2$$. Daher: Visible text: Der gemeinsame Quotient ist . Daher: ```math S_5=5\frac{2^5-1}{2-1}=155 ``` ## Glieder und Partialsummen nicht verwechseln Die Glieder einer arithmetischen Reihe ändern sich linear mit dem Index, ihre Partialsummen im Allgemeinen quadratisch. Die Glieder einer geometrischen Reihe ändern sich exponentiell, während ihre endlichen Partialsummen der geometrischen Summenformel folgen. Der Name einer Reihe bezieht sich auf die Folge ihrer Glieder. Er sagt nicht, dass die Partialsummen $$S_1,S_2,S_3,\ldots$$ selbst eine arithmetische oder geometrische Folge bilden. Visible text: Der Name einer Reihe bezieht sich auf die Folge ihrer Glieder. Er sagt nicht, dass die Partialsummen selbst eine arithmetische oder geometrische Folge bilden. ## Übung Klassifiziere jede Reihe und berechne ihre Summe: 1. $$30+25+20+15+10$$ 2. $$2+6+18+54+162$$ Visible text: 1. 2. ### Lösung Die erste Reihe ist arithmetisch mit $$b=-5$$. Die zweite ist geometrisch mit $$r=3$$: Visible text: Die erste Reihe ist arithmetisch mit . Die zweite ist geometrisch mit : Component: MathContainer Children: ```math S_5=\frac52(30+10)=100 ``` ```math S_5=2\frac{3^5-1}{3-1}=242 ```