# Grundlagen von Reihen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/folgen-und-reihen/begriff-der-reihe Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/sequence-series/series-concept/de.mdx Verstehe Reihen als Summen von Folgengliedern, untersuche das Händedruckproblem mit zwei Zählwegen und arbeite mit Partialsummen. --- ## Zahlenreihen verstehen Wie lassen sich die Glieder einer Zahlenfolge zusammenfassen? Ein Ausdruck wie $$1+2+3+\cdots$$ heißt **Reihe**. Visible text: Wie lassen sich die Glieder einer Zahlenfolge zusammenfassen? Ein Ausdruck wie heißt **Reihe**. Eine **Zahlenreihe** wird gebildet, indem die Glieder einer Zahlenfolge in der angegebenen Reihenfolge addiert werden. Zwei gängige Beispiele sind eine **arithmetische Reihe**, deren Glieder aus einer arithmetischen Folge stammen, und eine **geometrische Reihe**, deren Glieder aus einer geometrischen Folge stammen. Das Händedruckproblem macht dieses Konzept anschaulich. ## Partialsummen verbinden eine Folge mit ihrer Reihe Für eine Folge $$(U_n)$$ ist die Summe ihrer ersten $$n$$ Glieder die $$n$$-te Teilsumme: Visible text: Für eine Folge ist die Summe ihrer ersten Glieder die -te Teilsumme: ```math S_n=U_1+U_2+\cdots+U_n=\sum_{k=1}^{n}U_k ``` Endliche Probleme erfordern eine bestimmte Teilsumme. Für eine unendliche Reihe untersuchen wir, ob sich die Folge $$(S_n)$$ einem endlichen Grenzwert nähert, wenn $$n$$ wächst. Visible text: Endliche Probleme erfordern eine bestimmte Teilsumme. Für eine unendliche Reihe untersuchen wir, ob sich die Folge einem endlichen Grenzwert nähert, wenn wächst. ## Anzahl der Handshakes In einer Gruppe schüttelt jede Person jeder anderen Person genau einmal die Hand. Wie viele Händedrücke gibt es insgesamt? Wir zählen schrittweise: - **Bei $$2 \text{Personen}$$:** Es gibt genau $$1 \text{Händedruck}$$. - **Bei $$3 \text{Personen}$$:** Die erste Person begrüßt $$2 \text{Personen}$$. Die zweite Person hat die erste bereits begrüßt und schüttelt nur noch der dritten die Hand. Insgesamt sind das $$2 + 1 = 3 \text{Händedrücke}$$. - **Bei $$4 \text{Personen}$$:** Nach demselben Muster ergeben sich $$3 + 2 + 1 = 6 \text{Händedrücke}$$. - **Bei $$5 \text{Personen}$$:** Insgesamt sind es $$4 + 3 + 2 + 1 = 10 \text{Händedrücke}$$. Visible text: - **Bei :** Es gibt genau . - **Bei :** Die erste Person begrüßt . Die zweite Person hat die erste bereits begrüßt und schüttelt nur noch der dritten die Hand. Insgesamt sind das . - **Bei :** Nach demselben Muster ergeben sich . - **Bei :** Insgesamt sind es . Die Anzahl der Händedrücke bildet also eine fortlaufende Summe natürlicher Zahlen. | Anzahl der anwesenden Personen | Anzahl Handshakes | Aufschlüsselung der Handshakes | | :--------- | :------------------- | :-------------- | | Zwei Personen | $$1$$ | $$1$$ | | Drei Personen | $$3$$ | $$1+2$$ | | Vier Personen | $$6$$ | $$1+2+3$$ | | Fünf Personen | $$10$$ | $$1+2+3+4$$ | Visible text: | Anzahl der anwesenden Personen | Anzahl Handshakes | Aufschlüsselung der Handshakes | | :--------- | :------------------- | :-------------- | | Zwei Personen | | | | Drei Personen | | | | Vier Personen | | | | Fünf Personen | | | Summen wie $$1+2+3+4$$ sind Beispiele für eine **Zahlenreihe**. Hier entsteht die Reihe aus den Gliedern der Folge natürlicher Zahlen $$(1, 2, 3, 4, ...)$$. Visible text: Summen wie sind Beispiele für eine **Zahlenreihe**. Hier entsteht die Reihe aus den Gliedern der Folge natürlicher Zahlen . Jedes Paar muss genau einmal gezählt werden. Würde man die Handschläge jeder Person einzeln zählen, würde jedes Paar zweimal gezählt, einmal aus der Sicht jeder Person. ### Ein zweiter Zählweg Ein Händedruck ist ein ungeordnetes Personenpaar. Die Anzahl der aus $$n$$ Personen ausgewählten Paare beträgt: Visible text: Ein Händedruck ist ein ungeordnetes Personenpaar. Die Anzahl der aus Personen ausgewählten Paare beträgt: ```math \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2} ``` Für $$n=5$$ ergibt dies $$\binom52=10$$, passend zur sequentiellen Summe. Visible text: Für ergibt dies , passend zur sequentiellen Summe. ### Bildet das eine besondere Folge? Die Folge der Anzahlen $$(1, 3, 6, 10, ...)$$ ist weder arithmetisch noch geometrisch. Sie besitzt weder eine konstante Differenz noch einen konstanten Quotienten zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern ($$3-1=2$$, $$6-3=3$$, $$10-6=4$$). Visible text: Die Folge der Anzahlen ist weder arithmetisch noch geometrisch. Sie besitzt weder eine konstante Differenz noch einen konstanten Quotienten zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern (, , ). Die **Aufschlüsselung** der Händedrücke ($$1$$, $$1+2$$, $$1+2+3$$, $$1+2+3+4$$) zeigt dagegen eindeutig die Summe von Folgengliedern, hier der natürlichen Zahlen. Genau das ist der Kern einer **Reihe**. Visible text: Die **Aufschlüsselung** der Händedrücke (, , , ) zeigt dagegen eindeutig die Summe von Folgengliedern, hier der natürlichen Zahlen. Genau das ist der Kern einer **Reihe**. Das Händedruckproblem zeigt damit, wie eine Reihe aus der Summe von Folgengliedern entsteht. ## Übung Wie viele Händedrücke gibt es bei $$12 \text{Personen}$$, wenn sich jedes Paar genau einmal die Hand schüttelt? Visible text: Wie viele Händedrücke gibt es bei , wenn sich jedes Paar genau einmal die Hand schüttelt? Die sequentielle Summenmethode ergibt: ```math S_{11}=1+2+\cdots+11 ``` Die Paarzählformel liefert direkt das gleiche Ergebnis: ```math S_{11}=\frac{12\cdot11}{2}=66 ``` Es gibt also $$66 \text{Händedrücke}$$. Visible text: Es gibt also .