# Folgen und Reihen im Vergleich

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Unterscheide eine geordnete Folge von der Summe ihrer Glieder und verstehe, wie Partialsummen beide Begriffe verbinden.

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## Folge

### Konzept

Eine Folge ist eine **geordnete Liste von Zahlen**, die durch ein bestimmtes **Muster** oder eine Regel beschrieben wird. Jede Zahl der Liste heißt **Glied**.

Beispiele:

- Folge der geraden Zahlen: $$2, 4, 6, 8, \dots$$
- Folge der Quadratzahlen: $$1, 4, 9, 16, \dots$$

Visible text: - Folge der geraden Zahlen: 
- Folge der Quadratzahlen:

Im Mittelpunkt stehen die **einzelnen Glieder**, ihre Reihenfolge und ihre Bildungsvorschrift.

Als Bild kann man sich eine **Treppe** vorstellen: Jede Stufe hat ihren festen Platz, genau wie jedes Folgenglied seinen Index.

## Reihe

### Konzept

Bei einer Reihe **addieren wir** die Glieder einer Folge. Eine Reihe ist der **Summenausdruck**, der aus diesen Gliedern entsteht.

Für die Folgen von oben entstehen beispielsweise:

- Reihe gerader Zahlen: $$2 + 4 + 6 + 8 + \dots$$
- Reihe von Quadraten: $$1 + 4 + 9 + 16 + \dots$$

Visible text: - Reihe gerader Zahlen: 
- Reihe von Quadraten:

Bei endlich vielen Gliedern steht die **Partialsumme** bis zum $$n$$-ten Glied im Mittelpunkt. Sie wird meist mit $$S_n$$ bezeichnet.

Visible text: Bei endlich vielen Gliedern steht die **Partialsumme** bis zum -ten Glied im Mittelpunkt. Sie wird meist mit bezeichnet.

Im Treppenbild können die Folgenglieder einzelne Stufenhöhen darstellen. Die zugehörige Reihe beschreibt dann die **insgesamt überwundene Höhe** nach mehreren Stufen.

## Kernunterschied

| Aspekt | Folge | Reihe |
| ----------- | ------------------------------------------------------------ | -------------------------------------------------------------------------------- |
| **Darstellung** | Geordnete Liste, deren Glieder durch Kommas getrennt sind, etwa $$U_1, U_2, U_3, \dots$$ | Summe, deren Glieder durch Pluszeichen verbunden sind, etwa $$U_1 + U_2 + U_3 + \dots$$ |
| **Fokus** | Muster und Wert jedes einzelnen Gliedes | Wert der Summe |
| **Treppenbild** | Einzelne Stufenhöhen | Insgesamt überwundene Höhe |

Visible text: | Aspekt | Folge | Reihe |
| ----------- | ------------------------------------------------------------ | -------------------------------------------------------------------------------- |
| **Darstellung** | Geordnete Liste, deren Glieder durch Kommas getrennt sind, etwa | Summe, deren Glieder durch Pluszeichen verbunden sind, etwa |
| **Fokus** | Muster und Wert jedes einzelnen Gliedes | Wert der Summe |
| **Treppenbild** | Einzelne Stufenhöhen | Insgesamt überwundene Höhe |

## Partialsummen verbinden beide Begriffe

Die Summe der ersten $$n$$ Glieder einer Folge ist die $$n$$-te Partialsumme:

Visible text: Die Summe der ersten Glieder einer Folge ist die -te Partialsumme:

```math
S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k
```

Eine Folge $$(a_n)$$ erzeugt damit eine neue Folge $$(S_n)$$ von Partialsummen. Für $$a_n=n$$ gilt:

Visible text: Eine Folge erzeugt damit eine neue Folge von Partialsummen. Für gilt:

Component: MathContainer
Children:

```math
a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots=1,2,3,4,\ldots
```

```math
S_1,S_2,S_3,S_4,\ldots=1,3,6,10,\ldots
```

Die Partialsummenfolge ist nicht mit der ursprünglichen Folge identisch und auch nicht bloß eine andere Schreibweise dafür.

## Endliche und unendliche Summen

$$S_{20}$$ ist eine endliche Summe aus zwanzig Gliedern. Bei einer unendlichen Reihe fragen wir, ob sich $$S_n$$ für $$n\to\infty$$ einem Grenzwert nähert.

Visible text: ist eine endliche Summe aus zwanzig Gliedern. Bei einer unendlichen Reihe fragen wir, ob sich für einem Grenzwert nähert.

Eine unendliche Reihe wird daher über den Grenzwert ihrer Partialsummen verstanden, nicht als abgeschlossener Rechenvorgang, bei dem unendlich viele Glieder nacheinander addiert werden.

## Übung

Gegeben ist die Folge $$a_n=2n$$:

Visible text: Gegeben ist die Folge :

1. Notiere die ersten vier Glieder.
2. Bestimme die ersten vier Partialsummen.

### Lösung

Component: MathContainer
Children:

```math
a_1,a_2,a_3,a_4=2,4,6,8
```

```math
S_1,S_2,S_3,S_4=2,6,12,20
```