# Grundlagen von Folgen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/folgen-und-reihen/begriff-der-folge Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/sequence-series/sequence-concept/de.mdx Untersuche Zahlenfolgen anhand eines interaktiven Tisch-Stuhl-Musters, unterscheide arithmetische und geometrische Folgen und löse Musteraufgaben Schritt für Schritt. --- ## Zahlenfolgen verstehen Eine Zahlenfolge ordnet Zahlen in einer festgelegten Reihenfolge an. Jede Zahl in der Folge heißt **Glied**. Dafür verwenden wir folgende Notation: - Das Glied mit Index $$1$$ wird mit $$U_1$$ bezeichnet - Das Glied mit Index $$2$$ wird mit $$U_2$$ bezeichnet - Das Glied mit Index $$3$$ wird mit $$U_3$$ bezeichnet - Das allgemeine Glied wird mit $$U_n$$ bezeichnet Visible text: - Das Glied mit Index wird mit bezeichnet - Das Glied mit Index wird mit bezeichnet - Das Glied mit Index wird mit bezeichnet - Das allgemeine Glied wird mit bezeichnet Wenn wir das Muster einer Folge verstehen, können wir weitere Glieder bestimmen und eine Formel für das allgemeine Glied aufstellen. Genauer gesagt weist eine Folge jedem zulässigen Index einen Wert zu: ```math U:\{1,2,3,\ldots\}\to\mathbb{R},\qquad n\mapsto U_n ``` Die Reihenfolge gehört zur Definition. Die Folgen $$1,2,3,\ldots$$ und $$3,2,1,\ldots$$ können dieselben Zahlen enthalten, sind aber nicht dieselbe Folge. Visible text: Die Reihenfolge gehört zur Definition. Die Folgen und können dieselben Zahlen enthalten, sind aber nicht dieselbe Folge. ## Explizite und rekursive Regeln Eine **explizite Regel** berechnet ein Glied direkt aus seinem Index. Zum Beispiel: ```math U_n=2n+1 ``` Das ergibt $$3,5,7,9,\ldots$$. Eine **rekursive Regel** gibt ein Anfangsglied an und beschreibt, wie das nächste Glied entsteht: Visible text: Das ergibt . Eine **rekursive Regel** gibt ein Anfangsglied an und beschreibt, wie das nächste Glied entsteht: Component: MathContainer Children: ```math U_1=3 ``` ```math U_{n+1}=U_n+2 ``` Beide Regeln beschreiben dieselbe Folge. Mit der expliziten Form lässt sich ein weit entferntes Glied direkt berechnen. Die rekursive Form macht dagegen den Schritt von einem Glied zum nächsten sichtbar. ## Zahlenmuster im Alltag ### Tische und Stühle erkunden Ein einfaches Zahlenmuster entsteht, wenn quadratische Tische in einer Reihe zusammengestellt werden: Component: SequenceConceptTableChairsAnimation Props: - labels: { title: "Muster aus Tischen und Stühlen", table: "Tisch", chair: "Stuhl", reset: "Zurücksetzen", pause: "Pause", play: "Start", setSpeed: "Geschwindigkeit einstellen", setTableCount: "Anzahl der Tische einstellen", } Um $$1 \text{Tisch}$$ mit quadratischer Platte lassen sich $$4$$ Stühle stellen. Visible text: Um mit quadratischer Platte lassen sich Stühle stellen. Werden $$2 \text{Tische}$$ aneinandergestellt, passen $$6$$ Stühle um die gemeinsame Tischfläche. Visible text: Werden aneinandergestellt, passen Stühle um die gemeinsame Tischfläche. Wir können eine Tabelle erstellen, um das Muster zu beobachten: | Anzahl Tische | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ | $$5$$ | $$6$$ | | ---------------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | Anzahl Stühle | $$4$$ | $$6$$ | $$8$$ | $$10$$ | $$12$$ | $$14$$ | Visible text: | Anzahl Tische | | | | | | | | ---------------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | Anzahl Stühle | | | | | | | Die Tabelle zeigt: - Wenn es $$1 \text{Tisch}$$ gibt, gibt es $$4$$ Stühle - Wenn es $$2 \text{Tische}$$ gibt, gibt es $$6$$ Stühle - Wenn es $$3 \text{Tische}$$ gibt, gibt es $$8$$ Stühle Visible text: - Wenn es gibt, gibt es Stühle - Wenn es gibt, gibt es Stühle - Wenn es gibt, gibt es Stühle Mit jedem zusätzlichen $$1 \text{Tisch}$$ kommen $$2$$ weitere Stühle hinzu. Das Muster wird durch folgende Formel beschrieben: Visible text: Mit jedem zusätzlichen kommen weitere Stühle hinzu. Das Muster wird durch folgende Formel beschrieben: ```math U_n = 2n + 2 ``` Wo: - $$U_n$$ ist die Anzahl der Stühle - $$n$$ ist die Anzahl der Tische Visible text: - ist die Anzahl der Stühle - ist die Anzahl der Tische Das gleiche Muster kann rekursiv geschrieben werden: Component: MathContainer Children: ```math U_1=4 ``` ```math U_{n+1}=U_n+2 ``` ## Anwendungen von Folgen ### Bestimmen der Anzahl der Stühle und Tische Mit der Folgenregel lässt sich zum Beispiel diese Frage beantworten: **Wie viele Tische müssen zusammengestellt werden, damit $$20 \text{Personen}$$ sitzen können?** Visible text: **Wie viele Tische müssen zusammengestellt werden, damit sitzen können?** Wir können die Formel $$U_n = 2n + 2$$ mit $$U_n = 20$$ verwenden, also: Visible text: Wir können die Formel mit verwenden, also: Component: MathContainer Children: ```math 20 = 2n + 2 ``` ```math 18 = 2n ``` ```math n = 9 ``` Es müssen also $$9 \text{Tische}$$ zusammengestellt werden, damit $$20 \text{Personen}$$ Platz finden. Visible text: Es müssen also zusammengestellt werden, damit Platz finden. ## Typen von Folgen Nach ihrem Muster lassen sich Zahlenfolgen in verschiedene Typen einteilen: ### Arithmetische Folge Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant. Diese konstante Differenz wird mit $$b$$ bezeichnet. Visible text: Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant. Diese konstante Differenz wird mit bezeichnet. Beispiel: $$2, 4, 6, 8, 10, \ldots$$ mit der Differenz $$(b) = 2$$ Visible text: Beispiel: mit der Differenz ### Geometrische Folge Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant. Dieser Faktor wird mit $$r$$ bezeichnet. Visible text: Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant. Dieser Faktor wird mit bezeichnet. Beispiel: $$2, 6, 18, 54, \ldots$$ mit dem Faktor $$(r) = 3$$ Visible text: Beispiel: mit dem Faktor ### Weitere Folgen Neben arithmetischen und geometrischen Folgen gibt es viele andere Arten von Folgen wie Fibonacci-Folgen, quadratische Folgen, kubische Folgen und mehr. Beispiel einer Fibonacci-Folge: $$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$$ Visible text: Beispiel einer Fibonacci-Folge: ## Endlich viele Glieder bestimmen keine eindeutige Regel Eine kurze Liste von Gliedern kann ein plausibles Muster nahelegen, erzwingt aber keine eindeutige Fortsetzung. Die Folge $$1,2,4$$ könnte mit $$8,16,\ldots$$ weitergehen, wenn jedes Glied verdoppelt wird. Eine andere Regel könnte zu den ersten drei Gliedern passen und sich ab dem vierten Glied unterscheiden. Visible text: Eine kurze Liste von Gliedern kann ein plausibles Muster nahelegen, erzwingt aber keine eindeutige Fortsetzung. Die Folge könnte mit weitergehen, wenn jedes Glied verdoppelt wird. Eine andere Regel könnte zu den ersten drei Gliedern passen und sich ab dem vierten Glied unterscheiden. Eine vollständig definierte Folge braucht deshalb eine eindeutige Regel oder genügend Bedingungen. Ein erkanntes Muster ist ein sinnvoller Anfang, aber noch kein Beweis. ## Muster finden So lässt sich das Muster einer Folge untersuchen: 1. Berechne die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder. 2. Prüfe, ob die Differenz konstant ist. Dann liegt eine arithmetische Folge vor. 3. Falls nicht, prüfe, ob der Quotient konstant ist. Dann liegt eine geometrische Folge vor. 4. Trifft beides nicht zu, untersuche andere mögliche Regeln. Mit dem Folgenbegriff lassen sich mathematische Probleme zu Zahlenmustern im Alltag klar beschreiben und lösen. ## Übung Gegeben $$V_n=n^2-n$$: Visible text: Gegeben : 1. Bestimme die ersten fünf Glieder. 2. Gib eine rekursive Regel für die Folge an. Component: MathContainer Children: ```math V_1,V_2,V_3,V_4,V_5=0,2,6,12,20 ``` ```math V_1=0,\qquad V_{n+1}=V_n+2n ``` Das rekursive Inkrement ist $$2n$$, weil: Visible text: Das rekursive Inkrement ist , weil: ```math V_{n+1}-V_n=((n+1)^2-(n+1))-(n^2-n)=2n ```