# Geometrische Folge

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Verstehe geometrische Folgen mit konstantem Faktor, leite das allgemeine Glied her und prüfe idealisierte Wachstumsmodelle.

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## Geometrische Folgen verstehen

Eine geometrische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied aus dem vorherigen durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor entsteht. Dieser Faktor wird mit $$r$$ bezeichnet.

Visible text: Eine geometrische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied aus dem vorherigen durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor entsteht. Dieser Faktor wird mit bezeichnet.

Für eine geometrische Folge $$U_1, U_2, U_3, ..., U_n$$ lässt sich derselbe Zusammenhang über Quotienten ausdrücken, sofern alle benötigten Nenner ungleich null sind:

Visible text: Für eine geometrische Folge lässt sich derselbe Zusammenhang über Quotienten ausdrücken, sofern alle benötigten Nenner ungleich null sind:

```math
\frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = \frac{U_4}{U_3} = ... = r
```

Jedes Glied entsteht also durch Multiplikation des vorherigen Gliedes mit dem Faktor $$r$$. Die Quotientenform setzt von null verschiedene Nenner voraus. Die Multiplikationsregel bleibt dagegen auch dann gültig, wenn ein Glied null ist:

Visible text: Jedes Glied entsteht also durch Multiplikation des vorherigen Gliedes mit dem Faktor . Die Quotientenform setzt von null verschiedene Nenner voraus. Die Multiplikationsregel bleibt dagegen auch dann gültig, wenn ein Glied null ist:

```math
U_{n+1}=rU_n
```

## Erkundung durch Papierfalten

Ein einfaches Faltmodell macht den konstanten Faktor sichtbar. Falte ein rechteckiges Blatt Papier mehrmals in der Mitte.

Nach $$1 \text{Mal}$$ Falten entstehen gedanklich $$2 \text{Teile}$$ gleicher Größe. Nach dem zweiten Falten, also nach $$2 \text{Mal}$$, sind es $$4 \text{Teile}$$. Das Muster lautet:

Visible text: Nach Falten entstehen gedanklich gleicher Größe. Nach dem zweiten Falten, also nach , sind es . Das Muster lautet:

| Anzahl der Falten | Anzahl gleicher Teile |
| --------------- | --------------------- |
| $$1 \text{Faltung}$$ | $$2 \text{Teile}$$ |
| $$2 \text{Faltungen}$$ | $$4 \text{Teile}$$ |
| $$3 \text{Faltungen}$$ | $$8 \text{Teile}$$ |
| $$4 \text{Faltungen}$$ | $$16 \text{Teile}$$ |

Visible text: | Anzahl der Falten | Anzahl gleicher Teile |
| --------------- | --------------------- |
| | |
| | |
| | |
| | |

Die Zahl der Teile bildet die Folge $$2, 4, 8, 16, \ldots$$.

Visible text: Die Zahl der Teile bildet die Folge .

Jedes Glied entsteht durch Multiplikation des vorherigen Gliedes mit $$2$$. Der konstante Faktor ist also $$2$$.

Visible text: Jedes Glied entsteht durch Multiplikation des vorherigen Gliedes mit . Der konstante Faktor ist also .

## Allgemeine Formel für geometrische Folgen

Die allgemeine Formel für eine geometrische Folge lautet:

```math
U_n = a \cdot r^{n-1}
```

Dabei gilt:

- $$U_n$$ = allgemeines Glied
- $$a$$ = erstes Glied
- $$r$$ = konstanter Faktor
- $$n$$ = Gliednummer

Visible text: - = allgemeines Glied
- = erstes Glied
- = konstanter Faktor
- = Gliednummer

Der Exponent lautet $$n-1$$, weil vom ersten bis zum $$n$$-ten Glied genau $$n-1$$ Multiplikationen mit $$r$$ nötig sind.

Visible text: Der Exponent lautet , weil vom ersten bis zum -ten Glied genau Multiplikationen mit nötig sind.

## Was der Faktor über die Folge verrät

Bei einem positiven ersten Glied bestimmt der Faktor das grundlegende Verhalten:

- Für $$r>1$$ wachsen die positiven Glieder.
- Für $$0<r<1$$ nähern sich die positiven Glieder null.
- Für $$r=1$$ bleibt die Folge konstant.
- Für $$r=0$$ sind alle Glieder nach dem ersten null.
- Für $$r<0$$ wechseln die Vorzeichen. Die Beträge können dabei wachsen, schrumpfen oder konstant bleiben.

Visible text: - Für wachsen die positiven Glieder.
- Für nähern sich die positiven Glieder null.
- Für bleibt die Folge konstant.
- Für sind alle Glieder nach dem ersten null.
- Für wechseln die Vorzeichen. Die Beträge können dabei wachsen, schrumpfen oder konstant bleiben.

Aus diesem Grund stellt eine geometrische Folge nicht immer ein Wachstum dar.

## Ein idealisiertes Bakterienwachstumsmodell

Angenommen, eine idealisierte Bakterienkultur verdreifacht sich alle $$2 \text{Stunden}$$. Das ist ein mathematisches Modell mit konstantem Wachstumsfaktor. Es behauptet nicht, dass sich eine einzelne Bakterienzelle buchstäblich in drei Zellen teilt.

Visible text: Angenommen, eine idealisierte Bakterienkultur verdreifacht sich alle . Das ist ein mathematisches Modell mit konstantem Wachstumsfaktor. Es behauptet nicht, dass sich eine einzelne Bakterienzelle buchstäblich in drei Zellen teilt.

Wenn die anfängliche Bakterienzahl $$2 \text{Zellen}$$ beträgt, dann:

Visible text: Wenn die anfängliche Bakterienzahl beträgt, dann:

- Anfangsbestand ($$N_0$$) $$=2$$
- Wachstumsfaktor ($$r$$) $$=3$$

Visible text: - Anfangsbestand () 
- Wachstumsfaktor ()

In $$20 \text{Stunden}$$ durchläuft die Kultur $$10 \text{Wachstumsintervalle}$$, weil $$20 \div 2=10$$.

Visible text: In durchläuft die Kultur , weil .

Die Zählung beginnt bei Index $$0$$, damit der Anfangsbestand klar vom ersten abgeschlossenen Wachstumsintervall getrennt bleibt. Nach $$10$$ Intervallen gilt:

Visible text: Die Zählung beginnt bei Index , damit der Anfangsbestand klar vom ersten abgeschlossenen Wachstumsintervall getrennt bleibt. Nach Intervallen gilt:

```math
N_{10}=N_0\cdot r^{10}=2\cdot3^{10}=118{.}098
```

Nach dem idealisierten Modell enthält die Kultur also $$118{.}098 \text{Bakterienzellen}$$ nach $$20 \text{Stunden}$$.

Visible text: Nach dem idealisierten Modell enthält die Kultur also nach .

Component: BacterialGrowth
Props:
- formulaType: geometric
- ratio: 3
- initialCount: 2
- maxGenerations: 3
- timeInterval: 2
- timeUnit: Stunden
- labels: {
title: "Idealisiertes Bakterienwachstum",
bacterial: "Bakterien",
initialBacteria: "Anfangsbestand",
}

## Eigenschaften geometrischer Folgen

### Konstanter Faktor und Quotient

Sofern das vorherige Glied nicht null ist, kann der Faktor $$r$$ als Quotient aus dem nächsten und dem vorherigen Glied berechnet werden:

Visible text: Sofern das vorherige Glied nicht null ist, kann der Faktor als Quotient aus dem nächsten und dem vorherigen Glied berechnet werden:

```math
r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = \frac{U_4}{U_3} = ...
```

### Das n-te Glied bestimmen

Das allgemeine Glied wird direkt mit folgender Formel berechnet:

```math
U_n = a \cdot r^{n-1}
```

## Anwendungen geometrischer Folgen

Geometrische Folgen dienen als Modelle für Vorgänge mit konstantem Faktor, zum Beispiel:

1. Bevölkerungswachstum (wie im Bakterienbeispiel)
2. Zinseszins in der Wirtschaft
3. Radioaktiver Zerfall in der Physik
4. Zellwachstum in der Biologie

Damit lassen sich idealisierte Vorgänge mit Wachstum oder Abnahme um einen konstanten Faktor beschreiben.

Prüfe stets, ob ein Modell mit konstantem Faktor für die Situation und den untersuchten Zeitraum sinnvoll ist. Reale Populationen stoßen irgendwann an Grenzen, die dieses einfache Modell nicht berücksichtigt.

## Beispiele

### Den Faktor bestimmen

Das erste Glied einer geometrischen Folge ist $$4$$, und das Glied an Position $$4$$ ist $$108$$. Bestimme den Faktor.

Visible text: Das erste Glied einer geometrischen Folge ist , und das Glied an Position ist . Bestimme den Faktor.

**Lösung**:

Gegeben:

- $$a = 4$$ (erstes Glied)
- $$U_4 = 108$$ (Glied an Position $$4$$)

Visible text: - (erstes Glied)
- (Glied an Position )

Wir setzen die bekannten Werte in das allgemeine Glied ein:

Component: MathContainer
Children:

```math
U_4 = a \cdot r^{4-1}
```

```math
108 = 4 \cdot r^3
```

```math
r^3 = \frac{108}{4} = 27
```

```math
r = \sqrt[3]{27} = 3
```

Der konstante Faktor beträgt somit $$3$$.

Visible text: Der konstante Faktor beträgt somit .

### Länge der Seilabschnitte

Ein Seil wird in $$5 \text{Teile}$$ geteilt, deren positive Längen in aufsteigender Reihenfolge eine geometrische Folge bilden. Das kürzeste Stück ist $$16 \text{ cm}$$ lang, das längste $$81 \text{ cm}$$. Bestimme die Länge des dritten Stücks.

Visible text: Ein Seil wird in geteilt, deren positive Längen in aufsteigender Reihenfolge eine geometrische Folge bilden. Das kürzeste Stück ist lang, das längste . Bestimme die Länge des dritten Stücks.

**Lösung**:

Gegeben:

- $$a = 16$$ (kürzestes Stück)
- $$U_5 = 81$$ (längstes Stück)

Visible text: - (kürzestes Stück)
- (längstes Stück)

Zuerst bestimmen wir den Faktor:

Component: MathContainer
Children:

```math
U_5 = a \cdot r^{5-1}
```

```math
81 = 16 \cdot r^4
```

```math
r^4 = \frac{81}{16}
```

```math
r = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2}
```

Anschließend berechnen wir die Länge des dritten Stücks $$U_3$$:

Visible text: Anschließend berechnen wir die Länge des dritten Stücks :

Component: MathContainer
Children:

```math
U_3 = a \cdot r^{3-1}
```

```math
U_3 = 16 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2
```

```math
U_3 = 16 \cdot \frac{9}{4}
```

```math
U_3 = 36
```

Das dritte Stück ist somit $$36 \text{ cm}$$ lang.

Visible text: Das dritte Stück ist somit lang.